2021-2022学年江苏省常州市高二下学期期末数学试题解析版

2021-2022学年江苏省常州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．甲、乙、丙3名数学竞赛获奖同学邀请2名指导教师站在一排合影留念，若2名教师不相邻，且教师不站在两端，则不同的站法种数是（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用分步计数原理即可求解.【详解】先安排2名同学在两端，有种方法，2名老师内部全排有种方法，2名老师不相邻，需剩余同学排两个老师中间，根据分步计数原理，共有种方法，故选：B2．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（

）附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．A．14 B．16 C．30 D．32【答案】B【分析】根据题意，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，所以，，得到，进而计算可得答案.【详解】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以，，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为故选：B3．现有4名医生分别到A，B，C三所医院支援抗疫，每名医生有且只能去一所医院且每所医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得解．【详解】解：今4名医生分别到、、三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，基本事件总数，甲、乙两医生恰好到同一医院支援包含的基本事件个数，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为．故选：A．4．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先求的值，再根据法向量的夹角与二面角大小的关系，判断选项.【详解】，所以，又因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补，所以二面角的大小可能是或.故选：C5．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型分别求出，，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，，∴.故选：D.6．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（

）A．－40 B．－20 C．20 D．40【答案】D【分析】令可得展开式中各项系数的和，进而求得，再根据，分别求得中的项和的项求解即可【详解】的展开式中各项系数的和为，故，故，又中含的项为，含的项为，故该展开式中常数项为故选：D7．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，,设(x，y，z)，,，则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.故选：A.【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.8．数列{an}满足a1＝1，，若，b1＝－λ，且数列{bn}满足bn＋1＞bn（n∈N），则实数λ的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.【详解】解：由得，，则，由，得，∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，由，得，因为数列满足，，即，所以，又∵，，由，得，得，综上：实数的取值范围是.故选：C.二、多选题9．北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140m140＋m不喜欢n8080＋n合计140＋n80＋m220＋m＋n若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数，则（

）A．列联表中n的值为60，m的值为120B．随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动C．有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关D．没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关【答案】ACD【分析】根据题意分别计算的值，填写列联表，计算观测值，对照临界值即可得出结论．【详解】解：因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，所以，解得，又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，所以，解得，所以选项A正确；计算，所以随机对一路人进行调查，有的可能性对方喜欢冰雪运动，选项B错误；填写列联表为：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140120260不喜欢6080140合计200200400由表中数据，计算，所以有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项C正确；因为，所以没有的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系，选项D正确．故选：ACD．10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（

）A．S5＜S9 B．该数列的公差d＜0C．a7＝0 D．S11＜0【答案】BC【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可.【详解】解：由可得，，得，由得，所以等差数列的公差，故选项B正确.所以为正，，从第8项起均为负.故选项C正确.所以，故选项A不正确.，故选项D不正确.故选：BC.11．盒子里有形状大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中先后不放回地任取2个球，每次取1个．设“两个球颜色相同”为事件A，“两个球颜色不同”为事件B，“第1次取出的是红球”为事件C，“第2次取出的是红球”为事件D．则（

）A．A与B互为对立事件 B．A与C相互独立C．C与D互斥 D．B与C相互独立【答案】ABD【分析】根据对立事件，互斥事件的定义可判断AC；根据古典概型的概率公式求出所对应的事件的概率，再根据相互独立事件的定义判断BD.【详解】对于A，由题意知，取出两个球要么颜色相同，要么颜色不同，即A与B互为对立事件，故A正确；对于C，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，C与D可能同时发生，故C错误；对于CD，，，，，所以，所以A与C相互独立，B与C相互独立，故BD正确；故选：ABD12．已知正四棱锥P－ABCD的棱长均为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱PA，PB的中点，则（

）A．PA⊥OM B．直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为C．平面OMN∥平面PCD D．四棱锥P－ABCD的外接球的体积为【答案】AC【分析】A选项，作出辅助线，得到由三线合一得到A选项正确；B选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角；C选项，由线线平行证明面面平行；D选项，根据A选项的分析得出四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为，代入公式求出外接球体积.【详解】如图1，连接OP，则OP⊥底面ABCD，因为平面ABCD，所以PO⊥AO，由勾股定理得：因为AP=1，所以因为M为AP的中点，由三线合一得：OM⊥AP，A正确；,如图2，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面OMN的法向量为，则，令，则，所以，设直线AP与平面OMN所成的角为，则，而，所以直线AP与平面OMN所成的角的余弦值为，B错误；如图3，因为O为AC中点，M为PA中点，所以OM是三角形ACP的中位线，所以OM∥PC，因为平面PCD，平面PCD，所以OM∥平面PCD，同理可知：ON∥平面PCD，因为，平面OMN，平面OMN，所以平面OMN∥平面PCD，C正确；通过A选项的分析，可得：，所以四棱锥P－ABCD的外接球的球心即为O点，半径为，则体积为，D错误.故选：AC三、填空题13．已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，则a6＋a7＋a8＝___________．【答案】243【分析】设等比数列为，根据等比数列的性质求解可得，进而得到a6＋a7＋a8【详解】由题意，设等比数列为，则，故，所以故答案为：14．如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种．【答案】48【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色.【详解】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有种．故答案为：4815．已知四棱锥中，四边形是边长为1的正方形，平面，，以P为球心为半径的球面与底面的交线长为___________．【答案】【分析】设为球面与底面的交线上任意一点，由得到球面与底面的交线为以为圆心，半径为1的四分之一圆，再求交线长即可.【详解】设为球面与底面的交线上任意一点，则，又平面，平面，则，又，则，又四边形是边长为1的正方形，则的轨迹为以为圆心，半径为1的四分之一圆，故球面与底面的交线即为以为圆心，半径为1的四分之一圆，则交线长为.故答案为：.16．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______.【答案】0.3125【分析】设次传球后球在甲手中的概率为，求出，根据题意求出数列的递推公式，求出的表达式，即可求得的值.【详解】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，设“次传球后球在甲手中”，则，则．即，所以，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以5次传球后球在甲手中的概率为．故答案为：.四、解答题17．已知正整数n≥2，（x＋3）n的展开式为anxn＋＋…＋a1x＋a0．(1)若（x＋3）n的展开式中，各项系数之和比二项式系数之和大992，求n的值；(2)若n＝2022，且ak是an，an－1，…，a1，a0中的最大值，求正整数k的值．【答案】(1)5(2)505【分析】（1）令可得的展开式中各项系数和，再结合二项式系数和为求解可得n（2）根据二项式展开式的通项公式，再根据最大项满足大于等于前后两项，进而列式求解即可【详解】(1)令得的展开式中各项系数和为，二项式系数和为，由题意可知：，所以，解得或（舍去），所以；(2)二项式的通项公式为：．令，解得，因此．因为是中的最大项，所以．18．已知数列满足a1＝3，a2＝5，且，n∈N．(1)设bn＝an＋1－an，求证：数列是等比数列；(2)若数列{an}满足（n∈N），求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）构造证明即可；（2）根据是等比数列，利用累加法与等比数列的求和公式可得，再根据的最大值分析即可【详解】(1)因为，所以．即，又因为，所以，则，所以，数列是等比数列(2)由（1）数列是首项为2公比为的等比数列，则．所以，则．经检验时也符合，则．又因为，所以．19．小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：m2）和日均客流量y（单位：百人）的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并计算得＝2400，＝220，＝42000，＝8400．(1)求y关于x的回归直线方程；(2)已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx（k＞0，m＞0），该商场现有80~170m2的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺?附：在线性回归方程ŷ＝＋x中，＝，＝－，其中，为样本平均值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据最小二乘法的公式求线性回归方程即可；（2）根据题意构造出经济效益和面积的函数关系，利用函数的性质求最值及取得最值时变量的取值即可.【详解】(1)由已知可得，．，．所以回归直线方程为．(2)根据题意得，．设，令所以．则，当，即时，取最大值．又因为k，，所以此时Z也取最大值．因此，小李应该租的商铺20．已知数列的前项和为，且．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列前项的和．【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）取可算出，将递推关系多列一项后作差，得到新的关于的递推关系即可；（2）分组求和，前一段利用等差数列求和公式，后一段利用裂项求和，两者相加即可.【详解】(1)由题可知，，解得．在中令，得，解得；因为①，所以②，由①-②得：，即，所以．所以数列是首项与公差都为2的等差数列，所以．(2)由题可知，当时，所以．当时，所以，所以．综上：．21．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．【答案】(1)(2)小李应选择路线1；理由见解析【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，由对立事件概率公式计算概率；（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得期望，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望，比较可得．【详解】(1)设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，所以至少遇到一个红灯