第3章-控制系统的基本原理和分析方法

本章主要教学内容典型外作用信号及其响应时域性能指标计算及参数与性能的对应关系系统稳定的概念、稳定条件和稳定性判断系统的稳态误差分析及计算系统的频率特性及其表达频率分析法的内容和性能讨论第3章控制系统的基本原理和分析方法1本章教学目的及要求理解典型外作用信号及其响应掌握时域性能指标的计算熟悉系统稳定的概念和稳定性判断的应用掌握稳态误差分析及计算掌握频率分析法及应用第3章控制系统的基本原理和分析方法2

3.1典型输入信号及其响应3.1.1概述系统在给定信号作用下的输出信号随时间变化的状况称为系统的响应。到达稳定之前的响应称为暂态响应，可提供系统过渡过程中各项动态性能指标；到达稳态后的响应称为稳态响应，反映出系统稳定性和稳态误差的大小。典型输入信号选取原则：（1）工作现场或实验室中该信号易产生，且在工程中能经常遇到这类信号。（2）典型信号作用下，系统响应能够反映出该系统在实际工作中的确定性能。（3）外作用信号的数学表达式简单，便于进行分析和计算。第3章控制系统的基本原理和分析方法33.1.2典型输入信号目前，在工程设计中比较常见的典型输入信号主要有以下5种：阶跃函数信号斜坡函数信号抛物线函数信号脉冲函数信号正弦函数信号第3章控制系统的基本原理和分析方法43.1.3典型信号的响应初始状态为零的控制系统，在典型输入信号作用下的系统输出称为典型信号的响应。1.单位阶跃响应系统在单位阶跃函数信号作用下的输出称为单位阶跃响应。表达式为：响应曲线见图3-6（a）所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法5第3章2.单位斜坡响应系统在单位斜坡函数信号作用下的输出称为单位斜坡响应。表达式为：

响应曲线见图3-6（b）所示。控制系统的基本原理和分析方法63.单位脉冲响应系统在单位脉冲函数信号作用下的输出称为单位脉冲响应，也称为脉冲过渡函数。表达式为：响应曲线见图3-6（c）所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法7图3-6典型信号的时间响应第3章控制系统的基本原理和分析方法83.2时域分析法时域分析法就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线来分析系统的动态性能和稳态性能。3.2.1一阶系统的时域响应一阶系统是指可以采用一阶微分方程来描述其暂态过程的系统，典型结构如图3-7所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法9第3章图3-7一阶系统结构图控制系统的基本原理和分析方法10一阶系统的微分方程为：传递函数为：T为系统的惯性时间常数。第3章控制系统的基本原理和分析方法111.一阶系统的单位阶跃响应输入单位阶跃函数信号为：其拉氏变换为：系统的输出为：第3章控制系统的基本原理和分析方法12进行拉氏反变换，可以得到系统输出的时间响应表达式：；称为稳态分量，由输入信号的形式来决定；称为暂态分量，由闭环传递函数的极点来决定第3章控制系统的基本原理和分析方法13一阶系统单位阶跃响应的特点：在单位阶跃信号作用下，系统的输出量随时间变化的规律是单调上升的指数曲线，响应的最终稳态值为1，惯性时间常数T是描述系统响应速度的唯一参数，Ｔ值越小，暂态过程时间越短，响应速度越快。第3章控制系统的基本原理和分析方法14取不同的时间常数T时，系统的输出C（t）值有以下对应关系：第3章控制系统的基本原理和分析方法15根据上面的分析，我们可以作出一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-8所示。从图中可以看出，t=0处曲线斜率为，经过1倍T的时间，输出量Ｃ（t）从0值上升到稳态值的63.2%；经过t=3T和4Ｔ的时间，输出量C（t）将分别达到稳态值的95%和98.2%。第3章控制系统的基本原理和分析方法16图3-8一阶系统的单位阶跃响应第3章控制系统的基本原理和分析方法17由于一阶系统的单位阶跃响应曲线是非周期响应，系统过渡过程的快慢是其主要性能指标，称之为调节时间，记为。对于一阶系统有：=3T（对应5%的误差带）=4T对应2%的误差带）从中可以看出，系统的时间常数T越小，调节时间就越小，则系统响应的快速性就越好。第3章控制系统的基本原理和分析方法18【例3.1】已知一阶系统的闭环传递函数为，在单位阶跃输入信号的作用下，求出系统的单位阶跃响应表达式，计算该系统的过渡过程调节时间，并分析该系统的动态响应性能特点。解：（1）将给定的一阶系统传递函数化为标准式并找出系统的特征参数：第3章；放大系数K=4，时间常数T=0.5控制系统的基本原理和分析方法19系统的单位阶跃响应表达式为：第3章（2）计算该系统的过渡过程调节时间取5%的误差带有：=3T=3×0.5=1.5（秒）取2%的误差带有：=4T=4×0.5=2（秒）控制系统的基本原理和分析方法20（3）分析该系统的动态响应性能特点根据上述计算结果，该系统的单位阶跃响应是一条从零开始，按指数规律变化，经过1.5秒或2秒的调节时间，最终到达稳态值为3的非周期性曲线，动态过程无振荡。第3章控制系统的基本原理和分析方法212.一阶系统的单位斜坡响应输入单位斜坡函数信号：其拉氏变换为：系统的输出响应为：第3章控制系统的基本原理和分析方法22进行拉氏反变换后可以得到系统输出的过渡过程表达式：第3章该式表明，当时系统达到稳态，稳态分量为：

控制系统的基本原理和分析方法23一阶系统的单位斜坡响应曲线如下图所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法24系统到达稳态后，输出与输入之间的误差为：这表明一阶系统的单位斜坡响应存在一个位置误差，其数值等于时间常数T，T值越小，跟踪误差也越小。第3章控制系统的基本原理和分析方法253.一阶系统的单位脉冲响应输入单位脉冲信号：其拉氏变换为：系统的输出响应：进行拉氏反变换后可以得到系统输出的过渡过程表达式：第3章控制系统的基本原理和分析方法26该式表明，一阶系统的单位脉冲响应是一条单调下降的指数曲线，输出量的初始值为，当时，系统达到稳态，输出稳态分量为零，其响应曲线如图3-10所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法27第3章图3-10一阶系统的单位脉冲响应控制系统的基本原理和分析方法28

3.2.2二阶系统的时域响应1.二阶系统模型与参数的对应关系可以采用二阶微分方程来描述的系统称为二阶系统，其典型结构见下图所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法29第3章二阶系统的传递函数为：求解二阶系统闭环特征方程，可以得到方程的特征根为：控制系统的基本原理和分析方法30第3章

当阻尼比取值不同时，得到的系统特征根和响应状态是不一样的，其对应关系列于表3-1中。

控制系统的基本原理和分析方法31第3章2.二阶系统的单位阶跃响应由于二阶系统通常工作在欠阻尼状态下，此时阻尼比取值为0＜＜1，下面讨论系统单位阶跃响应过渡过程特点。欠阻尼状态下系统的特征根为一对实部为负的共轭复根：控制系统的基本原理和分析方法32第3章对二阶系统输入单位阶跃函数信号：拉氏变换为：系统的输出响应可以表示为：控制系统的基本原理和分析方法33对上式进行拉氏反变换，可以得到系统欠阻尼状态下单位阶跃响应的过渡过程表达式：第3章控制系统的基本原理和分析方法343.二阶系统的性能指标计算二阶系统工作在欠阻尼状态下，输入外作用信号为单位阶跃函数，输出的单位阶跃响应如图3-13所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法35第3章图3-13二阶系统欠阻尼状态下的单位阶跃响应控制系统的基本原理和分析方法36可以从以下5个方面来衡量二阶系统的动态性能指标：（1）延迟时间：到达稳态值的50%所需的时间，表示响应的初始段时间的快慢。（2）上升时间：从稳态值的10%上升到90%所需的时间，表征系统响应的初始速度。（3）峰值时间：响应超过稳态值到达第一个峰值所需的时间，表示响应曲线在该点出现第一个峰值。（4）超调量：输出量的最大值与稳态值之间的偏差，表示系统响应超出平衡值的程度。（5）调节时间：系统响应到达稳态值的所需的时间，表示了系统过渡过程的快慢。第3章控制系统的基本原理和分析方法373.2.3控制系统的稳定性分析1.系统稳定的概念如果控制系统受到内外部干扰偏离原来的平衡状态，在初始偏差的作用下，过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，具有恢复平衡状态的性能，并且去掉扰动量后，系统能够按照一定精度恢复到原始状态，这样的系统为稳定的系统，反之，去掉扰动，系统不能回到原始状态，或者其偏离量随时间增长而增加，为不稳定系统。第3章控制系统的基本原理和分析方法382.系统稳定的条件（1）必要条件：特征方程式的系数具有相同的符号，且均不为零，也即特征方程不缺项。（2）充要条件：特征方程的全部根都具有负实部；或者闭环传递函数的全部极点均在S平面的虚轴之左。第3章控制系统的基本原理和分析方法39第3章3.劳斯稳定判据劳斯提出了一种代数判据，根据系统特征方程式的系数来判断特征根的实数部分的符号，从而确定系统的稳定性。已知控制系统的特征方程为：劳斯稳定判据的内容为：（1）控制系统的特征方程系数全部为正，且不缺项；（2）劳斯阵列表中第一列所有元素的计算值均大于零；（3）阵列表第一列元素值出现负号，系统不稳定，符号改变的次数等于系统特征右根的个数。控制系统的基本原理和分析方法404.劳斯稳定判据的应用【例3.4】给定系统特征方程式为：，采用劳斯判据来判断该系统的稳定性。解：由题目可知，该系统的特征方程式各项系数均大于零，且不列不缺项，满足稳定的必要条件。利用特征方程式的各项系数列出劳斯阵列表如下：第3章控制系统的基本原理和分析方法41第3章

1451010检查劳斯阵列表的第一列各元素值，均为正数，说明该系统的特征根都具备负的实数部分，满足稳定的充要条件，所以该系统是稳定的。控制系统的基本原理和分析方法423.2.4控制系统的稳态误差分析1.稳态误差的概念系统的误差通常是指该系统到达稳态后，系统稳态响应的理想值与实际值的偏差。为了分析方便，我们令干扰信号为0，只考虑输入信号的作用，这样，系统的误差可以定义为，稳定系统误差的终值称为系统的稳态误差，记为：

第3章控制系统的基本原理和分析方法43对于单位反馈系统有，则误差传递函数为：可见，系统的稳态误差取决于系统的结构、参数和外部输入信号的性质。第3章控制系统的基本原理和分析方法442.控制系统的型别设控制系统的开环传递函数为：第3章控制系统的型别是指开环传递函数中积分环节的数目，当=0，1，2，3时，相应系统分别称为0型、1型、2型、3型系统。可分别反映出控制系统跟踪阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等输入信号的能力。型别越高，系统跟踪典型信号的能力越强。控制系统的基本原理和分析方法453.稳态误差的计算静态误差系数法是分析讨论系统稳态误差的一种常用方法，它是利用拉氏变换的终值定理进行计算的。设单位反馈系统的闭环传递函数为：误差信号为：由拉氏变换的终值定理可得：第3章控制系统的基本原理和分析方法46（1）阶跃函数输入输入信号为：稳态误差为：其中：称为静态位置误差系数。第3章控制系统的基本原理和分析方法47（2）斜坡函数输入输入信号为：稳态误差为：其中：称为静态速度误差系数。第3章控制系统的基本原理和分析方法48（3）加速度函数输入输入信号为：稳态误差为：其中：称为静态加速度误差系数。第3章控制系统的基本原理和分析方法494.减少和消除稳态误差的方法（1）组成控制系统的元器件应具备相应的精度和稳定性。（2）可在系统的前向通道中串联放大环节，以提高系统的开环放大系数，降低系统的稳态误差。（3）可在系统的前向通道中串联积分环节，以提高系统的型别，增强系统跟随输入信号的能力。（4）可通过误差补偿或引入局部校正的方法，来减小系统内外部扰动信号所引起的稳态误差。第3章控制系统的基本原理和分析方法503.3频率分析法在频域内讨论系统性能的方法称为频率分析法，其本质是采用频率特性来研究系统控制过程的性能，包括系统的稳定性、动态性能及稳态精度。这种方法可以不必直接求解系统的微分方程，而是间接地运用系统的开环频率特性曲线来分析闭环系统的响应，是一种图解的方法，其特点是直观形象，简单易行。第3章控制系统的基本原理和分析方法513.3.1频率特性的概念1.频率特性的定义线性定常系统在正弦信号作用下，其稳态输出随频率变化的特性称为频率特性，它等于输出的稳态分量与输入的复数比。频率特性的表达式为：第3章控制系统的基本原理和分析方法522.频域性能指标在频域中对系统性能的总体要求是：峰值Mr要小，系统动态平稳性好；频带宽大，相频宽要高，系统动态快速性好；零频振幅比≈1，系统稳态精度高。第3章控制系统的基本原理和分析方法533.3.2典型环节的频率特性1.频率特性的3种图示法及其应用场合（1）幅频、相频特性曲线：主要用于分析系统的性能和推算系统数学模型及参数。（2）对数幅频、对数相频特性曲线：也称为伯德图（Bode），主要用于系统性能的分析和讨论，包括稳定性、动态性能、抗干扰能力和性能的改善等。（3）幅相特性曲线：也称为奈奎斯特曲线（Nyquist曲线），主要用于判断系统的稳定性。第3章控制系统的基本原理和分析方法542.典型环节的对数频率特性由于开环系统是由各种典型环节组合而成的，通过典型环节的叠加可形成系统的开环特性，而在频率法中采用对数坐标图可以将频率特性幅值的乘除化为对数坐标中的加减运算，便于进行叠加处理。所以常用对数频率特性曲线来分析系统的性能。各典型环节的对数频率特性曲线如下：第3章控制系统的基本原理和分析方法55第3章（1）比例环节控制系统的基本原理和分析方法56第3章（2）积分环节控制系统的基本原理和分析方法57第3章（3）微分环节控制系统的基本原理和分析方法58第3章（4）惯性环节控制系统的基本原理和分析方法59第3章（5）一阶微分环节控制系统的基本原理和分析方法60第3章（6）二阶微分环节控制系统的基本原理和分析方法61第3章（7）二阶振荡环节控制系统的基本原理和分析方法623.3.3系统的开环频率特性的绘制绘制给定系统的开环对数频率特性的基本步骤是：（1）将系统的开环特性化为标准式表达，将其分解为各典型环节的组合形式。（2）按典型环节对数频率特性的特点，从小到大找出特性曲线在转折点处的频率和每段的斜率变化规律。（3）选定绘制特性曲线所采用的坐标轴比例尺和频率范围。（4）按各典型环节的对数频率特性渐近线，在转折频率处依次叠加，即可得到系统的开环对数频率特性。第3章控制系统的基本原理和分析方法63【例3.8】已知系统的开环传递函数为：画出系统的开环对数幅频特性曲线，分析系统开环对数频率特性的特点。

第3章解：将开环传递函数化为带有时间常数的各典型环节组合形式控制系统的基本原理和分析方法64找出各典型环节的类型、转折频率和斜率变化规律：该系统可以分解为5个典型环节：比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节和再一个惯性环节；选择对数坐标轴的刻度，按各典型环节的对数频率特性渐近线，在转折频率处依次叠加可得到系统的开环对数频率特性如下图所示。第3章控制系统的基本原理和分析方法65第3章图3-25【例3.8】系统的开环对数频率特性控制系统的基本原理和分析方法66分析该系统开环对数频率特性的特点：从图3-25中可以看出，系统开环对数频率特性曲线起始段由比例环节和积分环节决定，在第1个转折频率前高度为40dB，斜率为-20dB/dec；随后叠加了惯性环节，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec；中间部分又转变为-20dB/dec斜率，是叠加了一阶微分环节；高度为0dB时与轴相交于处，称之为截止频率；在第3个转折频率后又叠加了惯性环节，曲线的斜率由-20dB/dec又变为-40dB/dec，反映出系统在高频段时的工作特性。第3章控制系统的基本原理和分析方法673.3.4系统性能的分析和计算三频段的定义及其与系统性能的对应关系开环对数幅频特性曲线中三频段的设置可以表示出该系统所具有的稳态精度、动态响应的快速性和平稳性以及系统的抗干扰能力。给定系统开环对数幅频特性如图3-26所示：第3章控制系统的基本原理和分析方法68第3章图3-26系统开环对数幅频特性的三频段控制系统的基本原理和分析方法69第3章（1）低频段：由比例和积分环节组合而成，该段曲线要满足系统的稳态误差要求。（2）中频段：在系统开环截止频率的两端区间内，反映出系统的动态性能。此段要求满足-20db的斜率，动态平稳性好；越大，动态快速性越好。（3）高频段：系统在最后1个转折频率以后的区域，反映出系统工作在高频区域时的特点，与抗干扰能力相对应。要求高频段的幅频特性斜率尽量低，衰减幅值大，这样可保证系统抗高频干扰性能好。控制系统的基本原理和分析方法70第3章2.二阶最佳模型由于系统的动态性能主要取决于中频段的特性，在工程实践中常常采用二阶最佳模型来处理和设计中频段特性，以保证系统具备良好的动态快速性和平稳性。二阶最佳模型是指系统的阻尼比为0.707时的1型二阶系统，其结构图和开环对数幅频特性曲线如图3-27所示。控制系统的基本原理和分析方法