2022年专升本高数知识点1-10章全

2022年专升本高数知识点汇总1-10章全第一章函数、极限和连续【考试要求】一、函数1．理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数．2．理解和掌握函数的简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性．3．了解反函数：反函数的定义，反函数的图像．4．掌握函数的四则运算与复合运算．5．理解和掌握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数．6．了解初等函数的概念．二、极限1．理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义．2．了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，掌握极限的四则运算法则．3．理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左右极限及其与极限的关系，趋于无穷（，，）时函数的极限．4．掌握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理．5．理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较．6．熟练掌握用两个重要极限求极限的方法．7．熟练掌握分段函数求极限的方法．三、连续1．理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类．2．掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的间断点及确定其类型．3．掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题．4．理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．5．熟练掌握分段函数连续性的判定方法．【考试内容】一、函数（一）函数的概念1．函数的定义：设数集，则称映射为定义在上的函数，通常简记为，，其中称为自变量，称为因变量，称为定义域．说明：表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的外，还可以用其他的英文字母或希腊字母，如“”、“”、“”等，相应的，函数可记作，，等．有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作，这一点应特别注意．2．函数的解析（公式）表示法（1）函数的显式表示法（显函数）：形式的函数，即等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，如，等．（2）函数的隐式表示法（隐函数）：函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．说明：把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化．例如从方程解出，就把隐函数化成了显函数．但并非所有的隐函数都能显化，隐函数的显化有时是非常困难的，甚至是不可能的．（3）分段函数：如果函数的对应法则是由几个解析式表示的，则称之为分段函数，如是由两个解析式表示的定义域为的一个函数．（4）由参数方程确定的函数：如果自变量与因变量的关系是通过第三个变量联系起来（为参变量），则称这种函数关系为参数方程所确定的函数．例如：参数方程表示的图形即为圆心在原点，半径为的圆．（二）函数的几种特性1．有界性设函数的定义域为，数集，如果存在正数，使得对任一都成立，则称函数在上有界．如果这样的不存在，就称函数在上无界．说明：我们这里只讨论有界无界的问题而不区分上界和下界，并且，由上述定义不难看出，如果正数是函数的一个界，则比大的数都是函数的界．2．单调性设函数的定义域为，区间．如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调增加的；如果对于区间上任意两点及，当时，恒有，则称函数在区间上是单调减少的．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．3．奇偶性设函数的定义域关于原点对称．如果对于任一，恒成立，则称为偶函数．如果对于任一，恒成立，则称为奇函数．例如：、都是偶函数，、是奇函数，而则为非奇非偶函数．偶函数的图形关于轴对称，而奇函数的图形关于原点对称．说明：两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．其余结论读者可自行论证．4．周期性设函数的定义域为．如果存在一个正数，使得对于任一有，且恒成立，则称为周期函数，称为的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期．例如：函数、都是以为周期的周期函数，函数是以为周期的周期函数．（三）函数的运算1．和差积商运算设函数，的定义域依次为，，，则我们可以定义这两个函数的下列运算：（1）和（差）：，；（2）积：，；（3）商：，．2．反函数（函数的逆运算）对于给定的是的函数，若将当作自变量而当作因变量，则由关系式所确定的函数称为函数的反函数，记为，叫做直接函数．若直接函数的定义域为，值域为，则反函数的定义域为，值域为．且直接函数的图像与反函数的图像关于直线对称．3．复合函数（函数的复合运算）设函数的定义域为，函数的定义域为，且其值域，则由下式确定的函数，称为由函数与函数构成的复合函数，它的定义域为，变量称为中间变量．说明：与能构成复合函数的条件是函数的值域必须含在函数的定义域内，即，否则不能构成复合函数．此外，复合函数可以由多个函数复合而成．（四）基本初等函数与初等函数1．基本初等函数幂函数：（是常数）；指数函数：（且）；对数函数：（且，特别当时记为）；三角函数：，，，，，；反三角函数：，，，．以上五类函数统称为基本初等函数．说明：反三角函数是学习和复习的难点，因此这里重点给出三角函数和反三角函数的关系，这对于后边学习极限、渐近线及导数等知识是非常有帮助的，请大家牢记．（1）反正弦函数：是由正弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．（2）反余弦函数：是由余弦函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．（3）反正切函数：是由正切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．（4）反余切函数：是由余切函数在区间上的一段定义的反函数，故其定义域为，值域为．2．初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如：，，，等都是初等函数．在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数．二、极限（一）数列的极限1．数列极限的定义：设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（）．如果不存在这样的常数，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在．说明：数列极限中自变量的趋向只有一种，即，虽然含义表示正无穷，但不要写做，注意与函数极限的区别．2．收敛数列的性质性质（1）：（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一．性质（2）：（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界．说明：对于数列，如果存在正数，使得对一切，都有，则称数列是有界的，否则称数列是无界的．性质（3）：（收敛数列的保号性）如果，且（或者），那么存在正整数，当时，都有（或）．（二）函数的极限1．函数极限的定义（1）时函数的极限：设函数在点的某个去心邻域内有定义．如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．说明：函数的左极限或；右极限或；左极限与右极限统称单侧极限．函数当时极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等，即．（2）时函数的极限：设函数当大于某一正数时有定义．如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数，使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式，那么常数就叫做函数当时的极限，记作或（当）．说明：此定义包含和两种情况．2．函数极限的性质（以为例）性质（1）：（函数极限的唯一性）如果存在，那么这极限唯一．性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数和，使得当时，有．性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果，且（或），那么存在常数，使得当时，有（或）．（三）极限运算法则1．如果，，则有（1）；（2）；（3），其中；（4），其中为常数；（5），其中为正整数．2．设有数列和，如果，，则有（1）；（2）；（3），其中（）且．3．如果，而，，则．4．复合函数的极限运算法则：设函数是由函数与函数复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，，且存在，当时，有，则．说明：本法则以为例，其他趋向下亦成立．（四）极限存在准则1．准则如果数列、及满足下列条件：（1）从某项起，即，当时，有，（2），，那么数列的极限存在，且．准则如果函数、及满足下列条件：（1）当（或）时，，（2），，那么存在，且等于．说明：准则及准则称为夹逼准则．2．准则单调有界数列必有极限．准则单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）（五）两个重要极限1．，可引申为，式中不管自变量是哪种趋向，只要在此趋向下即可（或时亦成立）．2．或，可引申为（或时亦成立）或（或时亦成立）．说明：数列亦有第二种极限形式，即．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务必好好掌握．（六）无穷小和无穷大1．定义（1）无穷小的定义：如果函数当（或）时的极限为零，那么称函数为当（或）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列称为时的无穷小．说明：以后我们再提到无穷小时，把数列当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，并且一定是在自变量的某一趋向下才有意义．（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值无限增大，则称函数为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．说明：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小且，则为无穷大．2．无穷小的比较设，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，（1）如果，则称是比高阶的无穷小，记作；（2）如果，则称是比低阶的无穷小；（3）如果，则称与是同阶无穷小；（4）如果，则称与是等价无穷小，记作；（5）如果，，则称是关于的阶无穷小．3．无穷小的性质（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设，，，均为自变量同一趋向下的无穷小，且，，存在，则（表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）．说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，；时，可引申为时，．三、连续（一）连续的概念1．连续的定义连续性定义（1）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．连续性定义（2）：设函数在点的某一邻域内有定义，如果，则称函数在点连续．2．左连续、右连续及区间连续（1）左连续：存在且等于，即；（2）右连续：：存在且等于，即；（3）区间连续：若函数在区间每一点都连续，则称为该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．（二）函数的间断点1．定义：设函数在点的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：（1）在处没有定义；（2）虽在处有定义，但不存在；（3）虽在处有定义，且存在，但，则函数在点为不连续，而点称为函数的不连续点或间断点．2．分类：（1）第一类间断点：如果是函数的间断点，但左极限和右极限都存在，那么称为函数的第一类间断点．时称为可去间断点，时称为跳跃间断点．（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．（三）闭区间上连续函数的性质1．有界性与最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．2．零点定理：设函数在闭区间上连续，且与异号（即），那么在开区间内至少有一点，使得．3．介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同的函数值及，那么对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点，使得（）．【典型例题】【例1-1】求复合函数．1．设，求．解：求就是用代替然后化简，得．2．设，，求．解：当即时，，当即时，，故．【例1-2】求函数的定义域．1．．解：由可得，即；由可得，即，；由可得，即，故原函数的定义域为三部分的交集，即．2．．解：由可得，即；由即可得且；由可得，，故原函数的定义域为三部分的交集，即为．【例1-3】判断函数的奇偶性．1．设和为任意函数，定义域均为，试判定下列函数的奇偶性．（1）解：由奇偶性的判定可知，与均为偶函数，故其和亦为偶函数．（2）解：由奇偶性的判定可知，为奇函数，为偶函数，故其和为非奇非偶函数．2．判定函数的奇偶性．解：因，故原函数为奇函数．【例1-4】计算下列极限．1．．解：当时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：．2．．解：因，并且，，故原极限值为．（夹逼准则）3．．解：．4．．解：．【例1-5】计算下列极限．1．．解：当时，为无穷小，虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，可得．说明：本极限与意义是一样的．2．．解：．说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：．3．．解：因当时，，，故．说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：．4．．解：（时，）．5．．解：．6．．解：．【例1-6】已知是多项式，且，，求．解：利用前一极限式可令，再利用后一极限式，得，则，，故．【例1-7】当时，比较下列无穷小的阶．1．比．解：因，故与是同阶无穷小．2．比．解：因，故是比高阶的无穷小．3．比．解：因，故与是等价无穷小．4．比．解：因，故是比低阶的无穷小．说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解．【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．1．在处的连续性．解：因，，，从而，故函数在处不连续．2．在处的连续性．解：因，，，从而，故函数在处连续．【例1-9】当常数为何值时，函数在处连续？解：因，，，故由连续性可得，，即，故．【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．1．．解：所给函数在处无定义，故是间断点．又，，故是的第二类间断点．2．．解：所给函数在（）处无定义，故、（）是间断点．又，故是第一类间断点，且是可去间断点；，故是第二类间断点，且是无穷间断点．3．．解：所给函数在处无定义，故是间断点．又，，故是的第一类间断点且是跳跃间断点．4．．解：该题是分段函数的连续性问题，因时是初等函数，故在时是连续的，所以该题主要考虑分界点处的连续性．由，，可知是的第一类间断点且是跳跃间断点．【例1-11】证明方程在区间内至少有一个根．证：函数在闭区间上连续，又，，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即（），该等式说明方程在区间内至少有一个根是．【例1-12】证明方程至少有一个小于的正根．证：由题意，函数在区间上连续，又，，根据零点定理，在内至少有一点，使得，即（），该等式说明方程在区间内至少有一个小于的正根．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）解：因，故，，所以，故选（D）．2．（2010年，1分）极限等于（）（A）（B）（C）（D）解：，故选（D）．3．（2009年，1分）极限（）（A）（B）（C）（D）不存在解：，故选（A）．4．（2009年，1分）若，则（）（A）（B）（C）（D）不存在解：因，，，故不存在，选（D）．5．（2009年，1分）是函数的（）（A）连续点（B）可去间断点（C）跳跃间断点（D）第二类间断点解：因，故是函数的可去间断点，选（B）．6．（2008年，3分）设，则等于（）（A）（B）不存在（C）（D）解：，故选（D）．7．（2008年，3分）当时，是的（）（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价（C）低阶无穷小（D）等价无穷小解：因，故选（B）．8．（2007年，3分）当时，是（）（A）比高阶的无穷小（B）比低阶的无穷小（C）与同阶的无穷小（D）与等价的无穷小解：因，故选（C）．9．（2006年，2分）设，，则（）（A）（B）（C）（D）解：当时，；当时，，故选（C）．10．（2005年，3分）设，则（）（A）（B）（C）（D）解：由，得，选（C）．11．（2005年，3分）设是无穷大，则的变化过程是（）（A）（B）（C）（D）解：时，，，；时，，，；故选（B）．二、填空题1．（2010年，2分）若函数在处连续，则．解：，，因在点处连续，故，即，．2．（2010年，2分）是函数的第类间断点．解：因，故是函数的第一类间断点．3．（2009年，2分）设，，则．解：因，故，所以．4．（2009年，2分）在处是第类间断点．解：因时，，没有极限，故是第二类间断点．5．（2008年，4分）函数的定义域为．解：由题意，，故原函数的定义域为．6．（2008年，4分）设数列有界，且，则．解：数列可看作特殊的函数，因数列有界，数列为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小可得，．7．（2008年，4分）函数的反函数为．解：由可得，，，故反函数为．8．（2007年，4分）函数的定义域为．解：由得，，即，所以定义域为．9．（2007年，4分）．解：．10．（2006年，2分）若函数在处连续，则．解：，，因在处连续，故，即，故．三、计算题1．（2010年，5分）求极限，其中为常数．解：．2．（2010年，5分）求极限．解：．说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：．3．（2009年，5分）求极限．解：此题为“”型的极限，解法如下：．4．（2009年，5分）求极限．解：．5．（2008年，5分）求极限．解：．6．（2007年，5分）求极限．解：．说明：时，．7．（2006年，4分）求极限．解：．8．（2006年，4分）设，，求．解：因时，，，且，，故．9．（2005年，5分）求极限．解：．第二章导数与微分【考试要求】1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即，也可记作，或．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有和；式中的即自变量的增量．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在区间内可导．这时，对于任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数的导函数，记作，，或．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．3．单侧导数（即左右导数）根据函数在点处的导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此存在（即在点处可导）的充分必要条件是左右极限及都存在且相等．这两个极限分别称为函数在点处的左导数和右导数，记作和，即，．现在可以说，函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并且相等．说明：如果函数在开区间内可导，且及都存在，就说在闭区间上可导．4．导数的几何意义函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角．如果在点处的导数为无穷大，这时曲线的割线以垂直于轴的直线为极限位置，即曲线在点处具有垂直于轴的切线．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：；法线方程：．5．函数可导性与连续性的关系如果函数在点处可导，则在点处必连续，但反之不一定成立，即函数在点处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数，都可导，则（1）；（2）（是常数）；（3）；（4）（）．3．复合函数的求导法则设，而且及都可导，则复合函数的导数为或．（三）高阶导数1．定义一般的，函数的导数仍然是的函数．我们把的导数叫做函数的二阶导数，记作或，即或．相应地，把的导数叫做函数的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，阶导数的导数叫做阶导数，分别记作，，，或，，，．函数具有阶导数，也常说成函数为阶可导．如果函数在点处具有阶导数，那么在点的某一邻域内必定具有一切低于阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程所确定，即如果方程确定了一个函数关系，则称是由方程所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对求导，求导时要把看作中间变量．例如：求由方程所确定的隐函数的导数．解：方程两边分别对求导，，得，从而．2．一元隐函数存在定理．例如：求由方程所确定的隐函数的导数．解：设，则．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程确定是的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为，上式也可写成．其二阶导函数公式为．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如（，）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数利用指数函数和对数函数的性质化为的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的恢复为的形式．例如：求幂指函数的导数．解：因，故．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求对的导数．例如：求幂指函数的导数．解：对幂指函数两边取对数，得，该式两边对求导，其中是的函数，得，故．二、函数的微分1．定义：可导函数在点处的微分为；可导函数在任意一点处的微分为．2．可导与可微的关系函数在点处可微的充分必要条件是在点处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数，都可导，则（1）；（2）（是常数）；（3）；（4）（）．5．复合函数的微分法则设及都可导，则复合函数的微分为．由于，所以复合函数的微分公式也可写成或．由此可见，无论是自变量还是中间变量，微分形式保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式并不改变．【典型例题】【例2-1】以下各题中均假定存在，指出表示什么．1．．解：根据导数的定义式，因时，，故，即．2．设，其中，且存在．解：因，且存在，故，即．3．．解：根据导数的定义式，因时，，故，即．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数在处的可导性．解：根据导数的定义式，，，故在处的左导数，右导数不存在，所以在处不可导．2．讨论函数在处的可导性．解：因，故函数在处可导．3．已知函数在处连续且可导，求常数和的值．解：由连续性，因，，，从而①再由可导性，，，而由①可得，代入，得，再由可得，代入①式得．【例2-3】已知，求．解：当时，，当时，，当时的导数需要用导数的定义来求．，，，故，从而．【例2-4】求下列函数的导数．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．（）．解：．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得，该式两边对求导，其中是的函数，得，故．2．（）．解：．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数两边取对数，得，该式两边对求导，其中是的函数，得，故．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．（）．解：等式两边取对数，得，两边对求导，注意是的函数，得，整理得，则．2．．解：等式两边取对数，得，即，也即，两边对求导，注意是的函数，得，故．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数可导，求函数的导数．解：．2．设函数和可导，且，试求函数的导数．解：．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数的导数．1．．解：方程两边分别对求导，得，整理得，故．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，则．2．．解：方程两边分别对求导，得，整理的，故．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设，则．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数的导数．1．．解：．2．．解：．【例2-10】求下列函数的微分．1．．解：因，故．2．．解：因，故．3．．解：因，故．4．．解：因，故．【例2-11】求曲线在点处的切线方程和法线方程．解：，，故曲线在点处的切线方程为，即；法线方程为即．【例2-12】求曲线在点处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有，即；由导数的几何意义，曲线在点处的斜率为，故曲线在点处的切线方程为，即；法线方程为，即．【例2-13】求椭圆在点处的切线方程和法线方程．解：将代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又，切线斜率为，故所求切线方程为，即；所求法线方程为，即．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）已知，则等于（）（A） （B）（C）（D）解：根据导数的定义，，选（D）．2．（2010年，1分）曲线在点处的法线方程为（）（A）（B）（C）（D）解：根据导数的几何意义，切线的斜率，故法线方程为，即，选（B）．3．（2010年，1分）设函数在点处不连续，则（）（A）存在（B）不存在（C）必存在（D）在点处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B）正确．4．（2009年，1分）若，则（）（A）（B）（C）（D）解：，选项（B）正确．5．（2008年，3分）函数，在点处（）（A）可导（B）间断（C）连续不可导（D）连续可导解：由的图象可知，在点处连续但不可导，选项（C）正确．说明：的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设在处可导，且，则不等于（）（A）（B）（C）（D）解：根据导数的定义，选项（C）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数在点处的导数定义的选项是（）（A）（B）（C）（D）解：选项（A），选项（C），选项（D），故选（B）．8．（2007年，3分）若可导，且，则（）（A）（B）（C）（D）解：因，故选项（B）正确．9．（2006年，2分）设，为可导函数，则（）（A）（B）（C）（D）解：，选（B）．10．（2005年，3分）设，则（）（A）（B）（C）（D）解：当时，中除项外，其他全为零，故，选项（A）正确．11．（2005年，3分）设，则（）（A）（B）（C）（D）解：由可得，，，，，，对比可知，选项（C）正确．12．（2005年，3分）（）（A）（B）（C）（D）解：，选项（D）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线在点处的切线平行于直线，则．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故．2．（2010年，2分）设，则．解：．3．（2008年，4分）曲线在点的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率．4．（2008年，4分）由参数方程确定的．解：．5．（2006年，2分）曲线在点处的切线方程是．解：切线的斜率，故切线方程为，即．6．（2006年，2分）函数不可导点的个数是．解：，显然，当时，可导；当时，，，故．故函数的不可导点的个数为．7．（2006年，2分）设，则．解：因，故．三、计算题1．（2010年，5分）设函数由方程所确定，求．解：方程两边对求导，考虑到是的函数，得，整理得，故．当时，代入原方程可得，所以．说明：当得到后，也可直接将，代入，得，故．2．（2010年，5分）求函数（）的导数．解：．3．（2009年，5分）设，求．解：因，故．4．（2006年，4分）设可导，且，求．解：．5．（2005年，5分）已知．（1）在处连续，求；（2）求．解：（1）因，故由在处连续可得，，即．（2）当时，；当时，．故．第三章微分中值定理与导数的应用【考试要求】1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义．2．熟练掌握洛必达法则求“”、“”、“”、“”、“”、“”和“”型未定式极限的方法．3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点．6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．【考试内容】一、微分中值定理1．罗尔定理如果函数满足下述的三个条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点（），使得．说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若，则称点为函数的驻点．2．拉格朗日中值定理如果函数满足下述的两个条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，那么在内至少有一点（），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：．说明：当时，上式的左端为零，右端式不为零，则只能，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．3．两个重要推论（1）如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数．证：在区间上任取两点、（假定，同样可证），应用拉格朗日中值公式可得（）．由假定，，所以，即．因为、是上任意两点，所以上式表明在区间上的函数值总是相等的，即在区间上是一个常数．（2）如果函数与在区间内的导数恒有，则这两个函数在内至多相差一个常数，即（为常数）．证：设，则，根据上面的推论（1）可得，，即，故．二、洛必达法则1．时“”型未定式的洛必达法则如果函数及满足下述的三个条件：（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某个去心邻域内及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么．说明：这就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大．2．时“”型未定式的洛必达法则如果函数及满足下述的三个条件：（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时及都存在且；（3）存在（或为无穷大），那么．说明：我们指出，对于或时的未定式“”，也有相应的洛必达法则．3．使用洛必达法则求“”型或“”型极限时的注意事项（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“”型或“”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故．（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“”型或“”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．（3）洛必达法则是求“”型或“”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：求时，可先用进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故．（4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：求时，，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子和分母上的因子当时极限均为，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当不存在时（等于无穷大的情况除外），仍可能存在．例如：极限，极限是不存在的，但是原极限是存在的，．4．其他类型的未定式除了“”型或“”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“”、“”、“”、“”及“”型等．对于“”和“”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“”或“”型；对于“”、“”及“”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“”型，然后再转化成“”型或“”型未定式．三、函数单调性的判定法1．单调性判定法设函数在上连续，在内可导，（1）如果在内，那么函数在上单调增加；（2）如果在内，那么函数在上单调减少．说明：①如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立；②若判定法中在内只有有限个点上，而在其余点上恒有（或），则函数在区间上仍然是单调增加（或单调减少）的．2．单调区间的求法设函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数的单调性的步骤如下：（1）求出函数的定义域；（2）求出函数的导数，并令求出函数的驻点；此外，再找出导数不存在的点（一般是使得分母为零的点）；（3）用函数的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．3．用单调性证明不等式函数的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为，根据要证明的式子找出不等式成立的的范围；（2）求的导数，判断在上述范围内的符号（即正负）；（3）根据范围的边界值与的情况，导出所需要证明的不等式即可．例如：试证明当时，．证明：原不等式即为，故令，，则，在上连续，在内，因此在上单调增加，从而当时，，又由于，故，即，亦即．四、函数的凹凸性与拐点1．函数凹凸性的定义设函数在区间上连续，如果对上任意两点、，恒有，那么称在上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有，那么称在上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数在内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．2．函数凹凸性的判定法设函数在区间上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的．说明：若在内除有限个点上外，其它点上均有（或），则同样可以判定曲线在上为凹曲线（或凸曲线）．3．曲线的拐点的求法一般地，设在区间上连续，是的内点（除端点外内的点）．如果曲线在经过点时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点为这曲线的拐点．我们可以按照下述步骤求区间上的连续函数的拐点：（1）求；（2）令，解出这方程在区间内的实根，并求出在区间内不存在的点；（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查在左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点是拐点，当两侧的符号相同时，点不是拐点．在上单3．基本初等函数的微分公式说明：若要求函数的凹凸区间，则用（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定的符号，若，则该部分区间为凹区间，若，则该部分区间为凸区间．五、函数的极值与最值1．函数极值的定义设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域内任一，有（或），那么就称是函数的一个极大值（或极小值）．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．说明：函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果是函数的一个极大值，那只是就附近的一个局部范围来说，是的一个最大值，如果就的整个定义域来说，不见得是最大值．关于极小值也类似．2．函数取得极值的必要条件设函数在处可导，且在处取得极值，那么．说明：这也就是说，可导函数的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，的导数，，因此是这函数的驻点，但却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数在点处不可导，但函数在该点取得极小值．3．判定极值的第一充分条件设函数在处连续，且在的某去心邻域内可导．（1）若时，，而时，，则在处取得极大值；（2）若时，，而时，，则在处取得极小值；（3）若时，的符号保持不变，则在处没有极值．4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：（1）求出导数；（2）求出的全部驻点与不可导点；（3）考查的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）求出各极值点的函数值，就得函数的全部极值．5．判定极值的第二充分条件设函数在处具有二阶导数且，，那么（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值．说明：该极值判定条件表明，如果函数在驻点处的二阶导数，那么该驻点一定是极值点，并且可按二阶导数的符号来判定是极大值还是极小值．但如果，则该判定条件失效．事实上，当，时，在处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，，，这三个函数在处就分别属于上述三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．6．求在区间上的最值的步骤设函数在闭区间上连续，在开区间内除有限个点外可导，且至多有有限个驻点，则求在闭区间上的最值的步骤如下：（1）求出在内的驻点，，，及不可导点，，，；（2）计算（），（）及，；（3）比较（2）中诸值的大小，其中最大的便是在上的最大值，最小的便是在上的最小值．说明：在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定可导函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得．这时如果在定义区间内部只有一个驻点，那么不必讨论是不是极值，就可以断定是最大值或最小值．六、函数的渐近线的求法1．水平渐近线若（包括或），则直线就是函数的水平渐近线．2．垂直渐近线（或称铅直渐近线）若（包括或），则直线就是函数的垂直（铅直）渐近线．【典型例题】【例3-1】验证罗尔定理对函数在区间上的正确性．解：显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，，且，故满足罗尔定理的条件，由定理可得至少存在一点，使得，即，即为满足条件的点．【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性．解：显然函数在闭区间上连续，在开区间内可导，，根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点，使得，即，可得，即为满足条件的点．【例3-3】不求导数，判断函数的导数有几个零点，这些零点分别在什么范围．解：显然是连续可导的函数，且，故在区间，，上满足罗尔定理的条件，所以在区间内至少存在一点，使得，即是的一个零点；在区间内至少存在一点，使得，即是的一个零点；又在区间内至少存在一点，使得，即也是的一个零点．又因为是三次多项式，最多只能有三个零点，故恰好有三个零点，分别在区间，和内．【例3-4】证明，其中．证明：设，，因为，所以，．又因为，即，故．说明：同理可证，，．【例3-5】求下列函数的极限．1．求．解：该极限为时的“”型未定式，由洛必达法则可得原式．2．求．解：本题为时的“”型未定式，由洛必达法则可得原式．3．求．解：该极限为时的“”型未定式，由洛必达法则可得原式．4．求．解：本题为时的“”型未定式，由洛必达法则可得原式．5．求．解：该极限为时的“”型未定式，结合等价无穷小的替换，运用洛必达法则可得原式．说明：此题也可这样求解（运用公式和等价无穷小替换来简化运算）：原式．6．求．解：该极限为时的“”型未定式，解决方法为先化为“”型，然后通分化为“”型，故原式．7．求．解：该极限为时的“”型未定式，解决方法为取对数化为“”型，进而化为“”型，故原式．8．求．解：原式，最后的极限不存在，不满足洛必达法则的条件，实际上，原式．【例3-6】求下列函数的单调区间．1．．解：因，令，得，．用，将函数的定义域分成三个区间，，，其讨论结果如下表所示：↗↘↗↘↗由上表可得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．2．．解：函数的定义域为，（），当时导数不存在．将函数定义域分成两个区间和，讨论结果如下表所示：↗↗↘所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．【例3-7】利用函数的单调性证明不等式．1．试证当时，成立．证明：设，则，因在区间上连续，在内可导，且，故在区间上单调增加，又因为，所以当时，，即，也即成立．2．试证当时，．证明：令，则，因在区间上连续，在内可导且，故在区间上单调增加，又因为，所以当时，，即，也即成立．【例3-8】证明方程在区间内有且仅有一个实根．证明：令，因为在闭区间上连续，且，，根据零点定理，在区间内至少有一个零点．另一方面，对于任意实数，有，所以在内单调增加，因此曲线与轴至多有一个交点．综上所述，方程在区间内有且仅有一个实根．【例3-9】求下列函数的极值．1．．解：函数的定义域为，且有，令，得驻点，，列表讨论如下：极大值极大值↗↗↘极小值由上表可得，函数的极大值为，极小值为．2．．解：函数的定义域为，且有，令，得驻点，当时不存在，驻点以及不可导点将定义域分成三个区间，列表讨论如下：极大值极大值不存在↗↗↘极小值由上表可得，函数的极大值为，极小值为．【例3-10】求函数在区间上的最值．解：因为，令，得，，计算，，，，比较上述结果可知，最大值为，最小值为．【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点．1．．解：函数的定义域为，且有，，令，得，，列表讨论如下：对应拐点对应拐点凹凸凹由上表可得，曲线的凹区间为和，凸区间为，拐点为和．对应拐点对应拐点凹凸凹2．．解：函数的定义域为，当时有，，当时，和均不存在，但在区间内，，故曲线在上是凹的；在区间内，，故曲线在上是凸的．所以曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）若函数满足，则必为的（）（A）极大值点（B）极小值点（C）驻点（D）拐点解：若，则必为的驻点，选（C）．2．（2009年，1分）当时，曲线（）（A）没有水平渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线解：由可知，为曲线的水平渐近线；，故曲线无铅直渐近线．选项（B）正确．3．（2008年，3分）函数在区间上满足拉格朗日公式中的等于（）（A）（B）（C）（D）解：对函数在区间上应用拉格朗日中值定理，，即，故．选（D）．4．（2007年，3分）曲线上切线平行于轴的点为（）（A）（B）（C）（D）解：切线平行于轴的点即为一阶导数等于零的点．由可得，；时，，时，，故曲线上切线平行于轴的点为和．选项（D）正确．5．（2007年，3分）若在区间内，导数，二阶导数，则函数在该区间内（）（A）单调增加，曲线为凸的（B）单调增加，曲线为凹的（C）单调减少，曲线为凸的（D）单调减少，曲线为凹的解：可得单调增加，可得曲线为凸的，故选（A）．二、填空题1．（2010年，2分）函数的单调减区间是．解：令，得驻点和；当时，，当时，，当时，，故函数的单调递减区间为．2．（2009年，2分）当时，是函数（填“单调递增”、“单调递减”）．解：当时，；当时，；故当时，是单调递减函数．3．（2009年，2分）函数在区间上的最大值点是．解：令，得驻点和．比较函数值，，，可知，函数的最大值为，故函数的最大值点为．4．（2007年，4分）曲线在处的切线方程为．解：将代入参数方程可得切点为，切线斜率，故切线方程为，即．5．（2005年，3分）的凸区间是．解：，．令可得，，且当时，，当时，，故函数的凸区间是．6．（2005年，3分）曲线通过点的切线方程为．解：因，故切线斜率，所以切线方程为，即．三、应用题或综合题1．（2010年，10分）现有边长为厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？解：设剪区的小正方形边长为，则纸盒的容积，．，令，可得（舍去）．因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形边长为厘米时，做成的无盖纸箱容积最大．2．（2010年，10分）设函数在上连续，并且对于上的任意所对应的函数值均为，证明：在上至少存在一点，使得．解：令，由于在上连续，故在上也连续．，．而对，，故，．若，即，，则；若，即，，则；当，时，，而在上连续，故根据零点定理可得，至少存在一点，使得，即，．综上，在上至少存在一点，使得．3．（2009年，10分）某工厂需要围建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？解：设堆料场的宽为，则长为，设砌墙周长为，则，令，得，（舍去）．因只有一个驻点，且原题中最值一定存在，故当时，函数有最小值．即当宽为，长为时，才能使砌墙所用的材料最省．4．（2009年，10分）当，时，．解：原不等式即为．设，则（1）当时，，即成立；（2）当时，，故单调增加，可得，即成立；（3）当时，，故单调减少，可得，即成立．综上，当，时，不等式成立，即．5．（2008年，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间与拐点．解：函数的定义域为．先求单调区间和极值．令，得驻点，，用驻点将整个定义域分为三个区间，，．当时，，函数单调减少；当时，，函数单调增加；当时，，函数单调减少．故函数的单调增加区间为，单调减少区间为和；极小值，极大值．再求凹凸区间和拐点．令，得．当时，，函数为凹的；当时，，函数为凸的，且当时，，故函数的凹区间为，凸区间为，拐点为．6．（2007年，8分）求函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为．先求单调区间和极值．令，得驻点，，用驻点将整个定义域分为三个区间，，，．当时，，函数单调增加；当时，，函数单调减少；当时，，函数单调减少；当时，，函数单调增加．故函数的单调增加区间为和，单调减少区间为和；极大值，极小值．再求凹凸区间和拐点．因，故当时，，函数为凸的；当时，，函数为凹的，故函数的凸区间为，凹区间为．凹凸性改变的点为，不在定义域内，故函数没有拐点．7．（2007年，8分）在周长为定值的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？解：设扇形的半径为，则弧长为，设扇形的面积为，则由题意．令得，．唯一的极值点即为最大值点．故当扇形的半径为时，扇形的面积最大．8．（2006年，10分）求函数的单调区间、极值及凹凸区间、拐点．解：函数的定义域为．先求单调区间和极值．令，得驻点，，用驻点将整个定义域分为三个区间，，．当时，，函数单调增加；当时，，函数单调减少；当时，，函数单调增加．故函数的单调增加区间为和，单调减少区间为；极大值，极小值．再求凹凸区间和拐点．令，得．当时，，函数为凸的；当时，，函数为凹的，且当时，，故函数的凸区间为，凹区间为，拐点为．9．（2006年，10分）设函数在上连续，且．证明方程在内有且仅有一个根．证明：先证存在性．设，．因在上连续，故在上也连续，且，，故由零点定理可得，至少存在一点使得，即在内方程至少存在一个根．再证唯一性，即证的单调性．，故单调增加，所以结合上面根的存在性可知，方程在内有且仅有一个根．10．（2005年，8分）已知与在处切线相同，写出该切线方程并求．解：切线斜率，故切线方程为，即．因过点，故，且，故．第四章不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理．2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或，那么函数就称为（或）在区间上的原函数．例如，因，故是的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一都有．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作．其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量．如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即，因而不定积分可以表示的任意一个原函数．函数的原函数的图形称为的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数及的原函数存在，则．（2）设函数的原函数存在，为非零常数，则．5．不定积分与导数的关系（1）由于是的原函数，故或．（2）由于是的原函数，故或．二、基本积分公式1．（是常数）2．（）3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．*14．*15．*16．*17．*18．*19．*20．*21．*22．说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若，及都是连续函数，且，则．2．常用凑微分公式（1）（，均为常数且）（2）（，均为常数且），（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）四、第二类换元法定理：设连续，及都是连续函数，的反函数存在且可导，并且，则．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形：（1）当被积函数中含有，可令；（2）当被积函数中含有，可令；（3）当被积函数中含有，可令．五、分部积分法1．公式的推导设函数及具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为，移项，得，对这个等式两边求不定积分，得，为简便起见，上述公式也写为．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为（有时也可利用变量代换）．（3）根据范围的边界值与的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．如果被积函数中含有简单根式或，可以令这个简单根式为，由于这样的变换具有反函数，且反函数是的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】【例4-1】计算下列不定积分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．5．．解：．6．．解：．7．．解：．8．．解：．9．．解：．10．．解：．11．．解：．12．．解：．13．．解：原式．14．．解：．【例4-2】计算下列不定积分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．说明：此题也可用变量代换解，即令，则，，故原式．4．．解：．5．．解：．6．．解：．7．．解：原式，所以．8．．解：，故．说明：此题也可用变量代换法求解，即令，则，，则原式，故原式．【例4-3】计算下列不定积分．1．．解：被积函数的分母分解成，故可设，其中、为待定系数．上式两端去分母后，得，即．比较此式两端同次幂的系数，即有，，从而解得，，于是．2．．解：设，则，即，有解得于是．3．．解：为了去掉根号，可以设，于是，，故．4．．解：为了去掉根号，可以设，于是，，故．【例4-4】设，求．解：对等式两边对求导，可得，则，故．【例4-5】已知是的一个原函数，求．解：因为是的一个原函数，所以且，故根据不定积分的分部积分法可得．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是（）（A）（B）（C）（D）解：选项（A）正确；，故选项（B）和选项（D）均不正确；，故选项（C）错误．故选（A）．2．（2007年，3分）设（），则（）（A）（B）（C）（D）解：令，因，故，变为，该式两边对取不定积分得，，即．选（C）．3．（2006年，2分）若，则（）（A）（B）（C）（D）解：等式两边对求导得，，故．选项（C）正确．4．（2005年，3分）（）（A）（B）（C）（D）解：．选项（A）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分．解：根据不定积分与微分的关系可得，．2．（2009年，2分）设，则．解：由题意，，则，那么，于是．三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分．解：．2．（2009年，5分）求不定积分．解：．3．（2006年，4分）若，求．解：等式两边对求导，可得，则，从而．4．（2005年，5分）求不定积分．解：令，则原式．四、应用题或综合题1．（2008年，8分）设的一个原函数为，求．解：因是的一个原函数，故，，从而．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下．因，故．第五章定积分【考试要求】1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件．2．掌握定积分的基本性质．3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法．4．掌握牛顿——莱布尼茨公式．5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法．6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法．7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积．【考试内容】一、定积分的相关概念1．定积分的定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间，，，，各个小区间的长度依次为，，，．在每个小区间上任取一点（），作函数值与小区间长度的乘积（），并作出和．记，如果不论对怎样划分，也不论在小区间上点怎样选取，只要当时，和总趋于确定的极限，那么称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即，其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间．说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说．2．定积分存在的充分条件（可积的条件）（1）设在区间上连续，则在上可积．（2）设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积．说明：由以上两个充分条件可知，函数在区间上连续，则在上一定可积；若在上可积，则在区间上不一定连续，故函数在区间上连续是在上可积的充分非必要条件．3．定积分的几何意义在区间上函数时，定积分在几何上表示由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积．在区间上时，由曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值．在区间上既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴的上方，而其他部分在轴的下方，此时定积分表示轴上方图形的面积减去轴下方面积所得之差．二、定积分的性质下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．性质1．当时，．性质2．当时，．性质3．．说明：该性质对于有限个函数都是成立的．性质4．（是常数）．性质5．．说明：该性质称为定积分对于积分区间的可加性．性质6．如果在区间上，则．性质7．如果在区间上，则（）．推论（1）：如果在区间上，则（）．推论（2）：（）．性质8．（估值不等式）设及分别是函数在区间上的最大值和最小值，则（）．性质9．（定积分中值定理）如果函数在积分区间上连续，则在上至少存在一点，使得下式成立：（）．说明：该公式称为积分中值公式，称为函数在区间上的平均值．三、积分上限函数及其导数1．积分上限函数的定义设函数在区间上连续，并且设为上的一点，由于在区间上仍旧连续，因此定积分存在．这里，既表示定积分的上限，又表示积分变量．因为定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，例如用表示，则上面的定积分可以写成．如果上限在区间上任意变动，则对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记作：（），这个函数即为积分上限函数（或称变上限定积分）．2．积分上限函数的导数定理1：如果函数在区间上连续，则积分上限函数在上可导，并且它的导数（）．定理2：如果函数在区间上连续，则函数就是在上的一个原函数．说明：对于积分上限函数的复合函数，求导法则可按下述公式进行：．若积分下限为函数，即，求导法则可按下述公式进行：．若积分上限和下限均有函数，即，求导法则可按下述公式进行：．四、牛顿——莱布尼茨公式定理3：如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则．这个定理表明，一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在区间上的增量，这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．通常把上述公式称为微积分基本公式．五、定积分的换元法和分部积分法1．定积分的换元法设函数在区间上连续，函数满足条件：（1），；（2）在（或）上具有连续导数，且其值域，则有．说明：应用换元公式时有两点值得注意：①用把原来变量代换成新变量时，积分限也要换成相应于新变量的积分限；②求出的一个原函数后，不必像计算不定积分那样再要把变换成原来变量的函数，而只要把新变量的上下限分别代入中然后相减就行了．例如：计算（）解：设，则，当时，，当时，．于是．2．定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法，可得，简记作或．这就是定积分的分部积分公式．3．定积分的两个简便公式（1）若在上连续且为奇函数，则；若在上连续且为偶函数，则．（2）设，则当为正偶数时，；当为大于的正奇数时，．六、无穷限的广义积分1．函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则函数在无穷区间上的反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分发散，这时记号就不再表示数值了．2．函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分发散．3．函数在无穷区间上的反常积分设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在区间上的反常积分，记作，即，这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散．4．无穷限广义积分的计算方法设为在上的一个原函数，若存在，则反常积分；；．说明：当与有一个不存在时，反常积分发散．七、求平面图形的面积1．型区域型区域是指：平面图形是由上下两条曲线、（）及直线、所围成，面积计算公式为．2．型区域型区域是指：平面图形是由左右两条曲线、（）及直线、所围成，面积计算公式为．【典型例题】【例5-1】计算下列定积分．1．．解：原式．2．．解：．3．．解：．4．．解：原式．5．．解：原式．6．．解：．7．（）．解：设，则，当时，；当时，．故．8．．解：设，则，，且当时，；当时，．故．【例5-2】计算下列定积分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：令，则，，且当时，；当时，．故．【例5-3】计算下列广义积分．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例5-4】计算下列积分上限函数的导数．1．．解：．2．．解：．3．．解：．4．．解：．【例5-5】求下列极限．1．．解：应用洛必达法则，．2．．解：（时，）．3．．解：．4．．解：．【例5-6】设函数计算．解：设，则，且当时，；当时，．于是．【例5-7】计算定积分．解：．【例5-8】求下列平面图形的面积．1．计算由两条抛物线和所围成的平面图形的面积．解：此区域既可看成型区域，又可看作型区域．按型区域解法如下：两曲线的交点为和，故面积．2．求由抛物线，直线及所围成的平面图形的面积．解：按型区域来做，先求出图形边界曲线的交点、及，故面积．3．计算由曲线和直线所围成的平面图形的面积．解：此区域既可看成型区域，又可看作型区域，但按型区域解较为简便．先求两曲线的交点，由可解得交点为和，故面积．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）设，则等于（）（A）（B）（C）（D）解：，选项（C）正确．2．（2010年，1分）曲线与直线所围成的图形的面积为（）（A）（B）（C）