7.1 为什么要证明（同步课件）八年级数学上册同步课堂（北师大版）

北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明1为什么要证明学习目标1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理．（重点）2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．（难点）观察下面两幅图中的中间圆，它们大小一样吗？一、创设情境，引入新知一、创设情境，引入新知线段AB和CD长度完全相等,

虽然它们看起来相差很大!柱子是圆的还是方的？有多少个黑点？线是直的还是弯曲的？一、创设情境，引入新知平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!通过观察、度量、猜测得到的结论都正确吗？如果不是，那用什么方法才能说明它的正确性呢？本章我们将一起学习如何根据一些基本事实推出其他结论的过程，证明与平行线的性质及判定有关的一些结论，证明三角形内角和定理，还将探讨三角形的内角与外角的关系.ab（1）图①中两条线段a,b的长度相等吗？图②中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.二、自主合作，探究新知探究：为什么要证明以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！a=b是正方形.仅通过观察得到的结论不一定正确.二、自主合作，探究新知（2）如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？所以它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.

解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：

根据感觉经验得到的结论不一定正确！二、自主合作，探究新知合作探究（1）代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试．你能否由此得到结论：对于所有的自然数n，式子n2－n＋11的值都是质数吗？解：列表归纳为n01234567891011…n2-n+1111111317233141536783101121

是否为质数是是是是是是是是是是是不是答：当n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝11,时，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.所以对于所有自然数，式子n2－n＋11的值不都是质数．做一做根据不完全归纳得到的结论不一定正确.欧拉

二、自主合作，探究新知费马

费马的失误二、自主合作，探究新知知识要点

这个故事告诉我们：1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.二、自主合作，探究新知合作探究（2）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．DE与BC有怎样位置关系和数量关系？请先猜一猜，在设法检验你的猜想．你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴交流．做一做根据测量得到的结论未必可信.

二、自主合作，探究新知实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．

实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段．通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的?说说你的经验与困惑．议一议二、自主合作，探究新知例1：先观察再验证．(1)图①中实线是直的还是弯曲的？(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？典型例题解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.二、自主合作，探究新知例2：当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.【方法总结】验证特例是判断一个结论错误的最好方法．典型例题二、自主合作，探究新知例3：如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.典型例题二、自主合作，探究新知(3)由(1)、(2)你发现了什么？(4)你能肯定上述的发现吗？解：(3)由(1)(2)可发现：∠AOB＝∠COD.(4)证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，

∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.方法归纳二、自主合作，探究新知检验数学结论具体经历的过程是：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论.检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明.1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（）A.小华用的多 B.小明用的多C.两人用的一样多 D.不能确定谁用的多三、即学即练，应用知识C2.下列说法中，①锐角都相等；②大于90°且小于平角的角是钝角；③互为相反数的两数和为0；④若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2⊥l3.其中正确的有（）A.①②

B.②③

C.③④

D.②④B三、即学即练，应用知识3.下列结论中你能肯定的是（）A.今天下雨，明天必然还下雨B.三个连续整数的积一定能被6整除C.小明在数学竞赛中一定能获奖D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人BA4.下列问题用到推理的是（）A.根据a=10，b=10,得到a=bB.观察得到三角形有三个角C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘D.由经验可知过两点有且只有一条直线三、即学即练，应用知识5.当n为正整数时，代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗？解:当n＝1时，(n2-5n+5)2＝12＝1；当n＝2时，(n2-5n+5)2＝(-1)2＝1；当n＝3时，(n2-5n+5)2＝(-1)2＝1；当n＝4时，(n2-5n+5)2＝12＝1；当n＝5时，(n2-5n+5)2＝52＝25≠1.所以当n为正整数时，(n2-5n+5)2不一定等于1.四、课堂小结为什么要证明证明的必要性检验数学结论的常用方法实验验证举出反例推理证明实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．检验数学结论具体经历的过程观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论。五、当堂达标检测1.下列推理正确的是（

）A.弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁到了明年，哥哥只比弟弟大5岁了B.如果a>b,b>c,则a>cC.∠A与∠B相等,原因是它们看起来大小也差不多D.因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角B2.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛,甲说:“只参加一项的人数大于14.”乙说:“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法,有下列四个说法中，其中正确的是（

）A.若甲对,则乙对C.若乙错,则甲错B.若乙对,则甲对D.若甲错，则乙对B五、当堂达标检测3.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局.已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判.则第二局的输者是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C4.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？解：不是，当n=6时，

n2+3n+1=55不是质数。五、当堂达标检测5.观察下列等式：12×231=132×21,13×341=143×31,23×352=253×32,34×473=374×43,62×286=682×26，…以上等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”:①52×

=

×25;②

×396=693×

.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,