河北省2021年中考数学试卷

河北省2021年中考数学试卷一、单选题1．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（） A．a B．b C．c D．d2．不一定相等的一组是（）A．a+b与b+a B．3a与a+a+aC．a3与a⋅a⋅a D．3(a+b)与3．已知a>b，则一定有−4a□−4b，“□”中应填的符号是（）A．> B．< C．≥ D．=4．与32A．3−2+1 B．3+2−1 C．3+2+1 D．3−2−15．能与−(3A．−34−65 B．656．一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图，下列判断正确的是（）A．A代表 B．B代表 C．C代表 D．B代表7．如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（） 图2A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是8．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 第8题图 第10题图9．若33取1.442，计算3A．-100 B．-144.2 C．144.2 D．-0.0144210．如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，S△AFO=8，S△CDOA．20 B．30 C．40 D．随点O位置而变化11．如图，将数轴上-6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，a2，a3，aA．a3>0 C．a1+a12．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP=2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，PA．0 B．5 C．6 D．713．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．求证：∠ACD=∠A+∠B． 下列说法正确的是（）A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B．证法1用严谨的推理证明了该定理C．证法2用特殊到一般法证明了该定理D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理14．小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色，并绘制了不完整的扇形图1及条形图2（柱的高度从高到低排列）．条形图不小心被撕了一块，图2中“（）”应填的颜色是（）A．蓝 B．粉 C．黄 D．红 第14题图 第16题图15．由(1+c2+c−12A．当c=−2时，A=12 B．当c=0C．当c<−2时，A>12 D．当c<016．如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB=40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形OFM对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对二、填空题17．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为；（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片块． 第17题图 第18题图18．下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）度．三、解答题19．用绘图软件绘制双曲线m：y=60x与动直线l：y=a，且交于一点，图1为（1）当a=15时，l与m的交点坐标为；（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的12，其可视范围就由−15≤x≤15及−10≤y≤10变成了−30≤x≤30及−20≤y≤20（如图2）．当a=−1.2和a=−1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的1k，则整数k=20．某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本．现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．（1）用含m，n的代数式表示Q；（2）若共购进5×104本甲种书及3×1021．已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：101−x=2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否符合题意；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．22．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；（2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．23．下图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方，2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．（注：（1）及（2）中不必写s的取值范围）24．如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1~12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1（1）通过计算比较直径和劣弧A7（2）连接A7A11，则A（3）求切线长PA25．下图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO=2，在ON上方有五个台阶T1~T5（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T1到x轴距离OK=10．从点A处向右上方沿抛物线L（1）求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；（2）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5（3）在x轴上从左到右有两点D，E，且DE=1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE=2．在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边BD（包括端点）上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？（注：（2）中不必写x的取值范围）26．在一平面内，线段AB=20，线段BC=CD=DA=10，将这四条线段顺次首尾相接．把AB固定，让AD绕点A从AB开始逆时针旋转角α(α>0°)到某一位置时，BC，CD将会跟随出现到相应的位置．（1）论证如图1，当AD//BC时，设AB与CD交于点O，求证：AO=10；（2）发现当旋转角α=60°时，∠ADC的度数可能是多少？（3）尝试取线段CD的中点M，当点M与点B距离最大时，求点M到AB的距离；（4）拓展①如图2，设点D与B的距离为d，若∠BCD的平分线所在直线交AB于点P，直接写出BP的长（用含d的式子表示）；②当点C在AB下方，且AD与CD垂直时，直接写出α的余弦值．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，连结AB、AC、AD、AE，根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，故答案为：A．

【分析】将A点，与B，C，D，E点分别作直线。线段m在其中直线就可以解题。解题关键：理解两点确定一条直线。2．【答案】D【解析】【解答】解：A.a+b=b+a，A不符合题意；B.a+a+a=3a，B不符合题意；C.a⋅a⋅a=aD.3(a+b)=3a+3b≠3a+b，D符合题意，故答案为：D．【分析】A、根据加法的交换律进行判断即可；

B、利用合并同类项计算a+a+a=3a，然后判断即可；

C、利用同底数幂的乘法求出a·a·a的值，然后判断即可；

D、利用去括号求出3（a+b）=3a+3b，然后判断即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：将不等式a>b两边同乘以-4，不等号的方向改变得−4a<−4b，∴“□”中应填的符号是“<”，故答案为：B．【分析】利用不等式的性质3进行解答即可.4．【答案】A【解析】【解答】3∵3−2+1=2，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0故答案为：A．【分析】先求出325．【答案】C【解析】【解答】解：方法一：0−[−(3方法二：−(34−故答案为：C．【分析】方法一：利用减法法则将减法运算转化为加法，再去括号求解即可；方法二：利用相反数的意义求解即可.6．【答案】A【解析】【解答】解：由正方体展开图可知，A的对面点数是1；B的对面点数是2；C的对面点数是4；∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表，故答案为：A．

【分析】正方体的展开图共有11种，其中“一四一”型共有6种，“二三一”型共有3种，“二二二”，“三三”型各1种。FigureSEQFigure\*ARABIC1同色的为相对两面三个正方形成一直线形成“目”字形，则两端的正方形必定为对面。如果四正方形形成Z形，则两端的正方形必定为对面。解题关键：如何找正方形展图中相对的两面。7．【答案】A【解析】【解答】连接AC，BD交于点O甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO∵BN=NO，OM=MD∴ON=OM∴四边形ANCM为平行四边形．乙方案：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB//CD，AO=CO，BO=DO∴∠ABN=∠CDM又∵AN⊥BD，CM⊥BD∴∠ANB=∠CMD∴△ABN≌△CDM(AAS)∴BN=DM∵BO=DO∴ON=OM∴四边形ANCM为平行四边形．丙方案：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB//CD，AO=CO，BO=DO，∠BAD=∠BCD∴∠ABN=∠CDM又∵AN，CM分别平分∠BAD，∠BCD∴12∴△ABN≌△CDM（ASA）∴BN=DM∵BO=DO∴ON=OM∴四边形ANCM为平行四边形．所以甲、乙、丙三种方案都可以．故答案为：A．

【分析】平行四边形对边平行且相等，对角分别相等，对角形相互平分。对角线相互平分的四边形是平行四边形。全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.解题的关键：熟练掌握平行四边形的判定与性质。8．【答案】C【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∴AB6∴AB=3（cm），故答案为：C．

【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质可得结果。相似三角形对应边、对应高、对应线、对应角平分线的比、周长之比都是等于相似比，面积之比等于相似比的平方。9．【答案】B【解析】【解答】∵∵∴−100故答案为：B．【分析】先合并，再代入计算即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形ABCDEF的中心，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴AB=BC，∠B=∠BAF=120°，∴∠BAC=30°，∴∠FAC=90°，同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，∴四边形ACDF是矩形，S△AFO+SS正六边形ABCDEF故答案为：B．

【分析】正六边形ABCDEF的面积=S矩形AFDC+S△EDF+S△ABC。由于正六边形各边相等，每个角相等，可得FD=3AF，过E作FD的垂线，垂足为M，利用解直角三角形可求EM。11．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意可求出：aA，a3B，|aC，a1D，a2故答案为：C．【分析】先算出-6与6两点间线段的长度为12，再将其分成六等分，每分长度是2.从示可求各点表示的数。解题关键：理解数轴上两点间表示的矩离。12．【答案】B【解析】【解答】解：连接OP∵P1∴直线l是PP∴O∵P2∴直线m是PP∴O当P1，O，即0<当P1，O，故答案为：B

【分析】由对称得OP1=OP=OP2=2.8。再根据三角形三边的关系可得结果。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。解题关键：熟练掌握对称性和三角形三边的关系。13．【答案】B【解析】【解答】解：A.证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；B.证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，B符合题意；C.证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的符合题意性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，C不符合题意；D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的符合题意性更高，就能证明该定理还需用理论证明，D不符合题意．故答案为：B.

【分析】解题关键：依据定理证明的一般步骤进行分析解答。14．【答案】D【解析】【解答】解：同学最喜欢的颜色最少的是蓝色，有5人，占10%，5÷10%=50（人），喜欢红色的人数为50×28%=14（人），喜欢红色和蓝色一共有14+5=19（人），喜欢剩余两种颜色的人数为50-19=31（人），其中一种颜色的喜欢人数为16人，另一种为15人，由柱的高度从高到低排列可得，第三条的人数为14人，“（）”应填的颜色是红色；故答案为：D．

【分析】根据图形分析蓝色是5，所占的百分比是10%。可得总数人50。进而求得红14，最后的15.从而可得答案。某一部分数量除以其对应的百分比=总数。某一部分数量=总数×其对应的百分比。解题关键：熟读统计图表示的数量关系。15．【答案】C【解析】【解答】解：1+c2+c当c=−2时，2+c=0，A无意义，故A不符合题意；当c=0时，c4+2c=0，当c<−2时，c4+2c>0，当−2<c<0时，c4+2c<0，A<12；当c<−2时，故答案为：C．【分析】先计算1+c2+c−12=16．【答案】D【解析】【解答】解：Ⅰ、如图所示．∵MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，∴MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．∴OM=ON，OE=OF．∴四边形MENF是平行四边形．∵线段MN是⊙O的直径，∴∠MEN=90°．∴平行四边形MENF是矩形．∴结论Ⅰ符合题意；Ⅱ、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，∵AP=AB，∴AB=∵MN⊥AB，EF⊥AP，∴AE∴AE∴∠AOE=∠AON=∴∠EON=40∴∠MOF=∠EON=40∵扇形OFM与扇形OAB的半径、圆心角度数都分别相等，∴S扇形OFM如图3，当点P在直线MN右侧且BP=AB时，同理可证：S扇形FOM∴结论Ⅱ不符合题意．故答案为：D

【分析】对角线相互平分的四边形是平行四边形。直径所对圆周角是直角。有一角为直角的平行四边形是矩形。解题关键熟练掌握五种基本作图，属于常考题型。17．【答案】（1）a（2）4【解析】【解答】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为a，b∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2故答案为：a2（2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为a2+4b2，若再加上4ab（刚好是4个丙），则故答案为：4．【分析】a218．【答案】减少；10【解析】【解答】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．

【分析】三角形内角和是180度。三角形一个外角等于与它不相邻的两个外角和。19．【答案】（1）(4，15)（2）4【解析】【解答】（1）根据题意，得y=∴x=4∵x≠0∴x=4是60x∴当a=15时，l与m的交点坐标为：(4，15)故答案为：(4，15)；（2）当a=−1.2时，得y=∴x=−50∵x≠0∴x=−50是60x∴l与m的交点坐标为：(−50，−1.2)∵（1）视窗可视范围就由−15≤x≤15及−10≤y≤10，且−10<1.2<10∴−15k<−50根据题意，得k为正整数∴k>∴k=4同理，当a=−1.5时，得x=−40∴−15k<−40∴k>∴k=3∵要能看到m在A和B之间的一整段图象∴k=4故答案为：4．【分析】根据题意可求出A（-50，1.2），B（-40，-1.5），-15k<-50从得出k的整数值.20．【答案】（1）Q=4m+10n（2）∵m=5×∴Q=4×5×=20×所以Q=2.3×10【解析】【分析】（1）由Q=甲种书的费用+乙种书的费用，列式即可；

（2）由于m=5×1021．【答案】（1）解：101−x=2x，解得：x=101所以淇淇的说法不符合题意．（2）∵A品牌球有x个，B品牌球比A品牌球至少多28个，∴101−x−x≥28，解得：x≤36.5，∵x是整数，∴x的最大值为36，∴A品牌球最多有36个．【解析】【分析】（1）求出嘉嘉所列方程的解，由于x值不为整数，即可得出淇淇的说法不符合题意．

（2）设A品牌球有x个，则B品牌球（101-x）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个，列出不等式，求出解集，再求出最大整数解即可.22．【答案】（1）解：嘉淇走到十字道口A一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口A向北走的概率为13（2）补全树状图如图所示：嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：39=13；向南的概率为29【解析】【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比。23．【答案】（1）解：设线段OA所在直线的函数解析式为：h=∵2号机从原点O处沿45°仰角爬升∴h=s又∵1号机飞到A点正上方的时候，飞行时间t=4∴2号机的飞行速度为：v2（2）设线段BC所在直线的函数表达式为：h=∵2号机水平飞行时间为1min，同时1号机的水平飞行为1min，点B的横坐标为：4+3=7；点B的纵坐标为：4，即B(7，4)，将B(7，4)，C(10，3)代入h=k7解得：k∴h=−令h=0，解得：s=19∴2号机的着陆点坐标为(19，0)（3）当点Ｑ在OA时，要保证PQ≤3，则：t1当点Q在AB上时，此时PQ=1，满足题意，时长为1（min）；当点Q在BC上时，令2=−13s+193∴当PQ≤3时，时长为：133【解析】【分析】（1）先求出h=s，再计算求解即可；

（2）利用待定系数法求出h=−13s+24．【答案】（1）劣弧A7直径2r=12，因为4π>12，故劣弧更长．（2）如下图所示连接A1、A7，∴对应的圆周角∠∴A7A11（3）如上图所示，∠∵PA7是∴∠PA∴PA【解析】【分析】（1）利用弧长公式求解即可，

（2）利用圆周角定理证明即可

（3）解直角三角形可求解。25．【答案】（1）解：当y=0，−x解得：x=−2，x=6，∵A在左侧，∴A(−2，0)，∵y=−x2+4x+12∴y轴与OK重合，如下图：点P会落在T4当y=7时，−x解得：x=−1，x=5，∵4.5<5<6，∴P会落在T4的台阶上且坐标为P(5，7)（2）设将抛物线L，向下平移5个单位，向右平移a的单位后与抛物线C重合，则抛物线C的解析式为：y=−(x−2−a)由（1）知，抛物线C过P(5，7)，将P(5，7)代入y=−(x−2−a)7=−(3−a)解得：a=5，a=1（舍去，因为是对称轴左边的部分过P(5，7)），抛物线C：y=−(x−7)∵y=−(x−7)2+11关于x=−∴其对称轴与台阶T5（3）由题意知，当△BDE沿x轴左右平移，恰使抛物线C下落的点P过点D时，此时点B的横坐标值最大；当y=0，−(x−7)解得：x1故点B的横坐标最大值为：8+11当△BDE沿x轴左右平移，恰使抛物线C下落的点P过点B时，此时点B的横坐标值最小；当y=2，−(x−7)解得：x1故点B的横坐标最小值为：10，则点B横坐标的最大值比最小值大：8+11故答案是：11−2【解析】【分析】（1）由题意台阶T4的左边端点（4.5，7），右边端点的坐标（6，7）求出x=4.5，6时的值即可判断。（2）由题意可设C的解析式为：y=-x2+bx+c，经过R（5，7），最高点的纵坐标为11.列出方程组求出b，c，可得出结论。

（3）求出抛物线与X轴的交点，以及y=2时，点的坐标，判断出两种特殊位置点B的横坐标的值，可得结论。26．【答案】（1）证明：∵AD//BC，∴∠A=∠B，∠D=∠C，在△AOD和△BOC中，∠A=∠BAD=BC∴△AOD≅△BOC(ASA)，∴AO=BO，∵AO+BO=AB=20，∴AO=10；（2）由题意，由以下两种情况：①如图，取AB的中点E，连接DE，则AE=BE=1∵A