11.1.5旋转体课件高一下学期数学人教B版

第十一章立体几何初步旋转体人教B版

数学

必修第四册课程标准1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.知道这四种几何体的结构特征,能识别和区分这些几何体.3.会作旋转体的轴截面,并利用轴截面解决问题.4.理解圆柱、圆锥、圆台的表面积与侧面积公式,球的表面积公式.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1圆柱、圆锥、圆台1.圆柱、圆锥、圆台

可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;

可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;

可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.

圆柱

圆锥圆台用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是

,其中,旋转轴称为旋转体的

,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的

,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的

,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的

.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为

.

在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为

.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.

显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.旋转体侧面的面积称为旋转体的

,侧面积与底面积之和称为旋转体的

(或

).

旋转体轴高底面侧面母线轴截面侧面积表面积全面积2.圆柱、圆锥、圆台的相关特征

几何体圆柱圆锥圆台图形几何体圆柱圆锥圆台J结构特征底面

__________________________________

圆面两底面是平行且半径不相等的圆面母线__________________相交于顶点________________平行于底面的截面与两底面平行且半径相等的圆面平行于底面且半径不相等的圆面与两底面平行且半径不相等的圆面轴截面________________________________等腰梯形两底面平行且半径相等的圆面平行且相等延长线交于一点矩形等腰三角形3.几种几何体的表面积公式

旋转体图形表面积公式圆柱底面积:S底=

侧面积:S侧=

表面积:S=

圆锥底面积:S底=

侧面积:S侧=

表面积:S=

πr22πrl2πrl+2πr2πr2πrlπrl+πr2旋转体图形表面积公式圆台上底面面积:S上底=πr'2下底面面积:S下底=πr2侧面积:S侧=πl(r+r')表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(

)(2)用平面去截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台.(

)√×2.[人教A版教材习题]如图,汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个图形是(

)C3.圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于(

)

A.72 B.42π

C.67π

D.72πC解析

S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.4.如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h=

.

35.若圆柱OO'的底面半径r=2cm,母线长l=3cm,则圆柱OO'的表面积等于

cm2.

20π解析

S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).知识点2球1.球的相关概念

可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为

.球也是一个旋转体.

形成球面的半圆的圆心称为球的

,连接球面上一点和球心的线段称为球的

,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的

.一个球可以用表示它的球心的字母来表示,如球O.

由球面的形成过程可看出,球面可以看成____________________________

.

球的截面是

.

球面被经过球心的平面截得的圆称为球的

,被不经过球心的平面截得的圆称为球的

.

球面

球

球心半径直径空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合一个圆面(圆及其内部)大圆小圆2.球的表面积设球的半径为R,则球的表面积

,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.

S=4πR2过关自诊1.球的任意两条直径不具有的性质是(

)

A.相交B.互相平分C.互相垂直D.都经过球心C解析

球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互相垂直.故选C.2.有下列说法:①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段;②球的直径是连接球面上任意两点的线段;③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.其中说法正确的序号是

.

①解析

利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.3.[北师大版教材习题]用一个平面截半径为13cm的球,截面面积是25πcm2,求球心到截面的距离.解作出过球心和截面圆圆心的截面图,如图所示,设球的半径为R

cm,截面圆的半径为r

cm,则R=13,πr2=25π,所以r=5,所以球心到截面的距离为重难探究·能力素养全提升探究点一旋转体的结构特征【例1】

(1)(多选题)[2023湖南期中]下列说法正确的是(

)A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.棱台的侧面都是等腰梯形C.底面半径为r,母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形D.棱柱的侧棱长都相等,但侧棱不一定都垂直于底面CD解析

圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体,当绕斜边旋转时,不是棱锥,故A错误;棱台的侧面都是梯形,但棱台的侧棱不一定都相等,故B错误;圆锥的轴截面是等腰三角形,其腰长为2r,又底面半径为r,故等腰三角形的底边为2r,即该圆锥的轴截面为等边三角形,故C正确;棱柱的侧面都为平行四边形,所以侧棱都相等,棱柱包含直棱柱与斜棱柱,故侧棱不一定都垂直于底面,故D正确.故选CD.(2)铜钱又称方孔钱,是古代钱币最常见的一种.如图所示的一枚铜钱,若绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体是(

)A.一个球B.一个球挖去一个圆柱C.一个圆柱D.一个球挖去一个正方体B解析

圆及其内部旋转一周后所得几何体为球,而正方形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱,故铜钱绕旋转轴(虚线)旋转一周,形成的几何体为一个球挖去一个圆柱,故选B.规律方法

判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成.(2)明确旋转轴是哪条直线.变式训练1(1)给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是

.(填序号)

①②

解析

①正确;②正确;③不正确,圆台的母线延长相交于一点;④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.(2)[2023辽宁高一专题练习]如图,第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体.请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系.①

②③④①

;②

;③

;④

.

CBDA解析

对于①,旋转所得是半球,对应C;对于②,旋转所得是两个圆锥,对应B;对于③,旋转所得是一个圆锥和一个圆柱,对应D;对于④,旋转所得是圆锥,对应A.探究点二旋转体中的轴截面的应用【例2】

如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3.(1)求圆台O'O的母线长;(2)若圆台上底面的半径为1,求该圆台的表面积.解(1)设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面,如图所示.则△SO'A'∽△SOA,SA'=3.即圆台的母线长为9.(2)若圆台上底面的半径为1,则下底面的半径为4,故它的表面积为S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.变式训练2一个圆台的母线长为12cm,两底面的面积分别为4πcm2和25πcm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.解(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为h

cm,由条件可得圆台上底半径r'=2

cm,下底半径r=5

cm.由勾股定理得探究点三旋转体的侧面积或表面积【例3】

(1)[2023江苏南京期末]一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆,则该圆锥的表面积为(

)A(2)圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为(

)A.4πS

B.2πSA解析

v设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=πr2,又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS.故选A.(3)圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)解如图,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角为180°,所以c=π·SA.又c=2π×10=20π,所以SA=20

cm.同理SB=40

cm,所以AB=SB-SA=20(cm).S表面积=S侧+S上底+S下底=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2=π(10+20)×20+π×102+π×202=1

100π(cm2).所以圆台的表面积是1

100π

cm2.变式训练3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于(

)A.15 B.15π

C.24π

D.30πB解析

S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.(2)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为(

)A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)C解析

圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C.(3)圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为(

)A.81π

B.100π

C.14π

D.169πB解析

圆台的轴截面如图,设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2,解得r=2.所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.探究点四球中的计算问题【例4】

(1)[2023重庆九龙坡高一期中校考]球O被平面α所截得的截面圆的面积为π,且球心到平面α的距离为2,则球O的半径为

.

解析

设截面圆的半径为r,球O的半径为R,球心到平面α的距离为d,则r2+d2=R2.因为截面圆的面积为π,所以πr2=π,解得r=1.又d=2,所以R2=12+22=5,(2)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为

.

12解析

因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以该小圆半径为r=5.轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12.规律方法

解决有关球的问题时常用到的性质(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.(2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题.变式训练4(1)已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为,则该球的表面积为

.

64π解析

因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以BC为平面ABC截球所得截面圆的直径,(2)已知长方体有公共顶点的三个侧面面积分别为,则它的外接球表面积为

.

9π解析

设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,则由已知,得

成果验收·课堂达标检测123456789101112131415161718192021A级必备知识基础练1.[探究点一·2023山西太原高一期中]下列平面图形中,通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是(

)C

1234567891011121314151617181920212.[探究点二、三·2023安徽模拟]一雕塑为水滴形状,寓意水是生命之源,此雕塑顶部可视为一个圆锥.已知此圆锥的高为3m,其母线与底面所成的角为60°,则此圆锥的侧面展开图的面积为(

)A.3πm2

B.6π

m2B解析

设圆锥的底面半径为r,高为h=3,母线长为l,S=πrl=6π

m2.故选B.1234567891011121314151617181920213.[探究点二]用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为(

)B1234567891011121314151617181920214.[探究点四]设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(

)A.3πa2

B.6πa2 C.12πa2

D.24πa2B1234567891011121314151617181920215.(多选题)[探究点一·2023甘肃高一校联考期中]下列说法正确的是(

)A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴,旋转一周形成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形AC123456789101112131415161718192021解析

对于A,根据圆锥的母线的定义,可知A正确;对于B,把各个梯形的腰延长后有可能不交于一点,此时得到的几何体就不是棱台,故B错误;对于C,根据圆台的定义,可知C正确;对于D,当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,得到的截面不是圆和矩形,故D错误.故选AC.1234567891011121314151617181920216.(多选题)[探究点二·2023福建厦门一中校考期中]已知圆台的上底半径为1,下底半径为3,球O与圆台的两个底面和侧面都相切,则(

)A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O的表面积为12πACD123456789101112131415161718192021解析

梯形ABCD为圆台的轴截面,则内切圆O为圆台内切球的大圆,其半径为R,如图.设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,则O1,O,O2三点共线,且O1O2⊥AB,O1O2⊥CD,连接OD,OE,OA,则OD,OA分别平分圆台的表面积为π×12+π×32+π×(1+3)×4=26π,故C正确;球O的表面积为S=4πR2=12π,故D正确.故选ACD.1234567891011121314151617181920217.[探究点一]下列说法正确的是

.(填序号)

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台;③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面;④圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.④解析

根据圆柱母线的定义,①错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故②错误;圆锥只有一个底面,故③错误;根据圆锥母线的定义,④正确.1234567891011121314151617181920218.[探究点三·2023上海浦东新区校级期末]已知某圆锥体的底面半径r=2,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为

的扇形,则该圆锥体的表面积是

.

16π解析

圆锥的底面积为S底=π×22=4π,圆锥侧面展开图的弧长为2π×2=4π,1234567891011121314151617181920219.[探究点二、三]一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积为

.

12345678910111213141516171819202110.[探究点二·2023广东东莞校级期中]一个圆台的母线长为12cm,母线与轴的夹角是45°,两底面的半径之比是1∶4.(1)求圆台的高;(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.解(1)过圆台的轴作截面,如图,截面为等腰梯形ABCD.设O,O1分别为AB,CD的中点,连接O1O,作CM⊥AB于点M,由已知可得BC=12

cm,123456789101112131415161718192021(2)延长BC,OO1交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l

cm,解得l=16,即截得此圆台的圆锥的母线长为16

cm.12345678910111213141516171819202111.[探究点四]已知一个表面积为120cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的底面上,求半球的表面积.解如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a,半球的半径为R,由6a2=120,得a2=20.所以半球的表面积为S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π

cm2.123456789101112131415161718192021B级关键能力提升练12.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是(

)A.30°

B.45° C.60°

D.90°C

解析

设圆锥的底面半径是r,母线长是l.如图所示,2πr=πl,所以轴截面对应的等腰三角形的底角为60°.故选C.123456789101112131415161718192021A解析

把正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,扩展后正方体的棱长为1,所以正方体体对角线的长度就是外接球的直径,体对角线长为12345678910111213141516171819202114.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(

)A解析

设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).又S侧=h2=4π2r2,∴

.故选A.12345678910111213141516171819202115.[2023北京通州期末]要制作一个容积为216πcm3的圆柱形封闭容器,要使所用材料最省,则圆柱的高和底面半径应分别为(

)C

解析

如图所示,设圆柱的高为h

cm,底面半径为r

cm.∵216π=πr2·h,12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202116.[2023黑龙江道里校级期中]已知一个圆锥的底面半径为1,母线长为3,在其中有一个内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,圆柱的高为(

)B12345678910111213141516171819202117.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面图形可能是(

)ABC解析

当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过