5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则课件高二数学人教A版选择性

第五章一元函数的导数及其应用5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则人教A版

数学

选择性必修第二册课程标准1.能应用导数的定义求几个常见函数的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.3.掌握导数的四则运算法则,能进行导数的运算.基础落实·必备知识全过关知识点1

几个常用函数的导数

函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xf'(x)=1f(x)=x2f'(x)=2xf(x)=x3f'(x)=3x2f(x)=f'(x)=-f(x)=f'(x)=

过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)2.常数函数的导数为0说明什么?××√提示

说明常数函数f(x)=c图象上每一点处的切线的斜率都为0,即每一点处的切线都平行(或重合)于x轴.知识点2

基本初等函数的导数公式

函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=

f(x)=cosxf'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

0αxα-1cosx-sinxaxlnaex函数导数f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

注意对数函数的求导公式中,自变量的取值要大于零才有意义f(x)=lnxf'(x)=

名师点睛由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公式过关自诊1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)(1)若f(x)=4x,则f'(x)=4xlog4e.(

)×√2.若f(x)是偶函数,则f'(x)是奇函数还是偶函数?3.[人教B版教材例题]求曲线y=sinx在(0,sin0)处的切线方程.提示

奇函数.解

因为(sin

x)'=cos

x,所以所求切线的斜率为cos

0=1,又因为sin

0=0,所以所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x.知识点3

导数的四则运算法则

和的导数[f(x)+g(x)]'=

差的导数[f(x)-g(x)]'=

积的导数[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数)[f(x)g(x)]'=

商的导数

=

(g(x)≠0)

对于不具备导数运算法则结构形式的函数要进行适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数

f'(x)+g'(x)f'(x)-g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

名师点睛两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).过关自诊

2.设函数y=-2exsinx,则y'等于(

)A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)D解析

∵y=-2exsin

x,∴y'=(-2ex)'sin

x+(-2ex)(sin

x)'=-2exsin

x-2excos

x=-2ex(sin

x+cos

x).故选D.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一导数公式与运算法则的简单应用【例1】

[北师大版教材习题]求下列函数的导数:(1)y=x3cosx;(2)y=(log3x)sinx;(3)y=xtanx-2lnx;解

y'=3x2cos

x-x3sin

x.分析根据每个函数的解析式的构成特点,利用求导公式和运算法则进行求解.(4)y=(x-1)(x-2)(x-3);解

因为y=x3-6x2+11x-6,所以y'=3x2-12x+11.规律方法

利用公式求函数导数的方法(1)理解并掌握求导法则和公式的结构规律,熟记基本初等函数的导数公式是进行求导运算的前提.(2)进行求导运算时,要善于分析函数解析式的结构特点,必要时应先对解析式进行恒等变形,化简解析式,再求导.(3)要特别注意“y=与y=ln

x”“y=ax与y=logax”“y=sin

x与y=cos

x”的导数区别.变式训练1求下列函数的导数:探究点二利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数【例2】

求下列函数的导数:(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;解

(1)y'=2x-2x-3.(2)y'=(ln

3+1)·(3e)x-2xln

2.规律方法

求复杂函数的导数的策略(1)分析待求导的式子符合哪种求导法则,式子的每一部分是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则、基本公式.(2)若求导的式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和、差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.探究点三导数公式与运算法则的综合应用角度1.解析式中含f'(a)的导数问题【例3】

已知函数f(x)的导函数是f'(x),且f(x)=2xf'(1)+ln,则f(1)=(

)A.-e B.2C.-2 D.eB规律方法

1.函数解析式中含f'(a)的导数问题,求解时应先将f'(a)看作是一个常数,求出f'(x)后,再令x=a,求f'(a).2.本题中求f(x)=2xf'(1)+ln的导数可利用对数的运算性质,将函数变形为f(x)=2xf'(1)-ln

x,这样可以方便求函数的导数.D角度2.利用导数公式及函数性质解题【例4】

已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2021(x)=(

)A.sinx+cosx

B.sinx-cosxC.-sinx+cosx

D.-sinx-cosxA解析

因为f1(x)=sin

x+cos

x,所以f2(x)=f'1(x)=cos

x-sin

x,f3(x)=f'2(x)=-sin

x-cos

x,f4(x)=f'3(x)=-cos

x+sin

x,f5(x)=f'4(x)=sin

x+cos

x,……因为2

021=505×4+1,所以f2

021(x)=f1(x)=sin

x+cos

x,故选A.规律方法

涉及与三角函数有关的导数问题,应明确三角函数的导数仍然是周期函数.角度3.用待定系数法处理求导问题【例5】

设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f'(x)=2x+1.求y=f(x)的函数解析式.解

∵f(x)是二次函数,f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x+c(c为常数).又方程f(x)=0有两个相等的实根,即x2+x+c=0有两个相等的实根,规律方法

待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别是已知具有某些特征的函数.变式训练3已知f'(x)是一次函数,关于x的方程x2·f'(x)-(2x-1)·f(x)=1对一切x∈R恒成立,求f(x)的解析式.解

由f'(x)为一次函数可知f(x)为二次函数,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,则原方程可化为x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0,又该方程对一切x∈R恒成立,所以f(x)=2x2+2x+1.探究点四导数几何意义的综合问题【例6】

已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.分析

利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴曲线在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.故直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).规律方法

曲线切线方程的求解方法求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.遇到类似问题时,必须分清所给的点是不是切点.如果是切点,那么该点处的导数即切线的斜率;如果不是切点,那么应先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.