8.1基本立体图形（第1课时）课件高一下学期数学人教A版2

第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征人教A版

数学

必修第二册课程标准1.了解空间几何体的分类及其相关概念.2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.3.理解直棱柱、正棱柱、平行六面体、正棱锥、正棱台的结构特征.基础落实·必备知识全过关知识点1

空间几何体的定义、分类与相关概念1.空间几何体:如果只考虑物体的

和

,而不考虑其他因素,那么由这些

物体抽象出来的

就叫做空间几何体.

2.分类:常见的空间几何体有多面体和旋转体两类.形状大小空间图形3.多面体和旋转体

类别多面体旋转体定义一般地,由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体

多面体至少由四个面围成④一条

(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的

叫做旋转面.

⑤

的旋转面围成的几何体叫做旋转体

多边形公共边公共点类别多面体旋转体相关概念①面:围成多面体的各个

叫做多面体的面.

多面体有几个面一般称为几面体②棱:两个面的

叫做多面体的棱.

③顶点:棱与棱的

叫做多面体的顶点

⑥轴:形成旋转面所绕的

叫做旋转体的轴

图形

平面曲线曲面封闭定直线过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)长方体是多面体.(

)(2)圆柱、球是旋转体.(

)(3)长方体有6个面,8个顶点,12条棱.(

)√√√2.面数最少的多面体是什么?提示

围成一个多面体至少要四个面,所以面数最少的多面体是四面体,如三棱锥就是四面体.3.观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?提示

②④.提示

①③⑤.提示

⑥.知识点2

棱柱的结构特征1.定义一般地,有两个面

,其余各面都是

,并且相邻两个四边形的公共边都

,由这些面所围成的多面体叫做棱柱

用表示底面各顶点的字母表示.

如图棱柱可记作:棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'互相平行四边形互相平行相关概念底面:两个互相

的面叫做棱柱的底面;

侧面:

叫做棱柱的侧面;

侧棱:相邻侧面的

叫做棱柱的侧棱;

顶点:

的公共顶点叫做棱柱的顶点

分类①依据:底面多边形的边数;②举例:

(底面是三角形)、

(底面是四边形)……

平行其余各面公共边侧面与底面三棱柱四棱柱2.棱柱的分类

3.常见的几种四棱柱之间的转化关系

名师点睛棱柱的结构特征包括两个方面:一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱柱的底面互相平行.(

)(2)棱柱的各个侧面是平行四边形.(

)(3)平行六面体是四棱柱.(

)√√√2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明.提示

不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.知识点3

棱锥的结构特征1.棱锥图形及表示定义一般地,有一个面是

,其余各面都是

的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥

用表示顶点和底面各顶点的字母表示.

如图棱锥可记作:棱锥S-ABCD多边形有一个公共顶点棱锥图形及表示相关概念底面:

面叫做棱锥的底面;

侧面:有

的各个三角形面叫做棱锥的侧面;

侧棱:相邻侧面的

叫做棱锥的侧棱;

顶点:各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点

分类①依据:底面多边形的边数;②举例:

(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……

2.正棱锥:底面是

,并且顶点与底面中心的连线

于底面的棱锥叫做正棱锥.

多边形公共顶点公共边三棱锥正多边形垂直过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)棱锥的侧面都是三角形.(

)(2)正棱锥顶点与底面中心的连线垂直于底面.(

)2.有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?√√提示

不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.3.[苏教版教材习题]画一个三棱锥.解

知识点4

棱台的结构特征

棱台图形及表示定义用一个

棱锥底面的平面去截棱锥,我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台

用表示底面各顶点的字母表示.

如图棱台可记作:棱台ABCD-A'B'C'D'平行于棱台图形及表示相关概念上底面:原棱锥的截面叫做棱台的上底面;下底面:原棱锥的底面叫做棱台的下底面;侧面:其余各面叫做棱台的侧面;侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱;顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点叫做棱台的顶点

分类①依据:由几棱锥截得;②举例:三棱台(由三棱锥所截得)、

(由四棱锥所截得)……

四棱台名师点睛1.棱台上、下底面互相平行,且是两个相似的多边形,它们的面积之比等于截去的小棱锥的高与原棱锥的高的比的平方.2.棱台的侧面均为梯形.3.棱台各侧棱延长线交于一点,棱台问题可还原为棱锥问题解决.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.(

)(2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.(

)(3)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.(

)××√2.下列几何体中,

是棱柱,

是棱锥,

是棱台.(填序号)

①③④⑥

⑤

解析

结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.重难探究·能力素养全提升探究点一棱柱、棱锥、棱台的结构特征角度1

棱柱的结构特征【例1】

下列关于棱柱的说法:①所有的面都是平行四边形;②每一个面都不会是三角形;③两底面平行,并且各侧棱也平行.其中正确说法的序号是

.

③

解析

①错误,底面可以是其他多边形而不光是平行四边形;②错误,底面可以是三角形;③正确,由棱柱的定义可知.规律方法

关于棱柱的辨析(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.①两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③相邻两个四边形的公共边互相平行.(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.特别提醒:求解与棱柱相关的问题时,首先看是否有两个平行的面作为底面,再看是否满足其他特征.变式训练1关于棱柱,下列说法正确的有

.(填序号)

①被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;②棱柱的侧棱长相等,侧面都是平行四边形;③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.①②解析

①正确,被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱;②正确,由棱柱定义可知,棱柱的侧棱相互平行且相等,所以侧面均为平行四边形;③不正确,上、下底面是菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.角度2

棱锥、棱台的结构特征【例2】

(1)判断如图所示的物体是不是棱锥,为什么?解

该物体不是棱锥.因为棱锥的定义中要求:各侧面都是有一个公共顶点的三角形,但侧面ABC与侧面CDE没有公共顶点,所以该物体不是棱锥.(2)如图所示的多面体是不是棱台?解

根据棱台的定义,可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个:一是共点,二是平行.即各侧棱延长线要交于一点,上、下底面要平行,二者缺一不可.据此,图①中多面体侧棱延长线不相交于同一点,故不是棱台;图②中多面体侧棱延长线也不相交于同一点,故不是棱台;图③中多面体虽是由棱锥截得的,但截面与底面不平行,因此也不是棱台.规律方法

棱锥、棱台结构特征问题的判断方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法类别棱锥棱台定底面只有一个面是多边形,此面即底面两个互相平行的面,即上、下底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点变式训练2有下列三个命题:①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有(

)A.0个 B.1个

C.2个 D.3个A解析

①中的平面不一定平行于底面,故①错;②③可用反例去检验,如图所示,侧棱延长线不能相交于一点,故②③错.故选A.探究点二空间几何体的平面展开图【例3】

(1)请画出如图所示的正方体的平面展开图.解

展开图如图所示.(答案不唯一)(2)如图是两个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?①

②

解

根据平面展开图,可知①为五棱柱,②为三棱台.①

②

规律方法

1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.解

沿长方体的棱剪开,使点A和点C1在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:本节要点归纳1.知识清单:(1)多面体、旋转体的定义.(2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.方法归纳:举反例法,定义法.3.常见误区:棱台的结构特征认识不清.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]下列命题正确的是(

)A.棱柱的每个面都是平行四边形 B.一个棱柱至少有五个面C.棱柱有且只有两个面互相平行 D.棱柱的侧面都是矩形B解析

对于A,棱柱的上、下底面可以是三角形或者是梯形,故A不正确;对于B,面最少的就是三棱柱,共有五个面,B正确;对于C,长方体是棱柱,但是上下、左右、前后的相对的平面都是互相平行的,C不正确;对于D,斜棱柱的侧面可以不是矩形,D错误.12345678910111213141516172.[探究点一(角度1)]下面多面体中,是棱柱的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

D解析

根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.12345678910111213141516173.[探究点一(角度2)]如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是(

)A.三棱锥

B.四棱锥C.三棱柱

D.三棱台B解析

剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.12345678910111213141516174.(多选题)[探究点一]关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是(

)A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等ACD解析

根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.12345678910111213141516175.[探究点二]在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(

)C解析

动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.12345678910111213141516176.[探究点一]如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是(

)A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定A12345678910111213141516177.[探究点一(角度1)]一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为

cm.

12解析

n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60

cm,可知每条侧棱长为12

cm.12345678910111213141516178.[探究点一(角度2)]若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是

.

1∶4解析

由棱台的结构特征知,棱台上、下底面是相似多边形,面积之比为对应边之比的平方,即1∶4.12345678910111213141516179.[探究点二]如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是

cm.

123456789101112131415161710.[探究点一(角度1)]如图所示的是一个长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱?并用符号表示;如果不是,请说明理由.1234567891011121314151617解

(1)是棱柱,并且是四棱柱,因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面),其余各面都是矩形(作侧面),且相邻侧面的公共边互相平行,符合棱柱的定义.(2)截面BCNM的上方部分是三棱柱BB1M-CC1N,下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1.123456789101112131415161711.[探究点一(角度2)]按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.解

(1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)1234567891011121314151617B级关键能力提升练12.(多选题)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是(

)A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱锥 D.六面体BC解析

当三棱锥是正四面体时,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D有可能.故选BC.123456789101112131415161713.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是(

)A.P⊆N⊆M⊆Q

B.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆Q

D.Q⊆N⊆M⊆PB解析

根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.123456789101112131415161714.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(

)B解析

将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.123456789101112131415161715.下列说法正确的有

个.

①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.01234567891011121314151617解析

①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角