平面向量的数量积（精练）-2022版高中数学新同步精讲精炼（必修第二册）（教师版含解析）

6.2.2平面向量的数量积（精练）

【题组一向量的数量积】

1.（2020•天水市第一中学高一期末）已知等边3c的边长为2,若近=3而，而=觉，则丽.通

等于（）

A.—B.---C.2D.—2

33

【答案】D

【解析】等边△力比的边长为2,BC=3BE^AD=DC^

：.BD=-（BA+BCYAE=AB+BE=AB+-BC=-BC-BA,

2V733

・.・丽/=；（丽+网心册—丽卜*萍—丽2_|南丽）

=1xf|x4-4-|x2x2xi）,=-2.故选：D.

UUUUUU

2.（2020•陕西渭南市•高一期末）在△A/C中，。为线段的中点，AD=1,8C=3,则人氏AC（）

15

A.—B.---C.3D.4

34

【答案】B

【解析】•・•在aABC中，O为线段BC的中点

\Ab=-（AB^AC]——1———1—

•・（2、）,可得A3=AQ・一3C,AC=AD+-BC,

\BC=AC-AB22

umuuu/uuoiuun\/uuoiui«\uuu,]uuu，5

/.ABAC=\AD--BC\\AD+-BC\=AD--BC=一彳.故选：B.

3.（2320•湖南益阳市•高一期末）在△A/C中，AB=2五,AC=x/26.G为aABC的重心，则

AGBC=_______•

【答案】6

【解析】如图，点。是8C的中点，

丁G为5c的重心，••AG=—AD=—x]（48+AC）=—（48+4C）,5（7=AC-AB,

所以而屈=g（而+/）•（而—而）=；（而2_福2）

故答案为：6

4.（2020•黑龙江大庆市•大庆一中高一期末）如图，在AA/C中，。是3C的中点，E,尸是AO上的

两个三等分点且晨反=5，BFCF=-2，则潴.%的值是________.

【答案】|

8

【解析】因为丽.丽=（■!■而-而）.（」前-而）=4A»-BU=36尸Q-3函=5,

2244

______11114而2-BC2

BF・CF=（—BC一一4。）（一一BC一一AD）=---------=-2^

23234

因此而2=1,而2="，

82

2222

______1一一1一一4ED--BC-\6FD-BC~5

BE・CE=dBC-ED）.—BC-EO===2.

22448

故答案为：!

o

5.（2320•四川内江市）在等腰中，斜边BC=&，ABBC=a>CA=b，那么

ab+bc+ca=—

【答案】-2

【解析】由题可知在等腰5c中，斜边5C=0，\AB=AC=1,A=^,B=C=^,

即|a|=>/2,|J=|c|=l,

/.6r-^+^-c+c-t7=|a|-|^|-cos(^-C)+0+|c|-|«|-cos(^-B)

lx&=—2.故答案为：-2.

6.（2320•北京101中学高一期末）如图，在矩形A3CZ）中，AB=叵,BC=2,点E为BC的中点、,

点尸在边CO上，若A区通=&，则亚.丽的值是一

【答案】＞/2

【解析】:•衣=亚十方，

ABAF=AB(AD+DF^=ABAD+ABDF=ABDF=yf2^DF\=>j2f

.-.|DF|=I,|CF|=V2-I,

・•・^BF=(AB+BE^(BC+CF^=ABCF+BEBC

=-0(/-1)+以2=-2+0+2=收

故答案为：、伤.

7.(2020•陕西咸阳市•高一期末)已知两个单位向量1,5的夹角为120。，3=应+(1-1)石.若51=1,

则实数，=.

【答案】1

【解析】•.•两个单位向量五，5的夹角为120。,

2石=Ixlx——=——，

I2J2

又3=fd+(E-1)方,a»c=\»

及《［S+(f-1)力］=•2+(/—V)ci*b=t—(Z—I)=1,

解得f=l.

故答案为：1.

8.(2320•长沙县实验中学高一期末)已知非零向量7，;满足42=3口，cos<7,G=；.若

+〃，则实数，的值为.

【答窠】-4

【解析】•・,非零向量［满足4H=3〃，cos〈7，冷=；,；，

.tm+n\=tni'n+n=t\m\\n\cos<w,zz>+177|2

£3TT

二§xj|〃|2+|〃|2=0,解得f=-4,故答案为：-4

【题组二向量的夹角】

1.(2D20•山东临沂市•高一期末)己知非零向量3，B，若|Z|二0|5|，且£_!_(£—2&,则£与B的夹

角为()

n7Cc万3K

A.-B.-C.一D.——

6434

【答案】B

【解析】因为£_1_(£一2杨，所以7(£-26=同2一2小万=同2-2同忸际(万万)=0,

因为121=&151,所以cos他行)=2^b\=2^［=*，re［。㈤「•@6)=.故选:B.

2.（2320•镇原中学高一期末）已知编b,^为单位向量，且满足32+袪+70=0,3与万的夹角为

则实数4=.

【答案】％二—8或4=5

【解析】由3。+16+7。=0,可得7c=-（3〃+丸历，则49c2=9）+2峭~+64〃％•

由.层为单位向量，得了=片=片=],则49=9+万+6丸8$。，即万+34-40=0.

解得4=-8或；1=5.

3.（2020•浙江温州市•高一期末）已知平面向胸，入满足同=2,忖=®[=1,且（£一办0一0=5,

£一日与2+日夹角余弦值的最小值等于.

【答案】叵

15

【解析】平面向词,Z满足问=2,W=6忖=1,则a=p|2=4石2=时=3,C2=|C|2=1

因为（£一°・（B_g=5

展开化简可得々石一c（a+5）+J=5,

因为22=恸2=1，代入化简可得75+5）=4

设"与3+方的夹角为

则由上式可得〃出一卜|•卜+.・cos0=4

而B斗JR।可=犬|».知/=8%不

//.A—4

代入上式化简可得cose=/

々+22万

令相=£石，设3与B的夹角为a，aw[0,句，则由平面向量数量积定义可得

m=a-b=^^cosa=2y/3cosa,ifff-l<cosa<l

所以-2由

ab-4m-4

由余弦函数的值域可得|cosqK1,即|cos6|=<1

y]l+2a-bd”2m

将不等式化简可得,„2-10/«+9<0»解不等式可得1KmV9

综上可得14加工26，即147502G

而由平面向量数量积的运算可知，设£-5与£+5夹角为夕,

1孙R+5)

则COSP=

口肝+6\ll-2ab\h+2a.6

当分母越大时，cos/7的值越小；当的值越小时,分母的值越大

所以当&・5=1时,COS/的值最小

1

代入可得cos/?=

V49-4xl215

所以与£+5夹角余弦值的最小值等于好

15

故答窠为：旦

15

4.(2320•延安市第一中学高一月考)已知向量工坂满足同=咽=1酒+24=|£-4

(1)求I在［上的投影;

(2)求-与。-2,夹角的余弦值.

【答案】(1)一］；(2)典.

24

【解析】⑴卜+2.=卜一.=>(a+2b)2=(a-b)2=>J+5+4b2=a2-2ab+b

2

6ab=-3b9:.ab=--,设公和B的夹角为0，

£在加上的投影为：WCOS8=£，=-；：

(2)设1与:一次夹角为。，

a（a-2b]a2-2ab4+1晒

\^\ci-2b\L__4£出+昉2xj4+2+44-

5.⑵20•北京顺义区•高一期末）已知平面向量入石，同=2,W=l,且M与5的夹角为

（1）求5；

（2）求卜+2.；

（3）若汗+2日与次+4（4tR）垂直，求义的值.

【答案】（1）1：⑵26；⑶4

【解析】（1）口/=同-忖卜os^=2xg=l；

（2）・・・卜+242=（万+26）2=值2+45.6+452=4+4+4=12,.|^+2^|=25/3:

（3）v（a+2b^±^2a+,.,.（1+2孙（21+肪）=0,

即2^+（4+4）万•日+2"2=8+（4+2）+24=12+3；1=0,解得：2=-4.

6.（2320•南昌市•江西师大附中高一月考）已知向量£石满足|£|二|向二1,

\ka+b\=y/3\a-kb\（k>^keR）

⑴若£//却求实数上的值；

（2）求向量£与B夹角的最大值.

【答案】（1）2±百：（2）

【解析】⑴因为2//。左>0,所以2万=史1>0,则£与否同向.

4k

因为|a|=|坂|=1,所以〃石=1，

L2.1-1r-

即^―-=b整理得/一4左+1=0,解得欠=2土石，

4k

所以当k=2士有时,a!lb.

(2)设〃力的夹角为。

八ab-r公+1\（,\\（rr1Yc

则cos0=——=a。b=-----=—kT—I=—Ik—产I+2

|。||加妹4（k）4[14k）

当"=H，即％=1时，COS。取最小值3，

乃

又owe《)，所以夕=一，

3

即向量£与石夹角的最大值为

7.(2320•全国高一专题练习)已知向量吊02，且卜1卜同=1，弓与g的夹角为m=+02，

〃=3q—2e2.

⑴求证：(2,一J_g；

(2)若同=同,求人的值;

(3)若加J_〃，求丸的值；

⑷若碗与7的夹角为与，求九的值.

【答案】(1)见解析(2)4=2或4=一3.(3)2=i(4)2=2

4

【解析】⑴证明：因为同=同=1,I与1的夹角为?，

2

所以(2q_/)•.=2q/―/2=2k|卜2cosy-|e2|=2xlxlx-i-l=0,

所以Qi-g_L耳.

⑵由麻卜同得(短+力=闽一2寸，即(3_9居+(22+12)3£-3才=0.

因为同=同=1，(£0=3,

—2—2—_*117t1

所以白=e=1，ee=lxlxcos—=-

2x2JA

所以（；l2-9）xl+（2；l+12）xg-3xl=0,

即/^+义一6=0.所以几=2或4=-3.

⑶由正J_G知说i=0，即(41+可«31一2矶=0,即3412+(3一24年石一2不=0.

1

乃

一

22一

一

一

所

以1q/Xn

因为同=同=1,怎,0=2G=G==3-2-

所以3几+（3—2/1）乂3—2=0.4

1T

一

q6一=5-

⑷由前面解答知录2=片=1，2--

222

而|司=(26]+1)=Aet+2Aete2+e2=2+2+1

所以同=JV+4+i

2

nin=(A,ex+j•(3e,-2e2j=3Xex+(3-24)qe2-2e2~=32+(3-22)x-i-2=22--

因为(〃2,k)=?,

ITrITr心r\[r------「[

由机♦〃二mncos(m,〃)得2丸一一=，尸+4+1•J7x-,

\/22

化简得3丸2—52—2=0,

所以2=2或；l=—g.

经检验知4=不成立，故；1=2.

【题组三向量的投影】

1.（2021•江西上饶市）若向量•与石满足（。+5）_L白，且同=1,恸=2,则向量2在5方向上的投影为

0

D,如

A.GBC.-1

-43

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要条件有：（&+3）3=]2+15=0,・・・小方=一1，

ab1

则向量4在5方向上的投影为下「二一5,故选B.

2.（2020•沈阳市第一七。中学高一期末）已知向量£,如其中同=1,叫=4邛+2.=2,则工

在坂方向上的投影为（）

A.-2B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】由题意，向量B，其中同=1,*2a=4邛+幽=2,

可得（〃-2坂）=p|+4忖—4ab=1+4|^|—4a-^=16...（1）

/——\2।­[2]—12——।—12—•一

\a-\-1bj=a+4"+^ab=1+4Z?+4a-b=4（2）

联立⑴（2）解得忖=|,3石=一|,

ab

所以£在坂方向上的投影为瓦二一1.故选：C.

3.（2320•长沙市•湖南师大附中高一月考）已知向量5满足同=1，|同=3,且]在B方向上的投影

与B在1方向上的投影相等，则,一同等于（）

A.V10B.y/5C.4D.5

【答案】A

【解析】设两个向量的夹角为6,则同cos9=Wcos。，从而cos9=0,

因为6«0,句，故6后，所以""卜jH+户=晒•故选：A.

4.⑵20•眉山市彭山区第一中学高一期中）已知同=1,忖=2,但今=60。，则£+坂在£上的投影是

（）

A.1B.名区C.2D.立

77

【答案】C

【解析】因为忖=1,W=2,（0今=60。，所以£B=WWcosV£,B>=1X2XCOS60O=1

_t__2___（a+bYa

+1=2所以£十万在£上的投影^~~门=2故选：C

忖

5（2023•陕西渭南市•高一期末）已知|。卜百，||=3，卜+目=3&,则向量£在向量坂方向的投影（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【解析】由题意，向量|4=G,忖=3,忖+4=3&,

可得「+耳2=7+片+27坂=3+9+2—$=18,解得£$=3，

ab31

所以向量£在向量B方向的投影后=£=1.故选：A.

Ml3

6.（2020•四川绵阳市•高一期末）在中，丽./=（）,点尸为比的中点，且I胡1=1通I，则向

量丽在向量而上的投影为（）

A.当网B.-当网C.-洒D.洒

【答案】D

【解析】根据题意，AB±AC,又点P为5C中点，故可得PC=P3=PA=A3,

如下所示：

故三角形为等边三角形，故可得N5=60。，

不妨设胡=〃，故可得BC=2a,

_______2/x1

则向量丽在向量冠上的投影为弛史=_22=0=3配卜

|BC|2a24lI

故选：D.

7.（2020•营口市第二高级中学高一期末）已知向量7B满足|5|=5,S+5|=4,d-b\=6,则向量G在向量5

上的投影为

【答案】-1

【解析】向量瓦行满足|B|=5,|d+5|=4,|a•-5|=6,

可得（1+5）2=16,3-5）2=36,即为^+户+2值5=16，罚+52-2永5=36，两式相减可得永5=-5,

则向量1在向量B上的投影为器=T=-1.故答案为：一1.

|b|5

8.（2020•湖北武汉市•高一期末）设向量.，入满足,卜2,忖=1,且》_!_（〃+可，则向量坂在向量［+2坂

上的投影的数量为______.

【答案】y

【解析】+:.b^a+b^=ab+b=O,:.ab=-^=-1»

.,%.（〃+*）=〃/+2片=1,归+留=J/+4片=J4+4-4=2，

b^2b\11

「•向量坂在向量2+%上的投影的数量为一~二大.故答案为：:.

卜+判22

9.（20214可南郑州市）已知平面向量鬲5满足卜|=1,|可=2,亚+母=百，则7在日方向上的投影等于—

【答窠】

2

【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：

（4+5）=22+24-6+5?=1+2q,5+4=3,，讶・5=—1,

u,b-11

据此可得，a在5方向上的投影等于下|-=~7=-5.

10.（2020•四川高一期末）已知边长为2的等边AABC中，则向量而在向量场方向上的投影为一.

【答案】-1

【解析】因为△A6C是等边三角形，

所以向景福与向最的夹角为120,

因为AABC边长为2,

所以向量而在向量巨方向上的投影为|福'⑵。=2x,；=-1,

故答案为：—1.

11.（2020嗡国高一课时练习）已知工为一个单位向量，a与e的夹角是120。.若£在工上的投影向量为-2工，

则B卜.

【答案】4

【解析】"为个单位向量，Z与"的夹角是120。由平面向量数量积定义可得7工=年以―120。=-2,

根据平面向量投影定义可得同x（-g）.工二-2问=4.故答案为：4

12.（2020•福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量"、坂满足问二2,恢一园=4,£在坂方向上的

投影为1，则、（£+2五）=.

【答窠】18

【解析】•.•同=2,£在加方向上的投影为1,75=2x1=2，

=4,16=2[一邛=4a-4ab+b=4问~一4£7+忖~=4x2?—4x2+，

可得代=2&,因此，尻（£+2可=7很+252=2+2x8=18.故答案为：18.

【题组四向量的模长】

1.（2020•全国高一）已知平面向量加满足年2,忖=3,若£,坂的夹角为120。，则忻一*（）

A.377B.3\/3C.2>/7D.3

【答案】A

【解析】由题意得，恒-q=而/-彳+广=136+18+9=3"故选：A.

2.（2320•全国高一）若向量d与日的夹角为60。，且同二4柩卜3,则卜+4等于（）

A.37B.13C.而D.V13

【答案】C

【解析】因为向量M与1的夹角为60°,且同=4,忖=3,所以

\a+b[=a2+2a^b+b2=同?+2同.|司•cos60+时=42+2x4x3xl+32=37

2

所以,+4=j方，故选：c.

3.（2320•全国高一开学考试）已知向量入分满足7万=0,同=1,W=3,则尸一）|=（）

A.0B.2C.2&D.回

【答案】D

【解析】因为向量£,B满足£4=0,同=1,向=3

则漏—邛=力7—2Z.5+记=J1_O+9=VI^故选:D

4.（2020•银川市•宁夏大学附属中学高一期末）已知向量小心满足：同=3,网=4,归+目=屈，

|VV.

则w=_______.

【答案】3.

rF2rr2rrrr.rprr由2rr

【解析】Qa-\-bzX=a2+2a$+%2=a+2a%+p?=32+2^-Z?+42=41»

22

）=8，a-b=^a-b^=17-2：・H=/口二力+,=73-2x8+4=3>

因此，,一4二3,故答案为3.

5.（2320•全国高一单元测试）若平面向量£,坂满足忖+可=也，卜一目二"，则73=_________,

-2-2

a+b=----------

【答案】-14

【解析】由口+耳=血，得了+打电+力=2,①

由卜斗痛,得蓝-2£出+"6,②

①-②得:4）.万二T,，=一1.故1+B?=4.故答案为：①T;②4.

6.（2020•全国高一）己知:/=6,〃=8,则a+b的最大值为__；若。=6,力=8,且。一，二10,

->T

贝ija+b=

【答案】1410

2

+2abcos<a—>,b—>>+|^|

【解析】a+b=(a+b)2=a+2ab+b♦

=36+64+2x48cos<ayb>

—>—>

=100+96cos<a,b>

<100+96=196，当且仅当［W同向时等号成立,

所以a+b<14,

即a+b的最大值为14,

—>—>

由a-b=10两边平方可得：

-»->2->->?->/-»2T-->->

a—b=（a-b）2=a—2ab+b=100-2a•人=100,

所以蒜=0,

222

所以〃+Z?=（a+b）2=a+2ab-\-b=100，

—>—>

即a+b=10.

故答案为：14；10

7.（2020•东北育才学校）已知向量Z，石满足同=4,石在Z上的投影（正射影的数量）为-2,则,一的

最小值为_________

【答案】8

【解析】因为B在£上的投影（正射影的数量）为-2,

所以|B|cos<a,b>=-2,

2一

即I81=------------,而一14cosvB><0,

cos<a,b>

所以|加之2,

因为卜一2闸=（。一2万尸=a-4ab+4l^=|〃『-4\a\\h\cos<>+41^|2

=16-4X4X（-2）+4|S|2=48+4|^|2

所以W—251N48+4X4=64,即产一%|之8,故选D.

27rli-I\2a+tb\

9.（2020•四川广元市•高一期末）设非零向量值与5的夹角是g，且同=万+4，则।!的最小值

为（)

A6R6C1

322

【答案】B

【解析】对于£,坂和£+石的关系，根据平行四边形法则，如图

a=BA=CD,b=BC，a+b=BD，

vZABC=—,/.ZDCB=-,

33

vp|=|a+S|,.-.|CD|=|BD|=|BC|,

...同明=忖+阳

\2a+tb\加+同触+时

’5=舸'可'

2万+医n

当且仅当，=1时，।।一।।的最小值为

\2b\2

故选：B.

10.（2020•浙江杭州市•高一期末）已知平面向量"、坂满足同=归+2*6则6|4+|£+目的最大

值为

【答案】2百

【解析】・・・曰+2麻=f+4£3+4万2=3+4£不+4片=3,则£%=了,

设）与加的夹角为氏则同卡卜05。二一|甲，/.W=—J5COS。,

Q|^|>0,DW，可得兀，

卜+耳=a+2ab+^=3-15|=3sin2。，则卜+q=6sin。，

所以，^|S|+|a+^|=-3cos^+>/3sin9=25/3sin。一与），

吗“立，贝哈“后咛,所以,当"台初,6忖+归+可取最大值2百.

故答案为：2石.

11.（2020•沙坪坝区•重庆南开中学高一期末）己知向量£与向量分的夹角为2，且问=1，Z_L（3£-20.

⑴求怀

（2）若［2々一机©二J亍，求加.

【答案】（1）代卜3；（2）相=一（或加=1.

【解析】（1）・・・7（3£—2丐）=3/一275=3—2—4=0,

：.ab=^t^-^=|«|-|S|-cosy=-^|^=^-,|z?|=3.

⑵〔2〃一〃/=占，/.7={la—mb^-—4mab+m2b=4-6m4-9m2,

整理得：3/n2—2tn—1=0，解得：加=-§或加=1.

12.（2020•北京朝阳区•人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量满足：同=2,W=l|.

（1）若他+24仅一5）=1,求的值；

（2）设向量的夹角为。，若存在fwR,使得|a+区|=1，求cos。的取值范围.

【答案】⑴一1；（2）-1,-g。事.

22

【解析】（1）若（M+2方）・值-5）=1,则严+,石_27=1，

又因为同=2,忖=1],所以4+4力一2=1，所以无b=—1；

⑵若|A+/|=1，则册+2名•力+”/=1，

又因为忖=2,忖=1,所以22•力+/+3=0即/+4fcose+3=0，

所以A=16c。/。一12N0，解得。5。《-@或＜：056之立.

22

所以如出仁卜,一

13.（2020•全国高一单元测试）已知向量次二八丽:5,ZAOB=60f且同=|闸=4.

⑴求忖+.，忖叫；

（2）求彳+5与万的夹角及M—5与。的夹角.

【答案】⑴卜+母=46-一@=4；⑵30。，60°.

【解析】（1）因为向量砺=1,OB=b^NAO8=60'，且同=同=4,

所以k+同=（值+6）=a2+2ab+^2=|d|2+2|a||^|cos60+|/?|

=16-2x4x4x1+16=48,

2

所以,+可=45

又卜一耳=（彳-5）=d2-2a-b+b2=|«|2-2|a||^|cos60°+|b|

=16-2x4x4x—+16=16,

2

所以卜一4=4；

⑵记a+B与1的夹角为a,ae[00,180。],1一5与1的夹角为回4e[O'/801,

(,+皿/+1石16+4x4xg=G

则cosa

k+研同4A/3x4165/32

所以a=30"

■询万a^-a-b16-4X4X；{

COSP=n--zr—=--------=-----------=—'

忸叫同4x4162

所以尸=60。.

【题组五平面向量的综合运用】

1.（2320•北京丰台区•高一期末）£,石是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）

A.a=bB.ab=\，,片工片D.|a『二lW

【答案】D

【解析】A.工•可能方向不同，故错误；

B.a=p|•|^|•cos<a,^>=cos<«,^>,两向量夹角未知，故错误；

C.a=d-=|d|=l,b=bZ=W=1»所以£2=石2,故错误；

D.由C知B『=W[=1,故正确，故选：D.

2.（2320•全国高一单元测试）若不是非零向量，日是单位向量，①同>0,②问=1,③向=B,④

a=Ab^^0）,⑤工力W0,其中正确的有（）

A.①②③B.①@©C.©©④D.①②

【答案】D

【解析】・・・400，・・・|司>0,①正确；

5为单位向量，故归|=1,②正确：

a

同表示与万方向相同的单位向量，不一定与B方向相同，故③错误；

。与万不一定共线，故M=4（4W0）不成立，故④错误，

若。与5垂直，则有。-5=0，故⑤错误.

故选：D.

3.（2321•重庆）设2,万为向量，则'忸5卜同网”是“£//5”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据向量数量积运算，上同=M忸k。S0

若卜.5卜同问，即同|5卜。$。卜同w

所以cos。二土1,即。=0。或180。

所以2/历

若4//5,则五与5的夹角为o°或180。，所以“同方卜同碓心0。=同W

或=同|司605180。=一同回

即忖石卜MM|COSq

所以“卜•同二同啊”是uallbn的充分必要条件

所以送C

4.(2020•全国高一课时练习)若夕，日，乙均为单位向量，且万石=-g,c=xa+yb(x,y^R),则x+V

的最大值是()

A.2B.6C.y/2D.1

【答案】A

【解析】•••日，B，3均为单位向量，

且a*b=一：，c=xa+yb(x9yGR)f

£2=(x〃+yh)2=x2+y2+Ixya^h=x2+y2-xy=1,

设x+y=f,y=t-x,得：x2+(z-x)2-x(r-x)-l=0,

/.3x2-3tx+t2-1=0>

•・•方程3f一3戊+/一1=0有解，

/.A=9r2-12(/2-l)..0,

-3/+12..0,

/.-2a2

的最大值为2.

故选：A.

5.（2020•甘肃兰州市•兰州一中高一期末）已知向量£、坂、"满足£+方+工=6,且同咽<忖，则£*、

b-c>a.c中最小的值是（）

A.abB.a-cC."cD.不能魂定

【答案】C

【解析】由2+5+3=。，可得1=一（］+垃，平方可得2。石=^_（万2+斤）

222

同理可得2^.c=I?一（52+铲）、2a^c=b-（a+c）t

•••mklbKHI，2V52V上则痴、康、万刀中最小的值是及？.故选：C.

6.（2320•浙江湖州市•高一期末）已知空间向量坂，£和实数/U则下列说法正确的是（）

A.若。.坂=0,则0=。或石=。B.若则4=。或〃

C.若=（5），则《=石或〃=—〃D.若a下=a。c‘则B=c

【答案】B

【解析】对于选项4，若£石=0，则£=0或坂=。或，故A错误；

对于选项C,由（£）2=©『，得|ZH5|，即可得其模相等，但方向不确定，故C错误；

对于选项。，由得7@-占=0,则£或5或々，@一工），故。错误；对于选项8,

由尤〃=6，可得4=0或。=0，故8止确，

故选：B.

7.（多选）（2021•江苏高一）若£、B、"是空间的非零向量，则下列命题中H勺假命题是（）

A.（ab）c=（bc）a

B.若3出=一问同，则

C.若a.c=bc，则《//B

D.若a.a=BB，则a=B

【答案】ACD

【解析】（a・b）・c是与"共线的向量，（尻"）•£是与£共线的向量，£与"不一定共线，月错，

若£3=响叫,则7与B方向相反，.・・£//=8对，

若a.c=b,c，则（a—b）,c=O,即（a-&_Lc,不能推出a//b，C错,

若mi,则|£|=|向，z与»方向不一定相同，不能推出公=:,〃错，

故选：ACD.

8.（多选）（2020•山东临沂市•高一期末）己知251是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A.\a^b\＜\anb\

B.若且方声。，则。=乙

c.两个非零向量三，b»若I，-在4I引+15],则4与5共线且反向

D.已知1=（1,2）,^=（1,1）,且少与4+义吕的夹角为锐角，则实数丸的取值范围是（一|，口：

【答案】AC

【解析】对于A,由平面向量数量积定义可知卜石卜同忸际〈万同，则|展方国万||5|,所以力正确，

对于B,当，与工都和5垂直时，2与己的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，

对于C两个非零向量6,B，若海一5|=团+出|,可得（。」）2=（|:|+|11）2,即-2。•力=2|。向，

cos6=-l，

则两个向量的夹角为江，则2弓B共线且反向，故c正确；

对于D,已知1=（1,2）,B=（1,1）且日与5+焉的夹角为锐角，

可得:•（5+劝）＞0即|a|2+4.。＞0可得5+3几＞。,解得义＞——＞

当1与2+4的夹角为。时，5+/1力=（1+42+团，所以2+24=2+4=4=0

所以〃与a+Ab的夹角为锐角时义＞—故D错误；

故选:4C.

9.（2320•浙江高一期末）已知H=W=a-B=2,c=（2-42）«+2^,则/•一々）,卜一可的最小值为

【答案一公

【解析】\*c-a=（\-^X）a+Xb,c-b=（2-42）a+（2-l）^,

.e.^c-«j-^c-^j=^（l-42）6r+2^J^（2-42）tz+（2-l）Sj

=（16分-124+2）7+（-8%+74-1）3石+（万一之）片，

代入卜卜W=〃•坂=2,

原式=5222一38%+6，

1949

.•.当人=一时，原式最小值为——.

5252

49

故答案为：一二

52

10.（2020•湖北高一开学考试）在△A6C中，已知A8=2,|a+而|=|西-函

cos2A+2sii?O于=1,则丽在配方向上的投影为_________.

【答案】上

【解析】因为"+而卜"-词，所以#+国2=（5-方丫

所以画•。=0，即0=1

因为cos2A+2sin?=1,所以cos2A+2sin2<^^^=1即cos2A+2sin24=l,即

222

cos2A+cosA=0,所以2cos24+cosA-1=0解得cosA=-l或cos4=」

2

因为A£（0,£］，所以COSA=2，即4=巳，所以5=工，

I2）236

因为AB=2,所以BC=2sinA=

所以丽在正方向上的投影为pg=石

故答案为：G

【点睛】

本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.

11.（2020•浙江杭州市•高一期末）已知平面向量3,5,其中|£|二2,|5|=1,的夹角是?，则忖一〃卜

；若f为任意实数，则忖+目的最小值为.

【答案】26

【解析】由题意，平面向量5，其中|a|=2,|51=1,的夹角是

可得〃3=p|-|^|cOSy=2xlxCOSy=1,

则,一2同2=p|2+4|^|2-4a-^=4+4-4xl=4,所以卜一2可=2,

又由@+区|=J（£+r5）2=J/+2f+4=J（f+l）2+3，

所以当f=T时，|。+回的最小值为6.

故答窠为：2：-73•

12.（2020•天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在△A6C中，AB=2,AC=3,N8AC=120。,

UUUJIMf.1-

。是BC中点，E在边4c上，AE=2AC，ADBE=-,则|AO|=丸的值为________.

【答案】立1

23

所以福•/=|通'恁］

【解析】因为AB=2，AC=3,ZBAC=120,1°,ACcos120=-3,

由题意而=g（而+*），BE=BA+AE=AAC-AB^

所以|说『=-（AB++2ABAC+AC2j

I7

=_（4-6+9）=-,

所以1A。卜；

由而•砺二!可得"!■（而+衣）（4/—丽）=2/通.衣丽2

=^-|（2-1）-2=32-14'

解得2=1.

3

故答案为：

23

13.（2020•湖北黄冈市•高一期末）已知向量亢与向量声的夹角为|■，且同=1,|同=3,H•伍一4所）=0.

（1）求；I的值

⑵记向量万与向量3元一比的夹角为。，求cos20.

【答案】（1）4=3；