第3章控制系统的时域分析3.5

3.5控制系统的稳态误差

常用词汇稳态误差steady-stateerror

终值定理final-valuetheorem线性系统由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差叫原理性稳态误差。由于非线性因素所引起的系统稳态误差叫附加稳态误差，或结构性稳态误差。无差系统:没有原理性稳态误差（阶跃输入）有差系统：有原理性稳态误差（阶跃输入）

误差是不可避免的，但我们研究的目的是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一允许值。如:造纸机张力控制只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。在经典控制理论中，只研究原理性误差系统。由于系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差.3.5.1稳态误差的定义误差:(3-59)

1、在系统输入端定义（输入信号与主反馈信号的差，可以测量）。

2、在系统输出端定义(输出量的希望值与实际值之差,无法测量）。误差两种定义方法：

误差传递函数

误差象函数

误差原函数

误差由瞬态分量和稳态分量两部分组成将系统误差的稳态分量定义为稳态误差由终值定理(final-valuetheorem)这表明，系统的稳态误差，不仅与开环传递函数的结构有关，还与输入形式密切相关。

系统必须满足终值定理条件：有理式SE(S)的极点均位于S的左半平面对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。3.5.2系统类型令系统开环传递函数为

n≥m(3-64)K为系统的开环增益。为系统中含有的积分环节数，称为系统的型数，或无差度。ν——表示坐标原点上极点的重数。按的数值不同，系统分类如下：，称为0型系统，或有差系统；，称为Ⅰ型系统，或一阶无差系统；，称为Ⅱ型系统，或二阶无差系统；，除复合控制外，系统难以稳定，不作讨论。为便于讨论，令(3-65)当时，有，则式(3-64)可表示为(3-66)系统稳态误差计算通式则可表示为(3-67)

式(3-67)说明系统的型数、开环增益、输入信号的形式和幅值决定稳态误差数值。因为实际输入多为阶跃函数，斜坡函数和加速度函数或者其组合，下面分别讨论。1.阶跃输入

令，为常量，则。由(3-63)可得系统稳态误差为(3-68)

式中，为系统的静态位置误差系数，各型系统的静态位置误差系数为式中，为系统的静态位置误差系数，各型系统的静态位置误差系数为式中，为系统的静态位置误差系数，各型系统的静态位置误差系数为从而得到阶跃信号作用下，各种类型系统的的稳态误差为(3-69)

(3-70)

上述结果表明，在阶跃输入作用下，只有0型系统有稳态误差，其大小与阶跃输入的幅值成正比，与系统的开环增益成反比。Ⅰ型和Ⅱ型系统理论上稳态误差均为零。所以，如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系统。2.斜坡输入令，为常数，，则由式(3-63)得(3-71)式中，为静态速度误差系数。各型系统的静态速度误差系数为(3-72)从而得到阶跃信号作用下，各种类型系统的的稳态误差为显然，0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入。Ⅰ型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差。在稳态时，系统的输出量与输入信号虽以同一个速度变化，但前者在位置上要落后于后者一个常量，这个常量就是系统的稳态误差。Ⅱ型及Ⅱ型以上系统，稳态时能准确跟踪斜坡输入信号，不存在稳态误差。(3-73)

3.加速度输入令的拉氏变换为由式(3-63)求得稳态误差为(3-74)

式中，为静态加速度误差系数。各型系统的静态加速度误差系数为(3-75)

从而得到阶跃信号作用下，各种类型系统的的稳态误差为上述表明，0型和Ⅰ型系统都不能跟踪等加速度输入信号，只有Ⅱ型系统能跟踪，但有稳态误差存在。即在稳态时，系统的输出信号和输入信号都以相同的加速度和速度在变化，但前者在位置上要滞后于后者一个常量。各种输入信号作用下的稳态误差如表3-3所示。(3-76)

例3-9单位反馈系统传递函为，已知系统稳定，控制信号，试计算系统的稳态误差。解：系统稳态误差函数为由终值定理

例3-10一单位反馈控制系统，若要求：(1)跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2；(2)设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为。求满足上述要求的开环传递函数。解：根据(1)和(2)的要求，令其开环传递函数为因为

按定义

则相应闭环传递函数所求开环传递函数为3.5.3扰动作用下的稳态误差

实际上，控制系统除了受到参考输入的作用外，还会受到来自系统内部和外部各种扰动的影响。例如，负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压的波动和环境温度的变化等，这些都会引起系统的稳态误差。这种误差称为扰动稳态误差，它的大小反映了系统抗扰动能力的强弱。对于扰动稳态误差的计算，可以采用上述对参考输入的方法。为什么研究由扰动作用引起的稳态误差和系统结构的关系？

由于参考输入和扰动输入作用于系统不同位置，因而系统就有可能会产生在某种形式的参考作用下，其稳态误差为零；而在同一形式的扰动作用下，系统的稳态误差就未必为零。扰动信号作用下的系统结构图如图3-18所示。扰动信号作用下的误差函数为

(3-77)

图3-18闭环控制系统稳态误差(3-78)

若，则上式可近似为可知扰动信号作用下产生的稳态误差除了与扰动信号的形式有关外，还与扰动作用点之前(扰动点与误差点之间)的传递函数及参数有关，但与扰动作用点之后的传递函数无关。例如若，，,，则稳态误差

可见扰动作用点之前的增益越大，扰动产生的稳态误差越小，而稳态误差与扰动作用点之后的增益无关。若，，，，则则稳态误差比较可以看出，扰动信号作用下的稳态误差与扰动信号作用点之后的积分环节无关，与误差信号到扰动点之间的前向通道中的积分环节有关，要想消除稳态误差，应在误差信号到扰动点之间的前向通道中增加积分环节。

采用以下方法可以改善系统的稳态精度。(1)提高系统的开环增益和增加系统的类型数是减小和消除系统稳态误差的有效方法。但是这两种方法在其他条件不变时，一般都不会影响系统的动态性能，乃至系统的稳定性。3.5.4提高系统稳态精度的方法(2)增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益和积分环节的个数，可以减小动信号引起的稳态误差。但同样会影响系统的稳定性。(3)采用复合控制，将反馈控制与扰动信号的前馈与给定信号的顺馈相结合。

END本章小结(1)时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响应的超调量、调整时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。(2)本章重点介绍了一阶系统和二阶系统的时域响应。对于高阶系统可以通过主导极点将其近似为二阶系统。(3)控制系统的稳定性是系统能否正常工作的最基本条件，因此研究系统的稳定性、稳定条件、稳定措施是控制系统的重要内容。主要介绍了代数判据(Routh与Wurwitz判据)。(4)稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。例题3-10求控制系统的稳态误差单位反馈系统开环传递函数为输入信号分别为a当输入为＝∞b当输入为由于正弦函数的拉氏变换式在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出

注意：对于高阶系统，反变换解析法并不实用，通常在这在实际应用时，要验证SE(S)的解析条件，其它类型的都可以应用系统的稳态误差为3.6.2系统类型式中：

K——开环增益；てi和Ti为时间常数

ν

——表示坐标原点上极点的重数。

单位反馈系统的开环传递函数可以表示为ν

=0，0型系统；ν

=1，Ⅰ型系统；ν

=2，Ⅱ型系统。N越高，系统的稳态精度越高，但系统的稳定性愈差。一般采用的是0型、Ⅰ型和Ⅱ型系统。影响因素：1、开环增益2、输入信号形式3、幅值注意：此种方法只适用于0,Ⅰ,Ⅱ型系统，Ⅲ及以上的系统不能用此方法求解典型输入信号下稳态误差稳态误差分别在典型输入信号作用下求解动态误差利用动态误差系数法求解任意时间函数误差作为输入信号的系统。①阶跃函数输入当V＝0时，单位反馈系统的静态位置误差静态位置误差系数Kp稳态误差为

则各阶系统的静态位置误差系数为

斜坡函数输入当V＝1时，单位反馈系统的静态速度误差静态速度误差系数Kv稳态误差为

则各阶系统的静态速度误差系数为加速度函数输入当V＝2时，单位反馈系统的静态加速度误差静态加速度误差系数Ka稳态误差为

则各阶系统的静态速度误差系数为非单位反馈系统稳态位置误差系统输出量的希望值为系统输出端的稳态误差为④误差系数与稳态误差之间的关系

1t系统

0型00型00型00例3-11由此可得误差的拉氏变换为

式中：

C0——动态位置误差系数；

C1——动态速度误差系数；

C2——动态加速度误差系数。

大连民族学院机电信息工程学院动态误差系数扰动作用下的稳态误差G2(S)是以n(t)为输入，cn(t)为输出的前向通道函数扰动作用下的稳态误差同样用终值定理法求得！例3-13①增大系统的开环放大系数K扰动作用点前的前向通道增益。K值不能任意增大，否则系统不稳定。②提高开环传递函数中的串联积分环节的阶次NN值一般不超过2。③采用串级控制抑制内回路扰动④采用补偿的方法

指作用于控制对象的控制信号中，除了偏差信号外，还引入与扰动或给定量有关的补偿信号，以提高系统的控制精度，减小误差。这种控制称为复合控制或前馈控制。

6.6.5减小稳态误差的方法1.

扰动稳态误差扰动误差的拉氏变换：

扰动误差的传递函数：

根据拉氏变换的终值定理，扰动作用下的稳态误差为当给定量时，以扰动量为输入量的系统结构图如下图所示：例3-12速度负反馈系统在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为

式中：——系统开环放大系数。

当负载为阶跃函数时，。则转速的稳态误差为

由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为有差系统。

将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器，构成下图所示系统。

则速度误差的拉氏变换为式中：当负载电流作阶跃变化时，有

该系统为无差系统。开环传递函数中,串联积分环节,可以消除阶跃扰动的稳定误差。

2.给定稳定误差和误差系数

误差定义为