高等数学下册复习笔记-第08章04节平面考点

第4节平面(考点)

从本节起讨论空间解析几何.空间解析几何就是用代数方法研究空间几何

对象。这里“几何对象”包括空间曲面与空间曲线.平面是特殊的曲面；直线是

特殊的曲线。要用代数方法研究空间几何对象s,首先要建立s的方程0(也

可能是方程组)。与平面解析几何类似，S与它的方程0之间应满足如下关系：

(1)若点Af(x,y,z)在S上，则(x,y,z)满足方程0；

(2)若一组数x,y,z满足方程0,则点M(x,y,z)在S上.

则称0为S的方程，S为方程0的图形.

(1)和(2)合起来意思是，

〃(x,y,z)eZo(x,y,z)满足方程0

(即，方程0不多不少刚好表示完S的全部点)

在本节及下一节,我们将以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论平面和直

(经)平面的方程

(题目(考点)：求满足给定条件的平面的方程。)

1平面的点法式方程

假设同学们已经熟知什么是平面。

若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法向量，记作".

下面我们要写出给定平面P的方程。要写P的方程，首先要有一些已知条件。

设已知p上随便一点Mo(Xo，y(),Zo)和p的随便一个法向量”={A,B,C]?0。

平面P就确定了，确定了就可以写它的方程.

UUULUI

设Af(x,y,z)是空间任一点。M0M={x-x0,y-y0,z-z。}。

UUUUUUULIUU

M污pM0M~n^fM0Mn=0?A(xx0)+B(y-y0)+C(z-zQ)=0

因此p的方程是

A(x-x0)+B(y-j0)+C(z-z0)=0.(4.1)

而平面P便是方程(4.1)的图形.

由于方程(4.1)是由平面p上已知点

加。(人,、。*。)及它的法向量”={A,B,C}确定

的，因此，称方程(4.1)为平面的点法式方程.

写给定平面p的点法式方程的方法:首先根

据已知条件求出p上随便一点"0(X0,Vo,Z。)和

随便一个法向量”={A,B,C}?力，再把

〃o(xo，yo，zo)和"={A,B,C}代入(4.1)就得到

图4.1

P的方程。

【例4.1]若平面过点(2,-3,0),且其法向量〃的三个方向角相等,求此平

面的方程.

解设法向量”的三个方向角为a,b,g,由条件可得

cosa—cosb—cosg,

但注意到

cos2a+cos2b+cos2g=1,

于是有

cosa=cosb=cosg=!—,

―3­，~-,由点法式方程(4.1),所求平面的方程为

乎(x-2)+乎(y+3)+争z-0)=0.

即x+y+z+1=0.

思考题：

1.对此题，能否取法向量〃={1,1,1)来建立平面方程?一般地，平面有多少个

法向量,不同的法向量之间有什么关系？

【例4.21若平面过三点跖01，月/1),知2。2，为/2),“30:;3，，3,23)，求

此平面的方程.

解先求平面的法向量”，因

UUUUULTUUUUUIT

M{M2={x2-Xi，y2-yx,z2-zj,={x3-xx,y3-yx,z3-Zj),

UUUUULTUUUULUT

则忆八nA.于是可取

uuuuuiruuuuuur2-%Z2-Z“『2-Z1工2-%“产2-%1丁2-乃

n=MM?MM3-JlZ3-Zi卜卜3-ZiX3-/卜卜3->3-%

又点/1(/,当,Z1)是此平面上一定点，由平面的点法式方程(4.1)可得

>2-月Z2-Zi22-Zi%2-兄1

>3-乃23-Zi-/)+23-21%3-A乃)

X2~Xl丁2-J1

+(z-Zi)=0

%3-为-%117

或

x-xxy-yiz_Z]

尤2-尤1丁2->1Z2-Zi=0.(4.2)

%3-Xi为-yxz3-Zi

(4.2)式也称为平面的三点式方程.

思考题：

2.根据向量的混合积导出平面的三点式方程(4.2).

(四点Ml(xl,yi,zl),M2(x2,y2,z2),M3(x39y3,z3),M(x,y,z)共面的充要

那IULIULTUUUUULTUUUULT

条件是激MM"3MM=0o也可得到方程(4.2)o)

2平面的一般方程

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=(4.1)

Ax+By+Cz-AXQ-ByQ-Cz0=0

平面方程(4.1)是x,y,z的三元一次方程。反过来，若随便给定三元一次方程

Ax+By+Cz+D=0,(4.3)

它是否表示一个平面？

任取满足该方程的一组数X。,囚,z()(若A10»令z0==0得x。=-—

A

即

Ax0+By0+Cz0+£)=0,(4.4)

两式相减就得到与(4.1)同解的方程：

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.(4.3)

由此可见，方程(4.3)是过点Mo(xo，yo，zo)且以"={A,8,C}为法向量的平面方

程，故三元一次方程(4.3)的图形是平面.称方程(4.3)为平面的一般方程.x,y,z

系数向量”={A,8,。}是平面的法向量.

Ax+By+Cz+£)=0,

结论：平面的方程都是三元一次方程；反过来，三元一次方程都表示一个平

面。

利用一般方程写平面方程的方法：把已知条件代入(4.3)得未知数是

A,8,C,O的方程组，解此方程组得到A,民C,。，再代回(4.3)就得到平面的方程。

(注意：A,8,C,。的解是不唯一的！)

为简单，可利用三元一次方程和平面特点的以下关系：

(1)D=0?平面通过原点.

(2)4=0?法向量为"={0,B,C}垂直于x轴。平面平行于x轴；

8=0?法向量为”={A,0,C}垂直于y轴。平面平行于y轴；

C=0?法向量为”={A,8.0}垂直于Z轴U平面平行于Z轴

(3)的三个特点有时可能同时具有其中两个，例如，A=3=0?平面平行

于xOy面.

思考题：

3.在方程(4.3)中，若⑴8=0；(2)C=0；(3)B=C=0；(4)4=C=0,则方程

(4.3)分别表示怎样的平面？画出这些平面的图形.

【例4.3】求通过x轴和点Mo(4,-3,-1)的平面方程.

解平面过无轴，则该平面平行于x轴，且平面过原点，故设该平面的方程

为

By+Cz=0

由平面过点(4,-3,-1),有

-3B-C=0,C=-3B

将此式代入所设方程有By-33z=0,消去8(解不唯一！)，得平面方程

y-3z=0.

思考题：

4.试根据平面的点法式方程求例4.3的平面方程.

ruuuuu

解设法向量为〃={A,B,C},则A同时垂直于={4,-3,-1}和

i=(1,0,0}o解fa_八取A=0,3=1,C=-3。所求平面方程是

1/I—u

(0(0,0,0)在平面上)

y-3z=0

【例4.41设平面与x轴，y轴，z轴分别交于三点-3,0,0),Q(0,女0),

H(0,0,c),求此平面的方程(其中：abc10).

解设所求的平面方程为Ax+By+Cz+D=0,将三点的坐标分别代入

得

a?AD-O,Z??BD-0,c?CD=Q,

从而A=--,B=-C--2,代入所设方程有

abC

DDD八八

-----iQX—2oy—Q?zD=0,

abc

两边同除以Q(।0)有

xyz.

—+—+—=1(4.5)

abc

方程(4.5)称之为平面的截距式方程，而友c依次称为平面在x,y,z轴上的

截距.

思考题：

5.试根据平面的三点式方程导出平面的截距式方程.

UUUTUUU

解PQ-1-a,b,O},PR-1-a,O,c}o取

rUUUUUU

n=PQ?PR{-〃,dO}?{a,O,c}二{bc,ac,ab

平面的方程

bc{x-a)+acy+abz=0

4.2点到平面的距离

5

设/00(),丫0/())是已知点，p：Ax+By+Cz+D=0是已知平面，下面求

点Po到平面P的距离".

取尸i(Xi，y[,Z])ipoP[P0={x0-xx,y0--z[}。平面p的单位法向

"/尸。

6al

量e“二丁={A,B,C}。/

VA2+B2+C2/

uuuuruuuur

PJPQcosq=?e“cosqP，o?e

图4.2

zJ?{A,8,C}

Uo■/，九-Vi，z

7A2+B2+C

\A(x0-B(y0-f1)+C(z0-Zj)|

y/A2+B2+C

；------5-----丁I-\AXu0+-Byu0+-Czu0-Axr-—Byix-Cz[)|

A/A2+B2+C2

注意到尸i(X],为,Z[)在平面p上，有-Axx-By}-Cz[=£>,故

d=M-o+8yo+Cz。+O|«

7A2+B2+C2''

(4.6)为点P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式.(与平面几何点

到直线距离公式比较记住)

例如点尸。(1,1,1)到Po到平面平面p:3x+2J为+2z-273=0的距离为

3+273+2-2V3|

J9+12+4y/25

思考题：

6.试根据例3.3所给出的Cauchy不等式导出点到平面的距离公式（4.6）式.

7.如何判别两点位于同一平面的同侧或异侧？

解平面p:Ax+5y+Cz+£>=0把全空间分割成三部分：平面p上

Ax+By+Cz+D=Q；p有一侧Ax+By-^Cz+D>0另一侧

Ax+By+Cz+D<0o

4.3两平面的位置关系

1两平面的相互位置

设空间两平面的方程分别为：Pi:A{x+Bxy+C\z+=0,

Pz+B^y+C2z+D2=0.法向量分别I为nl=,

n2={A2,B2,C2}O从几何上看，其位置关系可能是平行、重合、相交等情形.

(1)Pi〃22旷或1〃三2&_B]_g

A2B2C2

rr

⑵0J%n?=Oo

蹲勺2AJA2BXB2+CJCJ

特别地，易证两平面pi，h重合的充分必要条件是

4_A]_C]_A

(4.8)

A2B2C2D2

2两平面间的夹角

两平面的法向量的夹角等于两平面的夹角（通常不取钝角）.

设平面pi:AjX+B（y+C]Z+£）]=0,：A2尤+B^y+C2z+D2-0,则

Pi与P2的法线向量分别为«i={A,,Bx,Cj},n2={A2,B2,C2]>由于两平面

A

（4,万2），(小2)&f

的夹角0=<A（不取钝角）（图4.3），故得

71

兀-（4,万2），(4,方2)>

7

小2

nx|AJA2+B]B2+C|C2|

cosq=(4.9)

|«1|H«2|而；+8：+。：?依B；+©

【例4.51平面过两点"Ml,1,1）和〃2（。，1，-1）且垂直于平面

%+y+z=O,求它的方程.

UUUUULT

解设所求平面的法线向量为〃={A,5,。}.显然，MXM2=[-1,0,-2)

在所求平面上，故

UUUULlLrUUUUULT

a

MiM2n,MXM2?W0,

即

-A-2C=0.

又n垂直于平面％+y+z=0的法线向量〃0={1,1,1)，故有

A+3+C=0.

故A=-2C,3=C.(解不唯一！)

由点法式方程有

-2C(x-1)+C(y-1)+C(z-1)=0,

消去。得

-2(x-l)+(y-l)+(z-1)=0,

故所求方程为2x-y-z=0.

思考题：

8.试给出建立例4.5中平面方程的其它解法.

UUUUULT

解x+y+z=。的法向量〃取

MXM2-[-1,0,-2}o0={1,1,1}o

uuuuuir_2-2-1-10

={2,-1,-1}

11'11

所求方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0。

习题8—4

A类

1.是否存在满足下列条件的平面？如果存在的话，是否唯一?

*

(1)过一已知点且与一已知直线平行(2过一已知点且与一已知直线垂直;

*(4

(3)过一已知点且与一己知平面平行(6过一已知点且与一已知平面垂直;

*

(5)过两已知点且与一已知直线平行(8过两已知点且与一己知直线垂直;

*

(7)过两已知点且与一己知平面平行过两已知点且与一己知平面垂直.

2.指出下列平面位置的特点并作图：

*(1)九+y+z=O;(2)x+y+z=1;(3)x+y=O;

*(4)x+y=l;*(5)尤=0;(6)3x=1.

(2)解这是一个三个截距都是1的截距式方程,图如下。

3.求满足下列条件的平面方程：

uun

(1)过点(2,9,-6)且与向径04垂直；

(2)过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行；

(3)过点(1,0,-1)且同时平行于向量a=万+/+4和)=i-j；

(4)过点(1,1,1)和点(0,1,-1)且与平面x+y+z=0相垂直；

(5)过点(1,1,1)且与平面x-y+z=7与3%+2y-12z+5=0相垂直；

(6)过点(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2);

(7)过点(-3,1,-2)和一轴;

(8)过点(4,0,-2),(5,1,7)且平行于无轴；

(9)与坐标轴的截距相同且过点(6,2,-4);

(10)平面%-2y+2z+21=0与平面7x+24z-5=0之间的两面角的平分面.

(3)过点(1,0,-1)且同时平行于向量a=万+J+k和力二i-j；

解(3)所给平面的法向量方与a={2,1,1}和办二{1,-1,0}都垂直。取

r1.Bl11221]

〃={2f,1,1}?{f1,1,0}=gi0，0i5i_i-{ft1,-3)

所求平面方程：x-1+y-3(z+1)=0o

(5)过点(1,1,1)且与平面x-y+z=7与3x+2y-12z+5=0相垂直；

(5)两已知平面的法向量分别是升=