2021-2022学年高一数学期中检测卷（中）（苏教版2019必修第一册）

高一数学期中检测卷

试卷范围：集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数；总分：150分；难度：中等

一、单选题（共40分）

1.（本题5分）下列各等式中成立的是（）

2_2_

A•a1=>0）B•>0）

5

C,a=±\[^（a>0）D.a2=-yfa（a>0）

2.（本题5分）已知集合4={上>2},B={x\x<m},若4UB=R,则实数m的取值范围（）

A.m<2B.m<2C.m'>2D.m>2

3.（本题5分）代数式10"他9+（]g2）2+]g2x]g5+ig5的值是（）

A.90B.91C.101D.109

4.（本题5分）设xwR,则牛-1|>1”是七>3”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

5.（本题5分）命题“正方形的两条对角线相等”的否定为（）

A.每个正方形的对角线都不相等

B.存在不是正方形的四边形对角线不相等

C.存在对角线不相等的正方形

D.每个不是正方形的四边形对角线都相等

6.（本题5分）已知一元二次方程侬+i=o的两根都在（0,2）内，则实数用的取值范围是（)

告

A.-2U[2,-K»)B.u(2,a)

C.l-2D.I-2

2

7.（本题5分）已知命题p：2x+m<0,q:x-2x-3>Of若〃是4的一个充分不必要条件，则〃?的取值范围

是（）

A.[2收)B.(2,-Ko)C.(-oo,2)D.(YO,2]

8.（本题5分）对于任意两个数x,y（x,ywN.）,定义某种运算“◎”如下:

x=2m,meN.x=2m-1,meN,

①当(或《♦讨.=x+y；

y=2〃,〃wN,一y=2n-\,neN

x=2m,tneN*,

②当《

则集合A={（x,y）k©y=10}的子集个数是（)

A.2山个B.2"个C.2仁个D.2”个

二、多选题（共20分）

9.（本题5分）若集合片{小2+x-6=0},5={x|at-1=0},且S£P,则实数。的可能取值为（）

A.0B-4C.4D・1

10.（本题5分）（多选）下列计算正确的是)

10

A.B.2”g23=2

~3

2

C.5/衿=y/3D.log3(-4)=41og32

11.（本题5分）下面命题正确的是（

A.%>1”是“L<1”的充分不必要条件

B.命题“若xvl,则fvl”的否定是“存在xvl,则炉之1”.

C.设x,ycR,则“xN2且”2”是“r+丁24”的必要而不充分条件

D.设。，力eR,则“。工0”是"必工0”的必要不充分条件

12.体题5分）若x>0,y>o且满足x+y=孙，则（）

A.x+y的最小值为4B.x+y的最小值为2

C.+的最小值为2+46D.^^+^^的最小值为6+4人

三、双空题（共5分）

13.（本题5分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的

重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.设

aX）,6X）,称空为小匕的调和平均数.如图，C为线段A8上的点，且AC=a,CB=b,。为AB中点,

以A8为直径作半圆.过点。作AB的垂线，交半圆于O,连结O。，ADtBD.过点C作。Z）的垂线，垂

足为E.则图中线段。。的长度是&b的算术平均数学，线段8的长度是小人的几何平均数疝，

线段___________的长度是。，力的调和平均数空，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________.

a+b

四、填空题（共15分）

14.5log.[log4（log5x）]=log5[log4（log3y）]=0,则x+y=（请用到字作答）.

15.（本题5分）已知正实数x,V,z满足V+y2+z2=4,则盯+2”的最大值为.

16.（本题5分）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达100多个,

其中的一个成果是：设“£区，则y=称为高斯函数，5］表示不超过X的最大整数，如［1.7］=L〔-1⑵=-2,

并用"}=x-LH表示x的非负纯小数.若方程W=1-履仪>。）有且仅有4个实数根，则正实数上的取值范

围为.

五、解答题（共70分）

17.（本题10分）化简下列各式：

21g2+lg3

L%(2)"1._.

⑴卜/「「闺Ine+—1g0.364--lg16

x-3

®体题12分）设全集小R,集合A十晶<0>,B={x|x>l},C={ji\2a<x<i7+3}.

(1)求C04和AD8：

（2）若A=C=A,求实数〃的取值范围.

19.（本题12分）给定两个命题，p：对任意实数x都有加+ai+l>0恒成立；q：关于4的方程/-X+〃=0

有实数根；如果命题P，夕只有一个为真，求实数。的取值范围.

20.（本题12分）解下列一元二次不等式：or-（«+l）x+l<0（«e/?）.

21.（本题12分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生

产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产”台，另需投入成本MM（万元），当

月产量不足60台时，〃@）=/+20%（万元）；当月产量不小于60台时，p（x）=101x+怨^-2060（万元）.若

每台机器售价100万元，且当月生产的机器能全部卖完.

（1）求月利润了（万元）关于月产量”（台）的函数关系式；

（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.

22.（本题12分）若函数/⑶与g（x）对任意占e。，总存在唯一的々e。，使f（N）g（X2）=m成立，则称/㈤

是g（x）在区间D上的“加阶伴随函数“；当fW=g（x）时，则称f（x）为区间D上的“加阶自伴函数”.

（1）判断f（x）=log2（f+l）是否为区间［l，"］上的"2阶自伴函数”？并说明理由；

（2）若函数/（x）=4i为区间口，句（b>a>0）上的“1阶自伴函数”，求竺W的最小值；

ab

4.

（3）若/（回=—^是8。尸一一2以十17在区间r［0,2］上的“2阶伴随函数”，求实数”的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】

根据分数指数基的定义判断.

【详解】

322--1

涓=77，京="，肝="，忑，只有B正确.

故选：B.

2.D

【分析】

根据并集的定义，即集合A与集合B中的所有元素即全体实数R来求解机的范围.

【详解】

因为=即集合4与集合8包含了所有的实数，那么">2.

故选：D.

【点睛】

特别注意当x=2时，是否满足题目要求，要检验.

3.B

【分析】

应用对数公式和运算性质即可解题.

【详解】

原式=10"蟒+（怆2）2+怆2X怆5+怆5

=10xl0lg9+lg2（lg2+lg5）+lg5

=10x9+lg2x|gl0+lg5

=90+ig2+lg5

=90+lgl0

=90+1

=91

故选:B.

【点睛】

本题考查对数的基本运算，要熟记对数公式和运算法则即可.

4.B

【分析】

先求解出不等式卜-1|>1的解集，然后根据解集与x>3之间的推出关系判断属于何种条件.

【详解】

因为,一1|>1,所以x>2或x〈0,

所以由卜-1|>1不能推出x>3,

但由x>3可以推出卜-1|〉1,

所以平-1|>「是“x>3”的必要不充分条件,

故选：B.

5.C

【分析】

根据全称命题的否定为特称命题得到答案.

【详解】

解：命题：”正方形的两条对角线相等“可改写为“所有的正方形，其两条对角线相等“是全称命题，根据全称

命题的否定为特称命题，可知其否定为“有些正方形，其两条对角线不相等”即“存在对角线不相等的正方形“

故选：C.

【点睛】

本题考查全称命题的否定，属于基础题.

6.C

【分析】

设/("=/+〃优+1,根据二次函数零点分布可得出关于实数用的不等式组，由此可解得实数机的取值范围.

【详解】

设/(»=/+如+1,则二次函数f(x)=Y-处+1的两个零点都在区间(0,2)内,

A=wt2-4>0

40<——<2,5

由题意，2>解得-

/(0)=1>02

/(2)=2m+5>0

因此，实数m的取值范围是卜：,-2.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别式、对称轴以及端

点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

7.A

【分析】

先化筒命题p,q,再根据，是夕的一个充分不必要条件，由〃4求解.

【详解】

因为命题p：xv-4：%>3或xv-1,

又〃是9的一个充分不必要条件，

所以《47,

解得m>2,

所以"的取值范围是⑵内)，

故选：A

8.B

【分析】

根据新定义确定集合A中元素个数后可得子集个数.

【详解】

X=1IV=3|v=5|v=7Y=9Y=2v=4

八或（"或｛V或，今或（[或｛o或｛，或

｛y=9[y=7[y=5[y=）[y=1]y=8[j=6

x=6卜=8

"或"=2，

当，是偶数，)，是奇数时，,0X=2或{fr9=IO

所以集合A中含有11个元素，它的子集个数为2".

故选：B.

9.ABD

【分析】

分S=0,S，0两种情况，根据子集的定义，分别求得参数值.

【详解】

解：-6=0}={-3,2},

①S=0,a=0；

②Sw0,S=Ur=-},

a

1-1

—=-3,a=

a3

1I

厂20,〃=5；

综上可知：实数a的可能取值组成的集合为{；,0,-g}.

_3

故选：AB1).

10.BCD

【分析】

根据根式运算法则、根式与分数指数得的运算、指数运算和对数运算法则依次判断各个选项可求得结果.

【详解】

1=底=而,A错误；2"幅3=£=|,R正确；

1I

I—((2\i£

-J圾=[9，==3%=^3'C正确；

4

logs(Y)2=log?16=log32=41og32,D正确•

取选BCD

【点睛】

本题考查根式、指数塞运算、对数运算法则的应用，属于基础题.

11.ABD

【分析】

由充分条件和必要条件的定义可判断A、C、D,利用全称命题的否定是变量词否结论可判断B,进而可得

止确选项.

【详解】

对于A：当时，-<1,充分性成立；当时可得或0<0,必要性不成立，所以是4<1”

aaa

是的充分不必要条件，故选项A正确；

对于B：命题“若xvl,则dvl”的否定是“存在JV1,则dzi"，故选项B正确;

对于C：由“XN2且”2”可得出“f+y2“,,，充分性成立；但丁+产“得不出“戈之2且”2"，如取

x=0,y=3,满足Y+y2>4,但不满足“M2且”2"，必要性不成立；所以2且”2"是"+,2

的充分不必要条件，故选项c不正确；

对于D：当“awO"，b=O时不能得出“而HO”，充分性不成立；当而工0时，必要性成立，所以“〃工0”

是“曲工0”的必要不充分条件，故选项D1E确；

故选：ABD.

12.AD

【分析】

将x+y=母，变形为LL1,然后利用T的代换，由x+y=(x+y)己+』利用基本不等式求解；根据

%y㈠y)

々+々二6冲：2(x+2)，)=©+,再用，，i，，的代换，由4x+2y=(4x+2y〕t+1|利用基本不等式求解.

x-1y-\xy-(x+y)+\\xy)

【详解】

因为入>0,y>0且满足“+〉=孙，

所以，+工=1,

才y

所以x+y=(x+y)—+—1=2+—+—>2-21-^—=4,

y)xyy

当且仅当上即x=y=2时取等号,

%y

所以/+y的最小值为4,

因为著茨言瑞

=4x+2j,

所以4x+2y=（4x+2娟+,=6+^-+—>2+2空出=6+4&

\xy）xyVxy

当且仅当空="，即X=^+l,y=l+&时取等号,

xy2

2x4v

所以1y+'的最小值为6+4&

故选：AD

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题.

・-2ab,t—ra+b

13.DE----<Jab<-----

a+b2

【分析】

利用射影定理判断出调和平均数对应的线段，根据图象判断算术平均数、几何平均数与调和平均数的关系.

【详解】

依题意三角形是直角三角形，CD工AR；

在直角三角形08中，CD_L0C.

由射影定理得B=ACCB=ab^>CD=x/^b,

由射影定理得CZ)2=OE.O。，即。6=。曰券=。£；=驾,

2a+b

所以线段。石的长度是匕的调和平均数丝.

a+b

在Rt/\OCD中，DE<CD<OD，即——y<yfcib<———，

a+b2

当a=b时，DE,CDQD重合,即华=而=字，

a+b2

所以冷疯呼•

故答案为：DE；2空4而4空

a+b2

【点睛】

本小题主要考查基本不等式，考查中国古代数学文化.

14.706

【分析】

由对数的运算性质求出x和y的值，即可求解.

【详解】

因为log3[log4(log5x)]=log5[log4(log3y)]=0,

所以log,(logs%)=1且log4(log3y)=1,

所以log/=4且log3y=4,

所以/=54=625,y=3"=81,

所以=625+81=706,

故答案为：706.

15.2x/5

【分析】

借助均值不等式可得结果.

【详解】

•・・x,九z为正实数,

・if2=卜+3仔+Z?上甘+再，

xy+2yz<2>/5,当且仅当y===应时，等号成.立,

工——2yz的最大值为2石.

故答案为：2石

1_J

16.

453

【分析】

作出函数7（力={@的图象，函数y=i-E&>0）经过定点尸（0,1）的直线，结合图象可得答案.

【详解】

由题意可得函数/（X）={x}在X轴的正半地的大致图象如下图所示,

函数了=1一日（&>0）经过定点P（o,l）的直线，A（3,o）,8（4,0）,

要使方程{*="kx（k>0）有且仅有4个实数根，则直线y=1-履代>0）应在直线

PA.之间，（含不含《?）,

所以言.〈言，解得

故答窠为：（：，:.

143J

17.（1）0；（2）1.

【分析】

（1）根据分数指数某的计算法则进行计算即可；

（2）利用对数的运算法则求解.

【详解】

解：⑴0.064。m“二(o.43p3_^|)3-1=0.4-'1=0：

21g2+lg3=Ig4+lg3=lgl2=lg|2=1

⑵iM+；lgO.36+；lg]6=]+lgO-6+lg2\gl0+lgL2=^=.

【点睛】

本题考查指数事的化简计算，考查对数式的化简运算，难度一般，解答时要灵活运用指数哥及对数的运算

法则.

18.(1)CvA={x\x<-2^x>3]fAnB={x|l<x<3}(2)a>3或一l<a<0

【分析】

(1)先解出4,然后进行交集、补集的运算即可；

(2)根据题意可得CGA可讨论。是否为空集，从而可求出实数a的取值范围.

【详解】

(1)A={x]-2<x<3},CVA=Jx|x<-2^x>3|,AcB={x|lKx<3}

(2)由4=。=4知。口4

当2a>a+3时，即a>3时,C=0,满足条件；

当2a〈a+3时，即a<3时，2。>一2且。一3<3,

综上，a>3«£-1<a<0

【点睛】

本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义.

考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.

19.{.|aV0或」VaV4}

【分析】

分别根据命题为真时分别求出。的取值范围，根据p，q一个为真一个为假，却可求相应。的范围即得.

【详解】

根据题意，对于命题p,对任意实数x都有加+如+1>0恒成立,

aX)

则有。=0或

A=/-4a〈o'

解可得g，V4；

对于0关于4的方程^-1+4=0有实数根，

则有J=1-4a>0,解可得a<7,

4

又由题可知命题p和g一真一假.

0<a<4

如果p真，且夕假，则有］,解可得!<aV4,

心一4

4

aVO或a>4

如果q真，且p假，则有41,解可得。<0,

a<—

4

综合可得：a的取值范围为｛«|“<0或

4

20.答案见解析.

【分析】

分别讨论。=0,«<o,o<a<i,。=1,时不等式解集的情况即可求解.

【详解】

当。=0时，原不等式可化为-x+l<0,解得：x>l,

此时不等式的解集为

当awO时，由/-(a+Dx+lvO可得：(a¥-l)(x-l)<0,

当a<0时，原不等式可化为卜一£|(XT)>0,解得：工<5或工>1，

此时不等式的解集为：{x|x<：或x>l},

当a>0时，原不等式可化为卜-£j(x-1)<0,

当］>1即0<4<1时，不等式的解集为kII<%<}},

当』=1即。=1时，不等式解集为0,

a

当5<1即0>1时，不等式的解集为卜15Vx<1卜

综上所述：当〃<0时，不等式的解集为(rlxvL或1>1},

当。=0时，不等式的解集为{x|x>l},

当0<4<1时，不等式的解集为卜|1VX<T

当。=|时，不等式解集为0,

当,>1时，不等式的解集为卜

2

-x+80^-400,0<x<60,xG

21.(1)y=\6400(2)当月产量为80台时,该企业能获得最大月利润，其

1660-(x4-——),x260,xwN

x

利润为1500万元.

【分析】

(1)由给定函数模型结合y=100x-〃(")-400即可得解:

(2)分段讨论，结合二次函数的性质及基本不等式即可得解.

【详解】

解：(1)当0<xv60时，y=100x-(x2-20x)-400=-x2+80x-400：

当工之60时，y=100x-^10Lv+^^-2060^-400=1660-^+^^J.

-x2+80x-400,0<x<60,xeN

:.y=<6400：

1660-(x+汇以),xN60”N

x

(2)当0<x<60时，j=-x2+80x-400=-(x-40)2+1200,

当x=40时，》取最大值1200万元；

当1260时，y=1660一(x+^卜1660一2n^^=1500,

当且仅当x=80时取等号；

又1200<1500,

所以当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.

答：当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，其利润为1500万元.

22.(1)不是；(2)|；(3)［一夜,2-6］1］［6，2+夜］.

【分析】

(1)当&=1,得/⑴=1,而八%)=：在［1,6］没有实数解，根据函数的新定义，即可得出结论；

(2)由题意得任意％《小句，总存在唯一的94。,目使得4"%2=i，进而得对任意占式小々，总存在唯

一的％e［a,0使得七=2—内目2—"2—a］,即［2—h2—同，进而求得a+b=2,再结合基本不等式,

即可求得生*的最小值；

ab

(3)求得函数〃力=贵在区间［0,2］的值域为［L2］,故g*)=V—2公+标_］在［o,2］区间上的值域必定

包含区间［1,2］,进而结合二次函数的性质，分类讨论即可求解.

【详解】

2

(1)/(x)=log2(x+l),X电，仞，

当3=1时,/(1)=1,再由〃1)/5)=2,

lo

得f(%)=g2(¥+1)=+1=&，

*=、5—i，w足口,V7],

故根据“2阶自伴函数”定义得，

=log2(丁+1)不是区间[1,6]|-.的"2阶自伴函数

(2