2020年四川省凉山州(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

四川省凉山州2020年中考数学试卷

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.（-1）2。2。等于（）

A.-2020B.2020C.-1D.1

2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）

3.点A（2,3）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.（―2,—3）B.（2,-3）C.(2,3)D.(-2,3)

4.已知一组数据1,0.3,-1,X,2,3平均数是1,则这组数据的众数是（）

A.-1B.3和3D.1和3

5.一元二次方程x2=2x的解为（）

A.x=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0且x=2

6.下列等式成立的是()

A.商=±9B.V5-2=-V5+2

c.(-1r'=-2D.(tan45°-l)°=l

7.已知一次函数旷=（2研1）才+犷3的图像不经过第二象限，则0的取值范围1()

A.m>--B.m<3C.一一<m<3D.--<mW3

222

8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段AB=12cm,则线段BD的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

9.下列命题是真命题的是（）

A.顶点在圆上的角叫圆周角

B.三点确定—圆

C.圆的切线垂直于半径

D.三角形的内心到三角形三边的距离相等

10.如图所示，A45C的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）

A.gB.—C.2D.2a

22

11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于O,则4D:AB=（）

A.272:3B.V2：V3C.73:72D.73:272

12.二次函数y=ar2+Zu+c的图象如图所示，有如下结论：①a机■>（）；②2a+b=0；③父?一2c<0；

@anr+bm>a+b（m为实数）.其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

第n卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数y=JER中，自变量x的取值范围是一

14.因式分解：c^-ab2=.

15.如图，0ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE//AB交AD于点E,若OA=1,A4OE的周长等于5,则0ABCD

的周长等于

3

16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为一不，则半圆的半径OA的长为________

2

17.如图，矩形OABC面积为3,对角线OB与双曲线y=4（左>0,x>0）相交于点D,且。8:00=5:3,则k的值

X

为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

18.解方Y-程2］2一x—三1」

23

19.化简求值：(2x+3)(2x—3)—(x+2)~+4(x+3),其中x=

20.如图，44BC是一块锐角三角形的材料，边BC=120〃i〃?，高AD=80加町要把它加工成正方形零件，使正方形

的一边在BC上，其余两个顶点分别在A8、AC上，这个正方形零件的边长是多少.

21.某校团委在“五・四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评

比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，

(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品件在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；

(2)补全条形统计图；

(3)第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽

取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率.

22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分N84c交半圆于点D,过点D作。AC与AC

的延长线交于点H.

(1)求证：DH是半圆的切线；

(2)若DH=2卮sinZBAC=—,求半圆的直径.

3

lx<3(x-3)+l

23.关于x的不等式组,3X+2有四个整数解，则a的取值范围是.

------>x+a

I4

24.如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一点，且EB=3,F是BC上一动点，若将AEB尸沿EF对折

后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为.

25.如图，点P、Q分别是等边AABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、

点B出发.

(1)如图1,连接AQ、CP求证：\ABQ=\CAP

(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M,ZQMC大小是否变化？若变化,

请说明理由；若不变，求出它的度数

(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M,NQMC的大小是否变化？若变

化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

X

k

(2)若反比例函数y=、，>0,x>0)的图象与直线/在第一象限内相交于点A&,%)、5(程为)，当占=3时,

X

k

求k的值并根据图象写出此时关的不等式-x+5<£的解集

x

27.如图，0半径为R,其内接锐角三角形ABC中，NA、DB、NC所对的边分别是a、b、c

b

(1)求证：--=2R

sinZAsinNBsinZC

(2)若NA=60,NC=45,BC=48利用(D的结论求AB的长和sin的值

(3⑸

28.如图，二次函数丁=依2+&+C的图象过0(0,0)、A(l,0)、B三点

2J

(1)求二次函数的解析式；

(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C,与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D,求直线CD的解

析式；

（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P,过点P作轴，交直线CD于Q,当线段PQ的长最

大时，求点P的坐标.

四川省凉山州2020年中考数学试卷

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.（-1）2。2。等于（）

A.-2020B.2020C.-1D.1

【答案】D

【分析】

根据负数的偶次方是正数可以解答.

【详解】（-1）2020=|

故选：D.

【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道的奇次方是J,-1的偶次方是1,是常考题型.

2.如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）

【答案】B

【分析】

根据左视图是从物体左面看所得到的图形，分别得出四个几何体的左视图，即可解答.

【详解】解：A、圆柱的左视图是矩形，不符合题意；

B、三棱锥的左视图是等腰三角形，符合题意；

C、三棱柱的左视图是矩形，不符合题意；

D、正方体的左视图是矩形（正方形），不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图；考查了学生的空间想象能力，属于基础题.

3.点A（2,3）关于x轴对称的点的坐标是（）

A.（-2,-3）B.（2,-3）C.（2,3）D.（-2,3）

【答案】B

【分析】

利用平面直角坐标系内，对称坐标特点即可解答.

【详解】关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数

.♦.点A（2,3）关于x轴对称的点的坐标是（2,-3）

故选B

【点睛】本题考查了平面直角坐标系内坐标的对称，注意关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数；关于），轴

对称，横坐标变相反数，纵坐标不变；关于原点对称，横、纵坐标都变相反数.

4.已知一组数据1,0.3,-1,X,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是（）

A.-1B.3C.-1和3D.1和3

【答案】C

【分析】

先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可.

【详解】解：由题意，得：l+0+3—l+x+2+3=lx7,解得：x=—1,

所以这组数据的众数是：-1和3.

故选：C.

【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键.

5.一元二次方程x2=2x的解为（）

A.x=0B.x=2C.x=0或x=2D.x=0且x=2

【答案】C

【详解】X2-2X=0,

x（x-2）=0,

x=0或x-2=0,

丹—•0,—2.

故选C.

6.下列等式成立的是（）

A.病=±9B.|V5-2|=-V5+2

C.(-1),=-2D.(tan45°-l)°=1

【答案】C

【分析】

根据二次根式、绝对值、负指数器及特殊角的三角函数值即可求解

【详解】A.781=9,故错误；

B.|V5-2|=V5-2,故错误；

C.（-；）1=-2,正确；

D.Vtan45°-l=1-1=0,

（tan45。—1）°无意义；

故选C.

【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知二次根式、绝对值、负指数事及特殊角的三角函数值.

7.已知一次函数了=（2加1）x+“3的图像不经过第二象限，则勿的取值范围（）

A.m>---B.m<3C.---<m<3D.---

222

【答案】D

【分析】

一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.

【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，

2m+l>0

解得：—<m<3.

m-3<02

当函数图象经过第一，三象限时,

2m+l>0

解得m=3

m—3=0

---<m<3.

2一

故选D.

【点睛】一次函数的图象所在的象限由k,b的符号确定：①当k>0,b>0时，函数y=kx+b的图象经过第一，

—,三象限；②当k>0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第一，三，四象限；③当k<0,b>0时，函数y=kx

+b的图象经过第一，二，四象限；④当k<0,b<0时，函数y=kx+b的图象经过第二，三，四象限.注意当b=0

的特殊情况.

8.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点.若线段A8=12cm,则线段BD的长为（）

A.10cmB.8cmC.8cm或10cmD.2cm或4cm

【答案】C

【分析】

根据题意作图，由线段之间的关系即可求解.

【详解】如图，，•点C是线段AB的中点,

AC=BC=—AB=6cm

2

2

当AD=—AC=4cm时,CD=AC-AD=2cm

3

BD=BC+CD=6+2=8cm；

当AD=JAC=2cm时，CD=AC-AD=4cm

3

ABD=BC+CD=6+4=10cm；

故选C.

A•・•

DID2C

【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系.

9.下列命题是真命题的是（）

A.顶点在圆上的角叫圆周角

B.三点确定一个圆

C.圆的切线垂直于半径

D.三角形的内心到三角形三边的距离相等

【答案】D

【分析】

根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案

【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；

B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；

C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；

D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关

键是熟练掌握所学的知识进行判断.

10.如图所示，A45C的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）

【分析】

如图，取格点E,连接BE,构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可；

由题意得：Z4£B=90。，BE=6，心也2+22=2啦,

1

V21

an-诙-

-=2-

故答案选A.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，准确构造直角三角形，利用勾股定理求边是解题的关键.

11.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0,则AD:A5=()

A.20:3B.痣：GC.百:夜D.百：2夜

【答案】B

【分析】

过点0作ONLAD,设圆的半径为r,根据垂径定理可得AOBM与AODN是直角三角形，根据三

角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】如图，过点。作ON工AD,设圆的半径为r,

...△OBM与AODN是直角三角形，OD=OB=r,

V等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于：0,

：.NOBM=3YZODN=匕DON=45°,

DN=㈤,tan450=—r.BM=OB.cos30°=—r.

22

AD=2DN=亚r，BC=2BM=舟，

AD:AB=V2r；=&：百.

故答案选B.

【点睛】本题主要考查了圆的垂径定理知识点应用，结合等边三角形和正方形的性质，利用三角函数求解是解题的

关键.

12.二次函数,=冰2+fex+c的图象如图所示，有如下结论：®abc>0；®2a+b-0；③劝一2c<0；

@anr+bm>a+b（m为实数）.其中正确结论的个数是（）

C.3个D.4个

【分析】

由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a,结合抛物线的对称轴可判断b,根据抛

物线与y轴的交点可判断c,进而可判断①；由图象可得：当x=3时，y>0,即9a+3b+c>0,结合②的结论可判断

③；由于当x=l时，二次函数y取最小值a+b+c,即3/?+勿〃+《20+2+0（m为实数），进一步即可对④进行判

断，从而可得答案.

【详解】解：抛物线的开口向上，，a>0,

•••抛物线的对称轴是直线x=l,-2=1,

2a

Ab<0,2。+人=0,故②正确；

•・,抛物线与y轴交于负半轴，・・・c<0,

abc>0,故①正确；

当x=3时，y>0,*'9a+3b+c>0,

19

*/ci——b,・\—b+3b+c>0,

22

整理即得：3b—2c<（）,故③正确；

・・・当x=l时，二次函数y取最小值a+b+c,

am2+bm+c>a+b+c(m为实数)，即a,r+ZwzNa+b(m为实数)，故④正确.

综上，正确结论的个数有4个.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函

数的图象与性质是解题的关键.

第n卷(共90分)

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.函数y=中，自变量x的取值范围是

【答案】X》-1.

【分析】

根据二次根式有意义条件判断即可.

【详解】由于二次根式需要有意义，则X+120,X2-1.

故答案为x》-1.

【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，关键在于牢记基础知识.

14.因式分解：/—ah2=.

【答案】a(a+b)(a-b).

分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析:原式=a(a+b)(a-b).

故答案为a(a+b)(a-b).

15.如图，0ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE//AB交AD于点E,若OA=1,A4OE的周长等于5,则0A3C。

的周长等于.

【答案】16

【分析】

根据已知可得E为AD的中点，0E是AABD的中位线，据此可求得AB,根据OA=1,AAOE的周长等于5,可

求得具体的结果.

【详解】•••四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，

为BD和AC的中点，

又，：OE//AB,

：.OEAB,AB=2OE,E为AD的中点，

XVOA=1,AAOE的周长等于5,

；.AE+OE=4,

AD+AB=2（AE+0E）=2xA=8,

...OABCD的周长=2（力〃+力5）=2x8=16.

故答案为16.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键.

3

16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为二乃，则半圆的半径OA的长为

2

【答案】3.

【分析】

3万

如图，连接OCQD,CD,证明CD//AB,再证明S扇形=S阴影=—,从而可以列方程求解半径.

【详解】解：如图，连接

点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，

ZAOC=ZCOD=ZDOB=60°,

OC=OD,

.工CO。为等边三角形，

ZOCZ）=60°,

NAOC=4DCO,

：.CD//AB,

・q-v

•,uCOD-°BCD，

.c=q=网

-O扇形OC£>_O阴影2'

2

60〃•OA_3兀

一~360--T9

解得：。4=3,(负根舍去),

故答案为：3.

【点睛】本题考查的圆的基本性质，弧，弦，圆心角之间的关系，平行线的判定与性质，扇形面积的计算，掌握以

上知识是解题的关键.

17.如图，矩形OABC的面积为3,对角线OB与双曲线y=2(^>0,x>0)相交于点D,且。8:0£>=5：3,贝IJk的

X

值为^.

27

【答案】行

【分析】

过D作DML0A于M,DNJ_OC于N,设D的坐标是(x,y),根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理求出

33

DM=-AB,DN=^BC,代入矩形的面积即可求出答案.

【详解】过D作DM_LOA于M,DN1OCTN,

设D的坐标是(x,y),

则DM=y,DN=x,

VOB：OD=5：3,四边形OABC是矩形,

AZBAO=90o,

VDM±OA,

:.DM〃BA,

AAODM^AOBA,

.DMOP3

3

ADM=-AB,

3

同理DN=yBC,

・・•四边形OABC的面积为3,

AABXBC=3,

33〃927

ADMXDN=xy=-ABx-BC=—X3=—,

552525

BPk=xy=——.

故答案为：生.

【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行线分线段成比例定理，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点的

33

理解和掌握，能推出DM二1AB和DN二一BC是解此题的关键.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

卷考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

x-22x-1

18.解方程：x---------=1------------

23

・2

【答案】

【分析】

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1,依此即可求解.

【详解】解：九一Y-=2二1一2三x—」1

23

6x-3（x-2）=6-2（2x-l）

6x-3x+6=6-4x+2

6x—3x+4x—6—6+2

7x=2

2

x=­

7

【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化

为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转

化.

19.化简求值：（2x+3）（2x-3）—（x+2>+4（x+3）,其中x=0

【答案】3X2-1.5

【分析】

利用平方差公式，完全平方公式和去括号的法则对原式进行展开化简，然后将x=后代入求值即可.

【详解】原式=（4/一9）一（/+4元+4）+4》+12

=4X2-9-X2-4X-4+4X+12

=3X2-1

将》=夜代入得原式=3X2-1=5.

【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式和去括号，掌握运算法则是解题关键.

20.如图，AABC是一块锐角三角形的材料，边8c=120〃"”，高AO=80/w〃，要把它加工成正方形零件，使正方形

的一边在BC上，其余两个顶点分别在A8、AC上，这个正方形零件的边长是多少如〃.

【分析】

设正方形的边长为x,表示出4/的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即

可得解.

【详解】设正方形的边长为工〃加，

则A/=AO-x=80-x,

•.•EF//G是正方形，

J.EF//GH,

：./\AEF^/\ABC,

•EFA/

''~BC~~AD'

x80-%

n即n一=-----,

12080

解得x=48mm,

这个正方形零件的边长是48卯〃.

【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

21.某校团委在“五・四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评

比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，

(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为

(2)补全条形统计图；

(3)第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽

取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率.

【答案】⑴24；150。⑵见解析(3)二13

【分析】

(1)根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求

出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；

(2)根据C班的作品数量即可补全统计图；

(3)根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解.

【详解】(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品为6・25%=24套，

；.C班的作品数量为24-4-6-4=10套，

故C班的扇形的圆心角的度数为150°

故答案为24；150°；

(2)：C班的作品数量为1()套,

故补全条形统计图如下：

(3)依题意可得到树状图：

开始

AB】共幺GD

小小小小小小

B：B2C,C:DAB2C,&DAB,C,C,DAB,B:C:DAB,B,C,DAB,B2C,C;

：.P(抽取的作品在两个不同班级)=—=—,

3015

【点睛】本题考查了统计调查与概率的求解，解题的关键是熟知利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n.

再从中选出符合事件A或B的结果数目m.然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

22.如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分N84C交半圆于点D,过点D作。“J_AC与AC

的延长线交于点H.

(1)求证：DH是半圆的切线；

(2)若DH=26sinABAC=—,求半圆的直径.

3

【答案】(1)见详解；⑵12

【分析】

(1)连接0D,先证明OD〃AH,然后根据DHJ_AH,可得ODLDH,即可证明；

(2)过点O作OELAH于E,由(1)知，四边形ODHE是矩形，可得OE=DH=2岔,

在Rt^AOE中，根据sin/BAC=@,sinZBAC=—,可得AO=———=2亚乂2

二6,即可求出直径.

3OAsinZBACv5

【详解】(1)连接OD,

VOA=OD,

.\ZOAD=ZODA,

TAD平分NBAC,

・•・ZCAD=ZOAD,

ZCAD=ZODA,

AOD/7AH,

•:DH±AH,

・・・OD_LDH,

・・・DH是半圆的切线；

(2)过点。作OE_LAH于E,由(1)知，四边形ODHE矩形,

.,.OE=DH=2V5,

在RtAAOE中,

0E

VsinZBAC=—sinZBAC=-----,

30A

0E厂3

/.AO=---------------=2>/5X~j==6,

sinZBACV5

.\AB=2OA=12,

.•.半圆的直径长为12.

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，矩形的性质和判定，解直角三角形，灵活运用所学知识点

是解题关键.

2x<3(x-3)+l

23.关于x的不等式组,3X+2有四个整数解，则a的取值范围是——.

------->x+a

I4

【答案】

42

【分析】

解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a的范围.

2x<3（x-3）+1①

【详解】3X+2

>x+a②

4

解不等式①得，x>8；

解不等式②得，x<2-4a；

不等式组的解集为8<x<2-4a.

•••不等式组有4个整数解，

；.12<2-4aW13,

115

••---Wa<一-

42

24.如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一点，且EB=3,F是BC上一动点，若将AEB/7沿EF对折

后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为.

【答案】10.

【分析】

如图1,连接E2PQ,利用三角形三边之间的关系得到最短时P的位置，如图2利用勾股定理计算ED,从而

可得答案.

【详解】解：如图1,连接ERPD,

则£?+叨＞ED,

石尸=8£=3为定值，

•••当P落在上时，PD最短,

图1

如图2,连接ED,

由勾股定理得：ED=\lAE2+AD2=13,

：.PD=ED-PE=13-3=1O.

即产。的最小值为：10.

故答案为：10.

图2

【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用‘掌握以上

知识是解题的关键.

25.如图，点P、Q分别是等边AABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、

点B出发.

（1）如图1,连接AQ、CP求证：AABQS\CAP

（2）如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M,NQMC的大小是否变化？若变化，

请说明理由；若不变，求出它的度数

（3）如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M,NQMC的大小是否变化？若变

化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）不变；60°；（3）不变；120。.

【分析】

（1）根据点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，可得BQ=AP,结合等边三角形的性质证全等即可；

（2）由（1）中全等可得/CPA=NAQB,再由三角形内角和定理即可求得NAMP的度数，再根据对顶角相等可得

NQMC的度数；

（3）先证出△C8Q三/XACQ,可得/Q=/P,再由对顶角相等，进而得出/QMC=NCBP=120。.

【详解】解：（1）证明：•••三角形ABC为等边三角形，

；.AB=AC,ZABC=ZCAB=60°,

：点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发，

；.BQ=AP,

在AABQ与4CAB中，

AB=AC

<ZABC=乙CAB

BQ=AP

：.MBQ^ACAP（SAS）.

（2）角度不变，60°,理由如下：

\ABQsAC4P

AZCPA=ZAQB,

在△AMP中，

ZAMP=180°-(ZMAP+ZCPA)=180°-(ZMAP+ZAQB)=ZABC=60°,

；./QMC=NAMP=60°,

故/QMC的度数不变，度数为60。.

(3)角度不变，120。，理由如下：

当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，

有AP=BQ,；.BP=CQ

ZABC=ZBCA=60°,

.,.ZCBP=ZACQ=120°,

BC^AC

<ZCfiP=ZACQ

BP=CQ

：./\CBP^/\ACQ(SAS)

：.ZQ=ZP,

VZQCM=ZBCP,

.,.ZQMC=ZCBP=120°,

故/QMC的度数不变，度数为120。.

【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，灵活运用等边三角形的性质

证全等是解题的关键.

X

k

(2)若反比例函数y=乙(A>0,x>0)的图象与直线/在第一象限内相交于点A(%，x)、3(々,当)，当为一花=3时,

X

k

求k的值并根据图象写出此时关的不等式-x+5<-的解集

x

25

【答案】(1)0<A:<—；(2)Z=4；0<x<l或x>4；

4

【分析】

(1)根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0,可得答案；

(2)根据韦达定理，可得方程两根的关系，结合々-芯=3,即可求出k的值；进而求出点A、B的横坐标，然后

根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集.

【详解】解：(1)・・・》=-1+5与丁=f(左>0/>0)的图像在第一象限内至少有一个交点，

x

k

・,•令-x+5=—,则―/+5%—攵=0,

X

AA=25-4x(-l)x(-A:)>0,

.”25.

4

25

・・.k的取值范围为

4

(2)由(1)得一f+5x—&=o,

x,+x2=5,x^x2=k,

22

(Xj-x2)=(芯+x2)-4x}•x2

•/x2-x1=3,

：.25-4)1=9,

・'・Z=4；

—%2+5x—4=0,

解得：玉=1,W=4,

・,•不等式—x+5<“的解集是：Ovxvl或%>4；

x

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，一次函数与不等式的关系.解题的关键

是熟练掌握反比例函数与一次函数的性质进行解题.

27.如图，。的半径为R,其内接锐角三角形ABC中，ZAsDB.NC所对的边分别是a、b、c

cihc

(1)求证：==---=2R

sinN4sinZBsinZC

(2)若NA=60,ZC=45.BC=473.利用(1)的结论求AB的长和sinNB的值

V2+V6

【答案】⑴详见解析;⑵AB=4VLsinN3=

4

【分析】

(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形，利用三角函数解出即可求证.

(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BDLAC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出sinNB.

【详解】(1)

如图所示，连接BO并延长交圆于Ai,连接AC,可得NBC4=90,NA=NA，根据三角函数可得

BCaa

sinZA=sinNA---二—厕=2R.

2R''sinNA

hr

同理可得二—=27?,------=2R.

sinZBsinZC

sinZAsinZBsinZC

(2)根据(1)的结论可得—^―=—^―,

sinZAsinZC

a=BC=46,sinNA=g,sinNC=等.将值代入得:

473_c

否=~^2-解得c=4&，即AB=472.

TT