工程数学试卷及答案

一、选择填空题

1.某数x的有四位有效数字且绝对误差限是0.5xl()T的近似值是(A)

(A)0.693(B)0.6930(C)0.06930(D)0.006930

2.〃次拉格朗日插值多项式的余项是(A)

(A)尺⑴=气*叫+G)⑻®(X)=T^4(X)(0(⑴=-T*(D)W=

(〃+l)!n\(n+1)!n!

3.求积公式］7。)公*/(一1)+〃1)具有(A)次代数精度

-1

(A)1(B)2(C)4(D)3

4.用牛顿法计算后(a>0),构造迭代公式时，下列方程不可用的是(A)

(A)f(x)=x-an=0(B)f(x)=x-y［a=0(C)f(x)=a-xn=0(D)f(x)=1--=0

xn

x00.511.522.5

5.由数据——-——-—_—所确定的插值多项式是次数不大于(D)的多项式.

y\-2-1.7-10.224.2

(A)二次(B)二次(C)四次(D)五次

6.在牛顿一柯特斯公式J：/。)必:*仍-。)£。/八刈中，当系数C7有负值时，公式的稳定性不能保证，所以实

i=O

际应用中，当〃(B)时的牛顿―柯特斯公式K使用。

(A)>10(B)>8(C)>6(D)>4

7.经过点4(0,l),B(l,2),C(2,3)的插值多项式P(x)=(B)

8.(A)x(B)x+1(C)2x+l(D)x2+1

9.给定向量元=(2,3,-4)。则国［M|2ML分别为(A)

(A)9,V29,4(B)9,V29,5(C)8.5,扬',4(D)8.5,扬\5

10.精确值X=36.85用四舍五入保留三位有效数字的近似数为36.9

1-1

ILA=，那么网卜—4.

4J

12.设P„(x)是Legendre多项式，则znW九时J12(九)匕(x)dx=0<

2

13.设/*)=/+2/+3/+4,求积公式「/(幻公力之4/(4)是高斯型的，则此求积公式的截断误差为心

ak=O

10^1-2X2-2X3=1

二、对于方程组彳-2$+10々一工3=0.5,试证用G-S迭代求解此方程组收敛.

-%1-x2+3X3=1

10-2-210>2+2

证明：对于系数矩阵-210-1因为：10>2+1,即它具有对角优势，所以：G-S迭代收敛.

-1-133>1+1

三、用简单迭代法求％3一^一1=0在［1,2］上的根，若迭代函数分别取为%(力=丁一1和%(力=扬布，问他们是

否收敛？若收敛求误差不超过0.0001的近似根。

解：迭代格式为％=父一1,0。)=3/在匚，2］上满足帆因此迭代发散：

11_2

而：e(x)=(x+l)3,e(x)=§(x+l)§,max|^'(x)|<0.21<1；

又当工£12］时，(^(X)G［1.26,1.44］,因此迭代格式=(z+1)5收敛，

取々=1.5,则有X］=1.35721、与2=1-33086.x,=1.32588.x4=1.32494、

毛=132476、/二132473、x7=1.32472,

X1925313844

四、用最小二乘法求形如y=〃+bx的经验公式,使它拟合下列数据：y1932.34973.397.8

i.V)'XV.VV

11919361361

22532.3625807.5

331499611519

13873.314442785.4

54497.819364303.2

解：列表计算正规方程:和157271.453279776.1

5。+157b=271.4\a=-44.864

正规方程:157。+53278=9776.1^1^=3.1575

所以，经验公式：y=-44.864+3.1575%.

五、用〃=8的复合梯形公式计式?dx,并估计误差，其中约定出竺在x=C的值为1。

x

X00.1250.250.3750.50.6250.750.8751

解：记f(x)=----,列表计算函数值:fM10.99740.98960.97670.95890.93620.90890.87720.8415

X

]I/R(7(1、

于是：\f(x)dx^=—7(0)4-2^/^+/(1)=0.9457

L\i=\7

六、已知：/(1)=0,/(-1)=-3,/{2)=4,求函数过这三点的二次插值多项式右(力。

(x+l)(x-2)(1)(7)(l)(x+l).

解:右(力=x0+x(-3)+

(1+1)0一2)(2-1)(2+1)623

一、选择填空题

1Ox]-x2+4X3=1

1.当（D）时，线性方程组-xl+7x2+3%=0的迭代法一定收敛。

2工]-5X2+ax3=-1

(A)a>l(B)a=6(C)时<6(D)时>7

2

2.数据拟合的直线方程为y=%+〃/,如果记、y=-Yyk，心已位'l=Yxkyk-rix,

nk=lnhlk=\Jt=l

那么常数%,4所满足的方程是（B）

r

na0+皿=]na0+xa1=yaQ+xa[=y

(A"⑻<xr(0I(D)

亍4+Q4=4,取+/xM4

aQ=y-ax

3.用高斯消去法解线性方程组，消元过程中要求（C）

(A)a..^0(B)a；?w0(C)喈=0(D)*)w0

4.如果对不超过m次的多项式，求积公式J：/a）必^之儿八七.）精确成立,

则该求积公式具有（A）次代数

jt=O

精度。

（A）至少m（B）m（C）不足m（D）多于m

5.求非线性方程f（x）=0的单根的牛顿迭代法具有（D）速度

（A）线性收敛（B）局部线性收敛（C）平方收敛（D）局部平方收敛

'223100223、

6.三角分解式A=477210b1中，。力的值分别是（C）

「245J1-1a006,

(A)2,6(B)6,2(C)2,3(D)-1,2

7.设小幻是区间［05上权函数以幻=%的正交多项式，则qa）=（A）

22

(A)x—(B)x4—(C)x+1(D)x-1

33

8.迭代法=。（乙）收敛的充分条件是（A）

(A)(x)|<1(B)(x)|>1(C)M<1(D)帆(x)|>1

9.设精确值x=256.356的近似值为256.36,此近似值有5位有效数字，其相对误差限为一xl（）7

~~4

1-1

10.A=，那么|乩=—5_

23

若复合梯形公式计算积分dr,要使截断误差不超过^xlOT,积分区间至少应分成75等分。

11.

12.求解初值问题y=/*,y）,y（xo）=%的梯形公式是2阶方法。

(21P

二、设：A=329求单位下三角矩阵L和上三角矩阵U,使得:A=LU.

J22>

211100211

531_53

解：-，故：L=10、U=0•

222222

332_33

100

,255.,255.

三、设有IC到999之间整数的平方根表，已知10vxv999,利用线性插值求正的近似值.试求绝对误差限并估计有

效数字的位数.(假设表上已给的函数值足够精确)

•2

解：设4^4,则：|&一。卜：_知2,

其中：=maxmax-----U=<7.9X10-3>h=l,

10<r<999侬方叫4X4X\

.2

故：-〃卜-^-M、=^-<9.9xl0-4

8

所以正有三位有效数字.

四、确定求积公式公x4f(0)+A/e)+A2/(2力)中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其

代数精度。

解：分别对=得：

4+A+A2=3〃A=0.75〃

AQ+A1+A2=3h

2

姐-2hA2=4.5/z=>•A+2A,=4.5〃n«A=0

223

hA}+4hA2=9hA+4A2=9/?A2=2.25/1

3*O11.4O17,4

对于/0)=/,卜3公=以生，而2.25人x(2%)3=20/w巴一。所以该求积公式具有2次代数精度。

o44

五、取步长h=0.2,用欧拉法求解初值问题J'二一)'一町'(0<x<0.6).

y(0)=1

解：建立迭代公式：

22

Ye=尤+的(%，先)=”+0.2(-yfl-xnyn)=O.Syn-0.2xnyn

由：y0=l,迭代计算得：y=0.78,y2=0.599664,%=0.450963.

六、观察直线运动，得到以下数据：

时间100.91.933.95

路程S010305080110

求运动方程s=a+/?r。

解：作计算表格：

编号123456求和

t00.91.933.9514.7

S010305080110280

r00.813.61915.212553.63

ts09571503125501078

.,6b+14.7。=280”22.2538

正规方程为：n

14.7b+53.63〃=1078b=-7.8550

运动方程为：5=22.2538/-7.8550.

一、填空题

1.用选主元方法解方程组依=6,是为了(B)

<A)提高运算速度(B)减少舍入误差(C)增加有效数字(D)方便计算

2.若复合梯形公式计算定积分。-，心，要求绝对误差05x107,试问〃之(A)

(A)41(B)42(C)43(D)40

3.已知函数y=f(x)的数据表丁则>=/(%)的拉格朗日插值基函数4(冗)=(A

6-90

x(x-2\x-l)(x-2)(x-5)(x-l)

-----------------------------

5(5-2)(5-1)(0-2)(0-5X0-1)

(c)-5X1)(I))x(x-2)(x-5)

2(2-5X2-1)l(l-2)(l-5)

4.已知在x=0,1处的函数值/(0),/(l),那么⑴b(B)

(A)/(0)-/(l)(B)/(l)-/(0)(C)/(O)(D)[/(l)+/(0)]/2

5.求解初值问题y=f(x9y),y(x0)=yQ的近似解的梯形公式是yn+1=(A)

hh

(A)+-[f(xn,yn)+f(xn+l,yn+i)](B)+不"(/,…y')]

(C)yn-[f{xn9yn)+/(x„+I,yw+1)](D)yn~^[f(xn,yn)+f(xn+l,yn)]

6.对任意初始向量工⑼及常向量g,迭代法？*+"二所(幻+g收敛的充分必要条件是(C)。

(A)网1(I(B)忸1<1(C)p(B)<l(D)<1

7.为使两点数值求积公式二/(外公+/(再)具有最高阶代数精度，则求积结点应为(D)

V3V373

(A)任意(B)XQ=-1,X|=1(C)x(,=—~,X1=.3'(D)

8.下列求积公式中用到外推技术的是(C)

(A)梯形公式(B)复合梯形公式(C)龙贝格公式(D)高斯型公式

9.用二分法求/+/一4=0在区间[1,3]内的近似根，要求精确到10上至少要二分/次。

10.迭代格式+1收敛于/=%，此迭代收敛的阶数为，o

3'X：

,那么cond^(A)=_6.

12.要使求积公式+具有2次代数精度，则修=：一，A=_1

3%-％+4占=7

二、用主元素消去法解线性方程组:

-Xj+2x,-2X3=-1.

2X1-3x?-2xy-0

解：增广矩阵

3-1473-147

3-147"

八5—24-7-14-14

A-12-2-1->->0—————

333333

2-3-20

n-7-14-14。2心9

333333

3-147

Xj=2

-7-14-14

0x=1

->T——=>2

1

0o-4-2

jrTT

三、给出f<x)=cosx.XG[0,―]的一张等距步长分布的函数表，并按线性插值计算任何XG[0,—]cosx的值。问步长

22

取多大才能保证其截断误差绝对不超过'xlOT?.

2

解：对Dxw[O,]],必有某个匹使毛VxW毛+[,令〃=毛+]一项，

则：\R(x)\=J，(x-x,)(x-x/+1),

.2

又|/w|=|cosXV1,黑？\(x-x,.Xx-x/+1)|^—

=>max|/?(x)|<-h2<—xlO-4=>h<2xl0-2.

四、确定求积公式公=4J(—/0+AJ(0)+AJ(〃)中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定

其代数精度。

分别对/*)=1,乂/，得：

h

4=

4+A=2hA_J+4+4=2h3

A

-hA_+3=0n«41-A=0n•A)=-hf

3

3A-i+4=>

h2A_+力2A=|A_h

1A—

3

而且该求积公式具有3次代数精度。

五、取步长h=0.2,用梯形法求解初值问题=8-3丁NV2),小数点后至少保留5位。

[刈=2

建立梯形公式:L+如区，以)+/L)]

02

=丁川=%+学【8-3”+8-3yn+]]

716

由%=2,迭代计算得:

必=2.30769,%=2.47337,%=2.56258，儿=2.16062,»=2.63649.

六、设有数据如下，试求形如：y=〃+的经验公式;

X-0.4-0.200.20.4

y0.7745970.89442711.0954451.183216

解：列表计算:

0

Xy厂孙

-0.40.7745970.16-0.30984

-0.20.8944270.04-0.17889

0100

0.21.0954450.040.219089

0.41.1832160.160.473286

04.9476850.40.203651

5a+0b=4.947685(a=0.989537

法方程:0a+0.4力=0.2036511b=0.509128

所以经验方程为：y=0.989537+0.509128A->

一、选择填空题

1.已知n对观测数据(4,%),%=1,2,..”〃。这n个点的拟合直线＞=。04+6，。。，力是使(D)最小的解。

⑴WK-yM⑻工(以-。0-4与)

k=\k=\

〃n

©^(”一为一卬山(D)Z(九一劭八一卬儿

hlk=l

2.若复合辛普生公式计算定积分右，要求绝对误差不超过0.5xl()7,试问〃N(B)

o

(A)1(B)2(C)3(D)4

3.设P(x)是在区间用上的y=/(x)的分段线性插值函数，以下条件中不是P(x)必须满足的条件是(C)

(A)P(x)在[。,切上连续(B)P(xk)=yk

(C)P(x)在出,加上可导(D)P(x)在各子区间上是线性函数

4.二分法求f(x)=0在[a,句内的根，二分次数n(B)

(A)只与根的所在区间以及误差限有关(B)只与函数/(%)有关

(C)与根的所在区间、误差限及函数/(%)有关(D)只与误差限有关

5.改进的欧拉公式的校正值是券X="+?[/(/〃,％)+〃％+”())]

(A)月川⑻y”(C)yk(D)ya+i

6.若线性方程组=6的系数矩阵A严格对角占优，则雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法(A)

(A)都收敛(B)雅可比迭代法收敛而高斯一赛镌尔迭代法发散

(C)都发散(D)雅可比迭代法发散而高斯一赛德尔迭代法收敛。

7.设X*是精确值x的近似值，则x-x*称为近似值X*的(D)

(A)相对误差(B)相对误差限(C)绝对误差限(D)绝对误差

8.当〃为奇数时，牛顿―柯特斯求积公式/”=3-。)£。*/(巧)的代数精度至少为(B)

»=0

(A)(B)n(C)n+\(D)〃+2

2

9.夕(x)=/+0,一5)要使s+[=以/)局部收敛到x*=逐，a的取值范围是__。

10.元二(3,0,-4,12『那么同r19.

11.A=$]，那么co〃4(A)=_6__

12.5个节点的高斯一勒让德求积公式的代数精度为__9

>A

481O)o

r4「16148

16

4-1106

除5Tn44=L=-1OU-4

89

-9640-6

1109

I22J-33

-42-1

2一-

227

ZJ

100

，-4：1-4、

0y=3ny=4

U0,I®

j__3

1

2~2

2、

「1648、34

Ux=04-6x=4=>x=4

1°092

三、求多项式产(力使:P(%)=0,i=0,2,尸(%)=〃与)，P(%)=r(x).

解：可设：P(X)=(X-XO)(X-X2)(«(%-%1)+/?),

,

则：P(x)=a(x-^)(x-x2)+(2x-x0-x2)(n(x-^l)+Z?)

于是：「&）=》&一%）（与一天）=/&），

尸（西）=。（大F乂5-动+岭大一事一起人人）

所以:

(xI-x0)(x1-x2)

/'(%)⑸一%-%2)/(X)

22

(X-%)(%一马)(x,-^)(x,-x2)

从而：P（x）=（%-%,）（为一）+/?）.

四、确定求积公式£j（幻公*g[/（—l）+2/（再）+3/（々）]中的待定参数，使其具有尽可能高的代数精度，并确定其

代数精度。

解：由于/（x）=l时，参数不出现，所以令/。）=%,丁，则有：

_l+>/6_l-x/6

卜1+2玉+3”0%==一%=二

1+2汇+3毛=23-2V63+2瓜

X、=-----x=-------

■152152

而且所得到的求积公式具有2次代数精度。

五、取步长h=0.1,用改进欧拉法求解初值问题

'12

y=x+x-'(()«

x<0.5)，

y(0)=0

解：建立改进欧拉的迭代公式:

22

="+0.05才3+4-笫)+K2+怎+1-(券+0.1®+/—))]

2

=券+0.05x(1.9x„+2Axn-\.9yn+0.11)；〃=0,1,2,3,4

迭代计算如下:

尤

0.10.00550

0.20.02193

0.30.05015

0.40.09094

0.50.14500

六、用最小二乘原理求一个形如y=的经验公式，使与数据

X1234

y60302015

相拟合

解：令：u=\ny=\nA+Bx=a-^-bxt计算表:

i1234和

xi123410

M60302015125

ui4.0943453.4011972.9957322.7080513.19932

x；1491630

xiui4.0943456.8023958.98719710.832230.71614

4。+10〃=13.19932(a=4.4409

正规方程:1()。+30b=30.71614nM=-0.4564

A=ea=84.6528,经验方程：=84.8528^4564t

一、选择填空题

3须-x2+4X3=1

1.用列主元消去法解方程组«-3+2%-9/=。第一次消元，选择主元(C)

-4再-3X2+A3=-1

(A)3(B)4(C)-4(D)-9

2.用二分法求方程/(x)=0在区间［。,包内的根x〃，若误差限£,则二分次数n应使(C).

(K)b-a<£(B)|/(x)|<£(C)\x^-xn\<£(D)<b-a

3.用最小二乘法求数据(/,”)(Z=l,2,…川的拟合直线，拟合直线的两个参数/)，%使得(B)为最小，其中

(A)£("一式(B)£(以一九尸(C)£(九一况)(D)'(”一个2

4.对于方程12—%—1.25=0,改写为x=Jx+1.25,建立迭代公式求根，取初值与=1,则演=(C)

(A)1(B)1.25(C)1.5(D)2

5.四阶经典龙格一库塔法的计算公式是先+1=(B)

h

(B)笫+h,因+2降+2勺+储]

(A)yn+-[K^K.+K.+K4]

o6

(C)+勺+2K,+2弓+2卬h

(D)/+工[2乂+长+弓+2卬

66

6.可逆矩阵A的条件数co〃d(A)(B)

(A)>1(B)>1(C)<1(D)<1

7.下面(D)不是数值计算应注意的问题

(A)注意简化计算步骤，减少运算次数(B)要避免相近两数相减

(C)要防匚大数吃掉小数(D)要使误差消失

8.下列说法错误的是(A)

(A)非奇异矩阵必有LU分解(B)正定矩阵必有LU分解

(C)如果对称矩阵的各阶顺序主子式不等于零，则必有LU分解

(D)非奇异矩阵未必有LU分解。

9.求方程f-21+1=0的根的牛顿迭代格式为—=±5二

10.x=(3,0-4,12)r,那么问卜」________

F12

11.已知方程组,那么此方程组的Jacobi迭代法的迭代公式

0.321

茶叫=一2看)+4

%，叫=-0.32xf)+b2

12.求积公式ff(x)dx«-/(-)+-/(I)的代数精度为」_o

Jo434

1OXj+3X2=24

二、用Jacobi方法解方程组＜3%+10%-七=30,取元(°)=(1,1,1),迭代四次.

一X2+10%3=—24

’1030、

解：因为A=310-1严格对角占优，所以雅可比迭代收敛。

zte

铲=2.4-0.3x*

建立雅可比迭代格式：，铲)=3-0.3咪)+0.14),

云川)=-2.4+0.1元*

取：x(0)=(1,1,1),迭代计算如下：

k1234

煨2.11.561.7761.704

靖2.82.082.3202.276

斓-2.3-2.12-1.912-2.168

所以：x«|-2.3-2.12-1.912-2.168)7

三、求一个四次插值多项式H(x),使x=0时，H(0)=-l,〃〃(0)=-2而上=1时，"(1)=0,"'(1)=10

“"(1)=40.

解：设“(x)=(x-D(ar3+加2+5+d)

则：//,(x)=ar3+Z?x2+c¥+J+(x-l)(3ar2+2Z?x+c)

=4/+3(Z?-<7)x2+2(c-Z?)x+(6/-c)

//ff(xj=12ot2+6(b-d)x-\-2[c-b)

—d=—ld=\a=4

2(c-Z?)=-2b-c=\b=3

于是：=>«=><

a+b+c+d=10a^-b+c+d=10c=2

12〃+6(b-a)+2(c-A)=40