人教A版（2019）选择性必修第一册新高考名师导学第一章14空间向量的应用

人教A版（2019）选择性必修第一册新高考名师导学第一章

1.4空间向量的应用

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“①，错误的打“X”

（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（）

（2）若9是直线/的方向向量，则刖QeR）也是直线/的方向向量；（）

（3）在空间直角坐标系中，，=（0,0,1）是坐标平面。孙的一个法向量.（）

【答案】qxY

【分析】

根据零向量的方向不确定可判断（1）,由；1=0可判断（2）,由/_L平面。肛可判断（3）.

【详解】

（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确；

（2）当4=0时，刖=。，所以4E（4eR）不一定是直线/的方向向量，不正确；

（3）在空间宜角坐标系中，7=（0,0,1）,■平面0孙，所以7=（0,0,1）是坐标平面0孙

的一个法向量，正确.

2.在棱长为1的正方体A8CO-A8CA中，点A到平面80的距离等于；

直线DC到平面的距离等于；平面到平面C勺的距离等于.

【答案】111

【分析】

根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得；

【详解】

解:在棱长为1的正方体ABCD-AACa中，A3L面片C,所以|相|即为点A到平面BC

的距离，故点A到平面8c的距离为1,因为。C7/4B,ABl面与4,QCa面所

以0c〃面用4，所以|AQ|即为直线OC到平面A片的距离，故直线DC到平面A片的距

离为1,又平面OA〃平面CK，所以平面OA到平面C4的距离为1

故答案为：1,1,1

二、解答题

3.在平行六面体ABC。-ABC.中，福=人而=6,羽=3,。是与4。的交

点.以竹石,可为空间的一个基底，求直线。4的一个方向向量.

【答案】-\a-\b-\c

【分析】

依题意就是用加，瓦可表示丽，根据空间向量的线性运算法则计算可得：

【详解】

解：因为通=d，AD=b,A4,*=c,如图/=砺+丽=g方出+而

=；（职+而+画+丽

因为AA=-^^^二一坂，AiA=-AA）=-c,

所以OA=g（多-c+a）-=-^a-^b-^c

4.在长方体ABC。-A4GR中，A3=4,BC=3,CC}=2.以。为原点，以

七万I；反［函］为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系0町％求平面

试卷第2页，共35页

AC"的一个法向量.

【答案】（436）（答案不唯一）

【分析】

求得衣，宿坐标，设出法向量，根据［疣,竺即可求解.

m-ADi=0

【详解】

由题可得C（。,4,0）,4（3,0,0）,"（0,0,2）,

则/=（-3,4,0）西=（-3,0,21,

设平面AC"的一个法向量为沅=（x,y,z）,

inAC=-3x+4y=0

贝।卜令x=4,得y=3,z=6,

n'i-Al\--v+?.--()

则平面ACDt的一个法向量为（4,3,6）.

5.用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一

条直线平行，则该直线与此平面平行.

【答案】证明见解析

【分析】

先写出已知求证，再利用向量的数量积运算以及线面平行的定义即可证出.

【详解】

已知：直线平面a,aaa,bua,a//b.

求证：alia.

证明：设直线a,8的方向向量分别为此炉，平面。的一个法向量为元，

因为a/〃＞，所以q=4万，由于斤_1_炉，所以无D=O,UPWnu=A/7v=0,亦即方_LR.

因为aua,所以a//a.

6.如图，在四面体ABCO中,E是BC的中点.直线AD上是否存在点F,使得AE//CF?

【答案】不存在，证明见解析.

【分析】

把向量亚和方都用同一组基底来表示，然后根据向量平行的条件来证明不存在.

【详解】

假设直线AD上存在点F使AE〃。孔设通=4通(04/1),而=£,蔗=反而=2,

—11-.1-I-

因为E是AC的中点，所以=+

CF=AF-AC=AAD-AC=Ac-b>若AE//CF，则通=川丽，

8|J—a+—b=m(Zc-b\,IU+—b=mXc-nib,B|J—fl+|—+/nb-mXc—6,

221，222(2J

-=0

2

所以，(+机=0,此时显然不成立，所以不存在点尸，使得AE//3.

tnk=0

7.如图，在正方体ABCO-A8|C|A中，E,尸分别是面AB一面AG的中心.求证：EF//

【分析】

以。为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACR的一个法向量，利用向量关系即可证

试卷第4页，共35页

明.

【详解】

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,

则A(2,0,0),C(0,2,0)，A(0,0,2),E(2,l,l)/(l,l,2),

则AC=(-2,2,0),=(-2,0,2),EF=(-l,0,l),

设平面ACD、的一个法向量为G=(x,y,z),

,n-AC=0[-2x+2y=0.7日一/、

则—z即、二八，令X=l,则可得〃=(1,U,

v7

il-AD]=0[-2x+2z=0

,/EF•〃=0，/.EF±n，

,・•£7?<2平面人。。，」.£77〃平面人。。|.

8.已知行=(3,。+瓦a-b)3,bwR)是直线/的方向向量，万=(1,2,3)是平面a的法向量.

(1)若///a,求a,5的关系式；

(2)若/_La,求a,力的值.

153

【答案】(1)5。一力+3=0；(2)a=-,b=--.

22

【分析】

(1)由/〃a得五_L万，所以"•元=0,进而可得结果；

(2)由/_1。得五//"，所以?=字=¥，进而解得a,b.

123

【详解】

(1)由〃/a得i7_L万，所以小万=0,即3xl+(a+b)x2+(a-b)x3=。，整理得

5a-力+3=0；

(2)由/_La得〃//”，所以解得。=与，力二一

9.已知正方体的棱长为1,以O为原点，｛丽，反，四｝为单位正交基

底建立空间直角坐标系.求证：A.CLBQ.

【答案】证明见解析

【分析】

用基底表示出向量而，耳证明本•属*=0.

【详解】

由题意，A^C=DC-DA^=DC-DA-DD^.

BQ=DC^-DB=DD^-DA,

所以石西=反函一函•丽一函?一丽觉+次?+丽西=0

所以AC_L8C1.

10.如图，在长方体48co-中，48=2,BC=CC,=1,E是CD的中点，F

是〃。的中点.求证：平面EADJ平面打R.

【答案】证明见解析

【分析】

建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可;

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，则E(OJO),A(l,0,0),D,(0,0,1),"

Ag=(-1,1,0),,前=gl，°)，设面时的法向量为$=(Qz),则

n-AE=0[-x+y=0

-,uprl<n令x=l,则y=z=l所以3=(1J1)；

nEDx=0\-y+z=0

试卷第6页，共35页

tn-EF=O—X+y=0,

设面EFD,的法向量为加=（乂y,z）,则---,即Mn，2，令x=2,贝ijy=z=-l

inED,=0

一y+z=0

所以£=(2,T,T)；

因为方•云=2x1+1x(-1)+1x(-1)=0,所以日J.而

所以平面EAD.1平面EFD,.

11.如图，在棱长为1的正方体ABC。-ABGA中，£为线段。A的中点，尸为线段

的中点.

（1）求点4到直线用£的距离：

（2）求直线"G到直线AE的距离；

（3）求点儿到平面A&E的距离；

（4）求直线到平面4BE的距离.

【答案】（1）2^；（2）；（3）之（4）

3'35°33

【分析】

BE

（1）建立坐标系，求出向量福在单位向量"苦;上的投影，结合勾股定理可得点

IMEI

A到直线4月的距离;

（2）先证明AE〃尸C，再转化为点尸到直线AE的距离求解；

（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；

（4）把直线FG到平面A8Z的距离转化为G到平面的距离，利用法向量进行求

解.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（i,01）,4（1,11）,E（O,O,；）,RI,I,；），G（OJI）,41,0,0）.

(1)

_inp221-

因为8|E=（-1,-1,一弓）,〃=^^=（一个一三,一可），48]=（0,1,0）,

2|B}E\333

-------2

所以A4・〃=-§.

所以点A到直线用E的距离为J而_（宿小==专

（2）因为通=（-1,0,；）西=（-1,0,；）,所以荏〃咐即4E/"G，

所以点F到直线AE的距离即为直线FC、到直线AE的距离.

AE=（-竽,。净，而=（呜）.

u=__.

\AE\

所以直线FC,到直线AE的距离为

（3）设平面A4E的一个法向量为7=（x,y,z）,

试卷第8页，共35页

—.—.1____

ABt=(0,l,l),A£=(-l,0,-),A4,=(0,0,1).

n.ABy=y+z=0,

由，一1

n-AE=—x+—z=0,

2

令z=2,则y=-2,x=l,即万=(1,一2,2).

设点A到平面AB.E的距离为d.

M22

则［二^^二彳，即点A到平面的距离为;.

H33

(4)因为A£〃尸C，所以“；〃平面A&E,

所以直线FC到平面AB.E的距离等于G到平面48g的距离.

函=(1,0,0),由(3)得平面AB|E的一个法向量为片=(1,一2,2),

G

所以C1到平面A与E的距离为Jzr」=

川晨

所以直线FC、到平面AB.E的距离为g.

12.如图，在棱长为1的正方体A8CQ-A&CQ中，求平面与平面的距离.

【答案」

【分析】

\DC-n\

建立空间直角坐标系，计算平面4。8的法向量为耳再由d=L_^可得解.

同

【详解】

如图所示建立空间直角坐标系，

A(1,0,1),8(1,1,0),£)(0,0,0),C(0,l,0),

函=。,0,1),丽=(1,1,0),觉=。1,0)

设平面AO8的法向量为＞i=*,y,z),

则小竺—x+z-：,不妨令3=1,则=

n-DB=x+y=0

所以元=(1,7,7),

所以平面ADB与平面0cq间的距离d=此=4==—

同63

13.如图，正三棱柱ABC-48£的所有棱长都为2,求平面八48与平面A/G夹角的

余弦值.

【答案】昱

7

【分析】

建立空间直角坐标系，求解平面44乃与平面A8G的法向量，利用法向量求解夹角的余

弦值.

【详解】

试卷第10页，共35页

因为正三棱柱ABC-A与G的所有梭长均为2,取8c的中点O,^,AOLBC

所以AO_L平面BBCC.

取国G的中点“，所以AO,BO,。”两两垂直，以O为原点，建立如图所示的空间直角

坐标系.

则4(0,0,75),5(1,0,0),4(0,2,6),G(-1,2,0),

所以通=（1,0,《）,丽=（0,2,0）,居=（々2,0）,弱=（-1,2石）.

n}-AB=X]-Gz]=0,

设平面A41B的一个法向量为％=(X),yZj)»则，

pw,•AAj=2y=0,

令马=1得1=（百,0,1）.

同理可得平面ABG的一个法向量为后=(亚亚-1).

_2=币

cos〈四,丐〉=

|）||项2x777

设平面AA]B与平面ABC1夹角为夕，易知。为锐角,则cos。=|85〈/,〃2〉|=,

即平面AA.B与平面说夹角的余弦值为斗.

14.如图，AABC和△DBC所在平面垂直，且AB=5C=5。，NC84=ND8C=12()。.求:

(1)直线AO与直线3C所成角的大小；

(2)直线AO与平面BCD所成角的大小;

(3)平面480和平面HOC的夹角的余弦值.

【答案】(1)90°(2)45°(3)9

【分析】

(1)作A0_L3C于点0,连DO,以点。为原点，OD,OC,OA的方向分别为x轴、

y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；

(2)显然平面BCO的一个法向量为1=(0,0,1),利用空间向量法求出线面角；

UID

(3)求出平面CBZ)的一个法向量为/以及平面A4O的一个法向最为处,求出两法

向量的余弦值的绝对值即为平面A8D和平面BDC的夹角的余弦值.

【详解】

解：设AB=1,作AO_L8C于点O,连OO,以点。为原点，OD,OC,0A的方向分

别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标：

0(0,0,0),Dr,0,0

,配=(0,1,0)

AD-BC=冬0,一号<0,1,0)=0,所以AD与BC所成角等于90。.

显然)=(0,0,1)为平面BCD的一个法向量

=也

・•・，直线AD与平面BCO所成角的大小45。

.IJ3

(3)设平面48。的法向量为%=(x,y,z)则43:0,-,--j

X✓

一_直”0

所以也,黑=\即卜2,令Z=l,则x=l,y=G

——x------z=0

22

则E=(l,百,1)

试卷第12页，共35页

1-=在

设平面ABD和平面BOC的夹角为氏则|cose|=

|雇|x局lx小5

15.如图，二面角a-/-6的棱上有两个点A,B,线段30与AC分别在这个二面角

的两个面内，并且都垂直于棱/,若A3=4,AC=6tBD=8,CD=2/，求平面a

与平面/的夹角.

【答案】y

【分析】

利用向量求解，Cb=CA+AB^BDr两边平方可求平面。与平面少的夹角.

【详解】

设平面。与平面£的夹角为氏

由亚=巨+而+而可得

CD2=(C4+AB+BOV=C42+AB2+BD2+2C4MB+2ABBD+2G4BD

36+16+64+2|CA||5D|COS(C4,5D)

116-96cos^

所以8s6=g,即平面。与平面尸的夹角为

16.如图，在三棱锥A—8C。中，AB=AC=BD=CD=3tAD=BC=2fMfN分别

是A。，6c的中点.求异面直线AN,CM所成角的余弦值.

【分析】

连结NO,取NO的中点E,连结ME,推导出异面直线AN,CM所成角就是NEMC,

利用余弦定理解三角形，能求出结果.

【详解】

连结NO,取NO的中点E,连结ME,

则ME〃4V,「./EMC是异面直线AN,CM所成的角,

-,-AN=2y/2,:.ME=y/2=EN.MC=2应，

又YENLNC,:.EC=qEN、NC2=5

““EM2+MC2-EC22+8-37

cos4EMC=---------------------=------j=-----7==—,

2EMxMC2x&x2及8

7

••・异面直线AN,CM所成的角的余弦值为:.

O

17.如图，在三棱锥。-ABC中，04,OB,0C两两垂直，OA=OC=3fOB=2.求

直线0B与平面A3c所成角的正弦值.

试卷第14页，共35页

A

【答案】MZ

17

【分析】

构建以。为原点，丽，无，砺为x、y、z轴的正方向的空间直角坐标系，写出而、AC.

丽的坐标，进而求面ABC的法向量加，根据直线方向向量与平面法向量夹角与线面角

的关系，结合空间向量夹角的坐标表示即可求直线0B与平面ABC所成角的正弦值.

【详解】

构建以。为原点，砺，正，而为X、＞、z轴的正方向的空间直角坐标系，如下图示，

x

.••A(0,0,3),5(2,0,0),C(0,3,0),则通=(2.0.-3),AC=(0.3.-3),砺=(2,0,0),

一[AB-m=2x-3z=0—3

若机=(4,y,z)是平面ABC的一个法向量，则<-----，令丁=1,则机=(不1/),

[ACm=3j-3z=02

—OBm33V17

...Icos<>1=1两而1=,故直线OB与平面ABC所成角的正弦值

2x------

2

船叵.

17

18.如图，在三棱锥A-8CO中,后是。。的中点，点尸在4E上，且即=2E4.设而=4,

BD=b,BA=c，求直线AE,8户的方向向量.

A

【答案】直线AE的方向向量荏=上93,直线B尸的方向向量而=”红曳.

26

【分析】

由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得亚、而，即可求理,

再由砂=2E4知/=空，即可求游.

3

【详解】

在48A0中，丽=5,BA=cf则而=而一丽二另一入

在△5AC中，BC=a，BA=c＞则蔗=前-丽=£-入

•・•在△D4C中，E是CO的中点，

AE=AD+AC=a+^-2c,而印=2用，即而=空="+"一2°,

2236

・••在ABAF中，而=丽+而=2+"+"-2。一+8+4c

66

・・・直线AE,的方向向量分别为而="+b-2c、旃=竺竺竺

26

19.如图，在直三棱柱ABC-A中，ABlACfAB=AC=\tAAi=2,以A为原

点，建立如图所示空间直角坐标系.

(1)求平面8CC园的一个法向量；

(2)求平面A/C的一个法向量.

【答案】⑴7=(1,1,0)；⑵正=(2,2,1).

【分析】

试卷第16页，共35页

(1)求出平面内的两个向量BC=(-1JO),8旦=(0,0,2),然后利用法向量与这两个向量

的数量积都为0来求法向量；

UUU_____.、

⑵求出平面内的两个向量BC=(-1JO),=(-1,0,2),然后利用法向量与这两个向

量的数量积都为0来求法向量.

【详解】

易知80,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2),A(0,0,2).

UUUUUlf

(l)BC=(-l,L0),BB,=(0,0,2),

设面BCC用的法向量为G=a，%zj,则广馨U,

n-=0

-x+y.=0-

即〈二。，取,则〃=(z1」,。),

所以平面BCC石的一个法向量为G=(l,1,0)；

IHM1-------,、

⑵BC=(-1,1,0),BA,=(-1,0,2),

w-5C=0

设面ABC的法向量为“=(马,为，22)，则，

所再=0'

-x,+y=0.一,、

即《"o9"八，取"2=必=272=1,则m=(2,2,1),

-X2+2Z2=0

所以平面ABC的一个法向量为而=(2,2,1)

20.如图，在平行六面体ABCO-AMGR中，E是4〃的中点，户是G。的中点.求

证：\EHCF,

【答案】见解析

【分析】

取A片的中点为G,根据几何体的特征分别得到5G//C产，AEUBG,从而得证.

【详解】

取A片的中点为G,则根据平行六面体的特征可得用G//G尸，BC=CF,

所以四边形BfiFC,为平行四边形，则BCJ/GF,B£=GF,

又因为BC〃BC,B£=BC,

所以GF//BC,GF=BC,

所以四边形G?C8为平行四边形，

所以BG//CF,

又因为AG//EB，AG=E8，所以四边形AE8G为平行四边形.

所以AE//BG,进而AE〃。尸.

21.如图，在四面体A5CD中，">_L平面5cO,M是AO的中点，尸是aM的中点,

点。在线段AC上，且AQ=3QC.求证：PQ〃平面8co.

【答案】证明见解析

【分析】

要证线面平行，需找线线平行，双8。中点。，且P是8M中点，取C。的四等分点从

使。”=3CH,且4Q=3QC,通过四边形OPQ”为平行四边形及线面平行的判定定理

即得结论.

【详解】

证明：如图所示，取8。中点0,且尸是BM中点，

PO//MD且尸。=,，

2

取C。的四等分点H,使OH=3C”，且AQ=3QC,

试卷第18页，共35页

:.PO//QH且PO=QH,

・•・四边形OPQH为平行四边形，

：,PQ//OH,PQ在平面BC。外，且OHu平面BCD,

工尸。〃平面BCD.

22.如图，在正方体A8C0-A4G2中，点正在田。上，且BE=；BD：点F在CB、上,

(2)EF1CBt.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】

建立空间直角坐标系，令正方体的校长为3,表示出点的坐标，利用空间向量法证明线

线垂直；

【详解】

解：(1)如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为3,则。(0,0,0),5(3,3,0),

C(0,3,0)4(333),因为8E=/£),CF=；CB「所以E(2,2,0),尸(1,3,1),所以

EF=(-M,l),=(3,3,0),所以丽.瓯=Tx3+lx3+lx0=0，所以

(2)由(1)可知函=(3,0,3),所以国.甫=—1X3+1X3+1X0=0,所以所_LCq

23.如图，在棱长为1的正方体ABCO-A^GA中，。为平面AA8耳的中心，E为BC

的中点，求点o到直线AE的距离.

【分析】

建立空间坐标系，求解直线A七的单位方向向量，结合勾股定理进吁求解.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4。,0,1),七§,1,0),。(„),

因为率=（f,T）&=篇=/|号）,前二@一/

试卷第20页，共35页

___-2

所以04,.〃=-

所以点0到直线AE的距离为"可2_（西£）2=王|=今

24.如图，四面体Q45C的所有棱长都是1,D,E分别是边OA,SC的中点，连接

DE.

（1）计算OE的长；

（2）求点0到平面ABC的距离.

【答案】（1）①；（2）近.

23

【分析】

（1）利用基底方，丽，觉表示出向量瓦，再根据向量数量积求长度的方法即可求出;

（2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为AABC的中心，即可求出.

【详解】

（1）因为四面体0A8C的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，

诙=次+而+屁=g丽+瓦一砺+g（反一网=一；砺+g丽无，而且

OAOB=OBOC=OAOC=^,所以=；（以_0豆—。e丫=：（3_l）=g,即

同=¥，所以£>E的长为冬

（2）因为四面体0ABC为正四面体，所以点0在平面ABC的射影。，为AABC的中心,

△ABC的外接圆半径为一!一x1=@,所以点0到平面ABC的距离为

sin6023

25.如图，四面体A5C。的每条棱长都等于a,M,N分别是48,CO的中点.求证:

MN工AB,MNLCD.

【答案】证明见解析

【分析】

根据题意证明丽•丽=g（而+而）而］•丽=0即可.

【详解】

由题意可知，而，急,而三个向量两两间的夹角为60,

因为M,N分别是AB,CO的中点,

所以丽=丽_丽?=；国+珂―g而,

则丽•而二g国+时一:而•丽=g国•而+彷而—而2

gScosbO+a2cos60-叫=0,

所以mV_LA〃，同理可证MN_LQ）

26.如图，M,N分别是正方体ABC。-A9CO的棱88'和后C的中点，求:

B

试卷第22页，共35页

(i)MN和ar所成角的大小;

(2)MN和A0所成角的大小.

【答案】(1)9(2)£.

【分析】

构建以。为原点，方A,灰，的为x、y、z轴正方向的空间直角坐杨系，若正方体的楂

长为2,写出A、。、皿、M、N的坐标，进而可得而、丽、DA，利用空间向量

夹角的坐标表示求其夹角的余弦值，即可求MN和CD、MN和AZ)所成角.

【详解】

构建以。为原点，方4配，丽为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，若正方体的核

长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),£>'(0,0,2),"(2,2,1),N(l,2,2),

(1)丽=(一1,0,1),CD7=(0,-2,2),又MN和CZX所成角范围为［0弓］,

cos<MN,CDi>|=|竺•迫|=厂2=1

故MN和S所成角为

\MN\\CD,\夜x通2

(1)丽=(2,0,0),又MN和40所成角范围为[0,1],

----------MNDA2左

・•・|cos<MN,DA>|=|..一_|=『一=—,故MN和A。所成角为一.

\MN\\DA\V2x224

27.如图，在正方体ABCO-A4GR中，E,F,G,H,K,L分别是AB,,B©,

CQ,DQ,D4各棱的中点.

(1)求证：A。1平面EFGHKL；

(2)求。居与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)见解析；(2)拽

3

【分析】

'-----------

(1)建立空间直角坐标系，可由空.售证得；

•Kti=U

(2)利用空间向量计算直线和法向量的夹角，进而得解.

【详解】

如图所示建立空间直角坐标系,

(1)A(1,0,1),C(OJ0),K(0,0,g),H呜,1),吗,0,0),

次=6,o,3昉O'T'T}AC=(TLT)

*沃=0

则所以

平•丽=0

LK.KH为平面EFGHKL的两条相交直线,

所以AC_L平面EFG//KL；

试卷第24页，共35页

(2)由(1)知平面EFGHKL的法向量为率=(-1,1,-1)

D(0,0,0),^(1,1,1),0^=(1,1,1),

因为8次'函＞=番篙

求DBX与平面EFGHKL所成角的余弦值为=当

28.如图，在长方体ABC。-44GA中，AB=2,BC=CC,=1,E是CD的中点.求

证：ME_L平面4ER.

【答案】证明见解析

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明函_L可，函_1丽，即可得证；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，则40,0,0),石(0,1,0),A(0,0,1),(1,2,1)

所以函=(1,1,1),西二(O,T,l),E4=(l,-l,0)

所以画・可=以0+以(-1)+支1=0,函・丽=收1+以(-1)+1*0=0,所以函上函,

函JL丽，

因为E"nEA=E,E.,E4u平面

所以与E_L平面AE".

29.如图，在长方体ABC。-A&GA中，点£尸，G分别在棱AA,Ag,AA上,

\E=\F=Afi=\；点尸，QtR分别在棱CC|,CD,CB±,CP=CQ=CR=\.求证：

平面£PG〃平面PQR,

【答案】证明见解析

【分析】

构建以。为原点，函，反，西为小y、z轴正方向的空间直角坐标系，令

AB=a,BC=b,BB】=c写出前、花、用、而，进而求面石尸G、直PQR的法向量二

〃，根据所得法向量的关系即可证结论.

【详解】

构建以。为原点，方A反,西为八小z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，

试卷第26页，共35页

z

X

设A8=a,8C=A,481=c(a,"c>l),又AE=A"=AG=1,CP=CQ=CR=1,

，E(b,O,c-l),尸(b,l,c),G(ZJ-1,0,C),P(O,a,l),0(0,a-1,0),R(l,a,0),

AEF=(0J,l),W=(-1,0,1),网=(0,-1,-1),而=(l,0,-l),

一EF-/n=v+z=0一

设加=(%,y,z)是面EFG的一个法向量，贝叫-----，令x=l,〃?=(1,一1,1),

EGm=z-x=0

_PQn=-j-k=0_

设〃=(ij幻是面PQR的一个法向量，则上一，令i=l,«=(h-l,l),

PRn=i-k=0

上面EFG、面PQR的法向量共线，故平面屏‘G〃平面PQR,得证.

30.如图，已知正方体A8CD-A&CQ的棱长为LE为CD的中点，求点R到平面4g

的距离.

【答案】亚

3

【分析】

建立空间坐标系，求解平面AEG的法向量，结合点到平面的距离公式求解.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系,

则41,O,O)C(O」,I),E(O，；,O),A。。」).

设平面AEG的一个法向量为7=(x,y,z),

宿=(-1,1,1),AE=(-1,10),(-1,0,1).

后AC〕=-x+y+z=0,

令y=2,则x=l,z=-l,B|Jn=(1,2,-1).

设点。到平面AEC1的距离为d,

则公答得邛’即点A到平面AEG的距离为冬

31.如图，已知正方体的棱长为1，攵为B£的中点，点尸在棱AA上,

AP:AA,=\:3.求平面43a）与平面"QP的夹角.

【答案】arccos^^^

46

【分析】

建立空间直角坐标系，分别求解两个面的法向量，利用法向量的夹角求解即可.

【详解】

试卷第28页，共35页

如图建立空间直角坐标系，8(1.1,0),尸(1,0中,Q(；,1,1),

—•1—12

BP=(0,-U-),P(2=(--4,-),

设平面BP。的法向量为万=*,y,z),

n^BP=-y+-z=0

3

则，不妨令y=i则z=3,x=6,

n-PQ=--x+y+—z=0

所以无=(6J3)

平面ABCD的法向量为玩=(0,0,1),

n-rn3二3屈

所以cos<n,m>=

\n\-\m\736+1+9-46

3>/46

所以面48co与平面BQP的夹角为arccos--------

46

32.如图，正方体ABCD-ABCR的棱长为1,M是棱AA的中点，O是的中点.求

证：OM分别与异面直线4A，8R垂直，并求OM的长.

【答案】见解析.

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0可证得垂直，利用模长公式可求线段长.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，

则ogfM(l,0,g),41,0,0).A(l,0,l),8(Ll,0)，A(0,0,l),

---11-...

所以=(/,—],0),A4,=(0,0,1),BA=,

因为曲・丽=0,丽・西=0,

所以OMJ.AA，OMJ.BR

I两1=J(；＞+(-孑=-y.

33.如图，在直三棱柱ABC-44G中，ZBAC=90°,AB=AC=2fM=3,〃是

Ab的中点，N是3c的中点，P是8G与BQ的交点.在线段AN上是否存在点。，

使得PQ〃平面ACM?

【答案】存在，。在AN靠近N的三等分点处

【分析】

建立空间坐标系，利用空间向最进行求解，尸。〃平面ACM则可利用可与平面的法

向量垂直求解.

【详解】

试卷第30页，共35页

如图，分别以所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

3

A(0,0,3),C(2,0,0),M(0,1,0),-),Q(a,a,3),

______一3

则AC=(2,0,-3),A"=(0,1,-3),PQ=3-l,a-1,3).

设面A。”的法向量G=a,y，z),则,，£!?，即[、八.

[A^Mn=0[y-3z=0

_3

令z=l得〃=(],3,1).

因为尸Q〃平面ACM,所以Pg兀即而i=o.

332

所以53-1)+3(4_1)+5=0,得〃=7，

项=(|W，。)，所以麻卜手.

因为AN=75,哭=4,所以存在。在AN二等分点处靠近N,使得PQ”平面.

/*!Arj

34.在空间直角坐标系中，已知向量〃=3,4。)("。工0),点七(%,%,%),点P(x,y,z).

(1)若直线,经过点庶，且以口为方向向量，P是直线，上的任意一点，求证：

X7。=y)b_ZZo

abc

(2)若平面夕经过点玲，且以力为法向量，尸是平面。内的任意一点，求证：

a(x-x0)+b(y-yQ)+c(z-zo)=O.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

(1)根据空间向量平行的坐标表示即可证出；

(2)根据空间向量垂直的坐标表示即可证出.

【详解】

(1)因为以〃神，/>P=(x-^,y-y0,z-z0),所以解二为7,

即1一%=4。,丁一为=动,2-々)=义。，因为必CHO,所以％」=)'〉o=z4=4.

abc

(2)因为〃，解，方=(o,b,c),^P=(X-A^,j-y0,z-z0),

所以a(x)+6(y-%)+4z-z^nO.

35.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架A〃CD,的边长都是1,且它们

所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和〃尸上移动，且CM

和8N的长度保持相等，记CW=8N=a(0<a<&).

(1)求