2022新教材北师大版高中数学必修第一册第五章 函数应用 课时练习题及章末测验含答案解析

第五章函数应用

1、利用函数性质判定方程解的存在性......................................1

2、利用二分法求方程的近似解............................................5

3、实际问题中的函数模型................................................10

章末测评................................................................17

1、利用函数性质判定方程解的存在性

一、选择题

1.函数f(x)=2*-4x—3的零点有()

A.0个B.1个

C.2个D.不能确定

C[由f(x)=0,即2/—4入一3=0,因为4=(-4)2-4X2X(-3)=40>0.

所以方程2V一4入一3=0有两个根，即/*(必有两个零点.]

2.函数/•(力=4'-2'—2的零点是()

A.(1,0)B.1

1

C.-D.-1

乙

B[由/'(力=4'-2"—2=(2'—2)(2'+1)=0得2、=2,解得x=L]

3.已知函数f(x)=g—Ic&x,在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()

X

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+8)

C[由题意知，函数r(x)在(0,+8)上为减函数.f(D=6—0=6>0,f(2)

63]

=3—1=2>0,1(4)=7一log24=5—2=-$V0.由零点存在定理可知函数f(x)

X乙乙

在区间(2,4)上必存在零点.]

4.函数f(x)=lnx一—\的零点的个数是()

X—1

A.0B.1

C.2D.3

C［如图，画出y=lnx与尸二的图象，由图

知y=lnx与夕=一7(»0,且挣1)的图象有两个交

XX

点.

故函数F(x)=lnx一—三的零点有2个.］

x~\

5.己知函数f(x)在区间［外句上单调，且图象是连续不断的，若f(a)・f(b)

<0,则方程f(x)=0在区间3上()

A.至少有一实数根B.至多有一实数根

C.没有实数根D.必有唯一的实数根

D［由题意知函数f(x)为连续函数.,・・&&)-F(b)V0,・,•函数F(x)在区间

［a,b］上至少有一个零点.又・・,函数FJ)在区间［a,句上是单调函数，，函数

人力在区间［小句上至多有一个零点.故函数Hx)在区间［a,句上有且只有一

个零点，即方程〃才)=0在区间［小句内必有唯一的实数根.故选D.］

二、填空题

6.已知函数人才)=可2+2数+。(420)的一个零点为1,则它的另一个零点

为.

-3［设函数f(x)的两个零点为耳，为，根据函数解析式，由一元二次方程

9o

根与系数的关系，得毛+必=—.又因为乂=所以%］

a=-21,=-3.

7.函数f(x)=1—2,在R上的零点个数是

3［由题意可知，函数f(x)=f—2,的零点个数，等价于函数y=2*,y=?

的图象交点个数.如图，画出函数y=2'，/=/的大致图象.

由图象可知有3个交点，即/*(必=*-2,有3个零点.］

8.若函数f{x)=mx—l在(0,1)内有零点，则实数力的取道范围是

(i,+8)[AO)=-1,要使函数f(x)=RA-i在(o,1)内有零点，需f(D

=/27—1>0,即加>1.］

三、解答题

9.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.

/、/\x+3

(1)=-----；

x

(2)f{x}=V+2x+4.

K-I-R

［解］(1)令F(x)=0即一=0,故x=-3.

x

v-|-3

所以函数f{x)=—的零点是一3.

x

(2)令/'(x)=0,即f+2x+4=0,因为zl=4-4X4=-12<0,所以此方程

无解，故函数F(x)=f+2x+4无零点.

10.已知函数〃彳)=2」上问方程F(/)=0在区间［―1,0］内是否有解，

为什么？

［解］有解.因为，(-1)=27—(-1)2=一巳<0,A0)=2°-02=l>0,

且函数f(x)=2'—V的图象是连续曲线，

所以f(x)在区间［—1,0］内有零点，即方程f(x)=0在区间［一1,0］内有解.

11.函数存在零点，则a的取值范围是()

A.a>0B.aWO

C.40D.水0

B［函数存在零点，则f=—a有解，所以aWO.］

12.(多选)下列说法中正确的是()

A.f(力=x+l(x£［—2,0］)的零点为(-1,0)

B./.(必=^+1(X£［—2,0］)的零点为一1

C.函数y=F(x)的零点，即尸f(x)的图象与x轴的交点

D.函数y=f(x)的零点，即尸f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

BD［根据函数零点的定义，可知F(x)=x+l(xe［-2,0］)的零点为一1；

函数尸以⑼的零点即尸FCO的图象与x轴交点的横坐标.因此，只有说法BD

正确，AC错误.］

13.已知函数/'(x)=3"+x—5的零点由£[a,b],且6—a=l,a,6eN*,

贝ija=,b=_______.

12「・•函数f(力=3,+x—5,Ar(l)=3,4-l-5=-l<0,A2)=32+2

-5=6>0,，f(l)f(2)<0,且函数F(x)在R上单调递增，，/1(x)的零点及在区

间(1,2)内./.a—1,6=2.]

14.己知函数/'(x)是定义域为R的奇函数，一2是它的一个零点，且在(0,

+8)上是增函数，则该函数有个零点，这几个零点的和等于.

30[因为函数/'(⑼是定义域为R的奇函数，且在(0,+8)上是增函数,

所以/'(0)=0.又因为「(-2)=0,所以/'(2)=一/•(-2)=0,故该函数有3个零

点，这3个零点之和等于0.]

117

15.已知函数f(x)=logl

2/x/

(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是单调函数；

(2)证明：f(x)有零点;

(3)设八人)的零点选落在区间信，，内，求正整数〃的值.

[解](1)证明：显然，f(x)的定义域为(0,+8).

任取为,尼仁(0,+°°),不妨设用<莅，贝ij尼一>】>0，*尼>0，则;5---丁~=

£X[AX?

9~~—>0,logl%i>loglx29BPlogl%i—logl房>0,所以F(xi)—f(而)=(log!

NXiM99999

loglx2)y-j>0,所以F(X1)>F(X2).故F(x)在定义域(0,+8)上是

2乙迎/

减函数.

(2)证明：因为/'(1)=0+:—今=-8<0,f住)=4+8—学=3>0,所以

〃1)・《高<0,又因为在区间七1)上是连续的，所以f(x)有零点.

=log2ll_3>log28—3=0,

=log210—log25—1=log2^/25—log2V32<0,

所以f阖f阖<0,

所以f(x)的零点的落在区间后高内.故〃=18

2、利用二分法求方程的近似解

一、选择题

1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()

A.XB.x2

C.x3D.X\

c［能用二分法求零点的函数必须满足在区间［必3上述续，且rU)A^)<o.

而吊两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.］

2.用“二分法”可求近似解，对于精确度£说法正确的是()

A.£越大，零点的精确度越高

B.£越大，零点的精确度越低

C.重复计算次数就是£

D.重复计算次数与£无关

B［依“二分法”的具体步骤可知，£越大，零点的精确度越低.］

3.设F(x)=3*+3x—8,用二分法求方程3*+3x—8=0在x£(l,2)内近似

解的过程中得F(D<0,A1.5)>0,f(1.25)<0,则方程3，+3x—8=0的根落在

区间()

A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)

C.(1.5,2)D.不能确定

A［易知f(x)在R上是增函数.由题意可知/'(1.25)-F(L5)<0,故函数

f(x)=3r+3x-8的零点落在区间(1.25,1.5)内.故选A.］

2

4.用二分法求方程Inx--=0的零点时，初始区间大致可选在()

x

A.(1,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(e,+8)

99

B［设F(x)=lnx一一，由于F(2)=ln2-KO,F(3)=ln3-->0,

x3

r(2)-r(3)<0,故初始区间可选(2,3).］

5.用二分法求函数F(x)=2*+3x—7在区间。4］上的零点近似值，取区间

中点2,则下一个存在零点的区间为()

A.(0,1)B.(0,2)

C.(2,3)D.(2,4)

B［因为A0)=2°+0-7=-6<0,

/(4)=2,4-12-7>0,

/(2)=22+6-7>0,所以f(0)•f(2)<0,所以零点在区间(0,2)内.］

二、填空题

6.设函数尸/Xx)在区间3上的图象是连续不间断曲线，且

o-L6

Aa)-f(b)<o,®Ab=—,若久热•rUXo,则利用二分法求方程根时，取

乙

有根区间为.

(&荀)［由于f(a)•/\的)<0,贝I」(必必)为有根区间.］

7.在用二分法求方程F(x)=O在区间［0,1］上的近似解时，经计算，

A0.625X0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,即可得出方程的一个近似解为

(精确度为0.1).

0.75[0.75-0.6875=0.0625<0.1,又精确度为0.1,故可取近似解为

0.75.］

8.求函数〃才)=*一工一1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度£=0.1),

用“二分法”逐次计算列表如下：

\an—

端(中)点的值中点函数值符号零点所在区间

b„\

(1,1.5)0.5

1.25/(1.25X0(1.25,1.5)0.25

1.375A1.375)>0(1.25,1.375)0.125

1.3125A1.3125)<0(1.3125,1.375)0.0625

则函数零点的近似值为_______.

1.3125［・・•精确度£=0.1,由表可知|L375-1.3125|=0.0625<0.1,

・•・函数零点的近似值为1.3125.］

三、解答题

9.求函数F(x)=x2—5的一个零点近似解.(精确度为0.1)

［解］由于f(—2)=—KO,A-3)=4>0,

故取区间(一3,—2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下:

区间中点的值中点函数近似值

(—3,—2)—2.51.25

(—2.5,-2)-2.250.0625

(-2.25,-2)-2.125-0.4844

(-2.25,-2.125)-2.1875—0.2148

由于-2.25-(-2.1875)|=0.0625<0.1,所以函数的一个近似解可取一

2.25.

10.求函数y=2*+3x—7的近似零点.(精确度为0.1)

［解］设HX)=2:+3X—7,根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.

经计算，/(1)=-2<0,f(2)=3>0,所以函数f(x)=2*+3x-7在(1,2)内

存在零点，

即方程2r+3入-7=0在(1,2)内有解.

取(1,2)的中点L5；经计算，A1.5)=^0.33>0,

又Al)=-2<0,所以方程2*+3x-7=0在(1,1.5)内有解.

如此下去，得到方程2、+3x—7=0实数解所在的区间，如下表:

左端点右端点区间长

左端点右端点

函数值函数值度

第1次1-2231

第2次1-21.50.330.5

第3次1.25-0.8721.50.330.25

第4次1.375-0.2811.50.330.125

第5次1.375-0.2811.43750.0210.0625

由表可以看出，区间(1.375,1.4375)内的所有值都可以看成是函数精确度

为0.1时的近似零点.

所以函数尸2,+3X一7的一个近似零点可以是1.4.

11.(多选)某同学求函数*x)=lnx+2x—6的零点时，用计算器算得部分

函数值如表所示：

f(2)^-1.307A3)^1.099/(2.5)^-0.084

A2.75)^0.512f(2.625)下0.215A2.5625)=^0.066

贝।方程Inx+2x—6=0的近似解(精确度0.1)可取为()

A.2.52B.2.56

C.2.66D.2.75

AB[由表格可知方程Inx+2x—6=0的近似根在⑵5,2.5625)内，因此

选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB.]

12.已知f(x)的一个零点吊£⑵3),用二分法求精确度为0.01的荀近似

值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()

A.6B.7

C.8D.9

B[函数Ax)的零点所在区间的长度是1,用二分法经过7次分割后区间的

长度变为J<0.0L]

13.某同学在借助计算器求“方程lgx=2—x的近似解(精确度0.1)”时,

设f(x)=lgx+x—2,算得F(l)<0,A2)>0；在以下过程中，他用“二分法”

又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断:方程的近似解是ml.8.

那么他再取的x的4个值依次是.

1.5,1.75,1.875,1.8125［第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次

得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125)得

14.在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1,精确度为0.05,

则取中点的次数不小于.

5•初始区间的长度为1,精确度为0.05,・・・」W0.05,即2〃，20.又

♦・・〃£N+,・・.心5,

・・・取中点的次数不小于5.］

15.某电脑公司生产力型手提电脑，2015年平均每台力型手提电脑生产成

本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价.2016年开始，公司加强管理，降低

生产成本，2019年平均每台力型手提电脑尽管出厂价仅是2015年出厂价的80%,

但却实现了纯利润50%的高收益.

(1)求2019年每台力型手提电脑的生产成本；

(2)以2015年的生产成本为基数，用二分法求2016-2019年生产成本平均

每年降低的百分数(精确度为0.01).

［解］(1)设2019年每台力型手提电脑的生产成本为尸元，依题意得。(1+

50%)=5000X(1+20%)X80%,解得Q3200,所以2019年每台力型手提电脑

的生产成本为3200元.

(2)设2016〜2019年生产成本平均每年降低的百分数为后根据题意，得5

000(1—力4=3200(0<Xl),

即5(1-X)2=4(0<K1).

令f{x}=5(1—%)2—4,

则f(0.10)=0.05>0,

A0.11)=-0.0395<0,

所以〃力在(0.10,0.11)内有一个零点X。.

取区间(0.10,0.11)的中点0.105,

则A0.105)^0.005>0,

所以A0.11)•A0.105X0,

又|0.11—0.105|=0.005<0.01,

0.1050.11精确到0.01的近似值都是0.11.

所以f(x)=0的近似解可以是0.11.

所以2016〜2019年生产成本平均每年降低11%.

3、实际问题中的函数模型

一、选择题

1.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的加倍，那么该模具厂这

一年中产量的月平均增长率是()

C.1D.ypn-1

D[设每月的产量增长率为其1月份产量为a则a(l+x)“=3,所以1+

x=即x=y[nr-1.]

2.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆次，存车费为：电动自

行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆.若该天普通自行车存车x辆次，存车费

总收入为y元，则y与x的函数关系式为()

A.y=0.2x(0WxW4000)

B.y=0.5x(0Wx<4000)

C.尸一0.lx+1200(0WxW4000)

D.y=0.lx+1200(0WxW4000)

C[由题意得尸0.3(4000-x)+0.2x=-0.lx+1200.]

3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后

剩留量为y,则％y的函数关系是()

X

lOOx

A.y=0.9576100B.y=0.9576

ro.9576Y—

C.y=l10QID.y=l-0.0424100

A[设镭一年放射掉其质量的£%,则有95.76%=1•（1一燃）一说=

1x

0.9576l00,・・・尸（1一魏）'=0.9576100.]

4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节

流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备月，当截取的矩形面

积最大时，矩形两边长x,y应为（）

A.x=15,y=12B.x=12,y=15

C.x=14,y=10D.x=10,y=14

24—vx5

A[由三角形相似得方亦，得x=](24—y),

乙1O乙u

5

・•・S=xy=--（y-12）2+180（8W/<24）.

.・・当尸12时，S有最大值，此时x=15.]

5.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为/'（»

c

=1（小。为常数）.已知工人组装第4件产品用时30min,

组装第力件产品用时15min,那么。和力的值分别是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

D[由题意知，组装第4件产品所需时间为左=15,故组装第4件产品所

需时间为多=30,解得c=60.将c=60=15,得力=16.]

二、填空题

6.用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大

面积是m~.

19—9V

9[设矩形的一边长为xm,则与这条边垂直的边长为m,

12—2x

所以矩形面积S=x•—丁二=—〈当时，最大

乙f+6x(oxW6),x=3mS=9]

7.工厂生产某种产品的月产量y(万件)与月份x满足关系y=a-0.5、+b,

现已知该厂今年1月份，2月份生产该产品分别为1万件，1.5万件，则此工厂

3月份生产该产品的产量为万件.

1=0.5a+b,与=一2

1.75[由题意有解得”=-2X0.5、

1.5=0.25H+/?,b=2.

+2,

・,・3月份产量为y=-2X0.53+2=l.75(万件).]

8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入

生产.已知该生产线连续生产〃年的累计产量为F®=「(〃+1)(2〃+1)吨，但

如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂

这条生产线拟定最长的生产期限是年.

7[由题意知，第一年产量为d=：X1X2X3=3,

以后各年产量分别为a=f(〃)一F(〃-1)=另〃+1)(2〃+1)—]〃(〃一1)(2〃

-1)=3〃2(〃£M)，

令3〃V150,得1W启5g=々后7,故生产期限最长为7年.]

三、解答题

9.某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%,

设每件纪念品的成本为a元.

(1)试求a的值；

(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价

x(元)满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为网元)，求每天销售利润"(元)

与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润

最大？最大利润是多少？

［解］(1)・・•按30元销售,可获利50%,・・・&(1+50%)=30,解得&=20.

(2)V销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系尸-Wx+800,则每天销

售利润人元)与每件销售价x(元)满足/f=(-10^+800)(x-20)=-10^4-1

OOOx-16000

=-10(X-50)2+9000,故当x=50时，/取最大值9000,

即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元.

10.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30

人以下，每人需交费用900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1

人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用

共计15000元.

(1)写出每人需交费用y关于人数才的函数；

(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

［解］⑴当0<后30时，尸900；当30〈启75,y=900—10(x-30)=l200

—10x；

［900,0<x<30,

即

11200-10^,304W75.

⑵设旅行社所获利润为S元，则当(KxW30时，S=900x-15000；

当30〈x<75时，S=x(1200-10^)-15000=-10*+1200x-15000；

［900^-15000,0<xW30,

即S=<2।-

［-lOV+l200AT-15000,30〈后75.

因为当0<A<30时，5=900y-15000为增函数，所以x=30时，鼠,=12000；

当30<点75时，5=-10^+1200x-15000=-10(x-60)2+21000,

即x=60时，鼠(=21000>12000.

所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润.

11.(多选)如图①是反映某条公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付

出成本的差)y与乘客量x之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损，公司

有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示.

则下列说法中，正确的有()

A.图②的建议：提高成本，并提高票价

B.图②的建议：降低成本，并保持票价不变

C.图③的建议：提高票价，并保持成本不变

D.图③的建议：提高票价，并降低成本

BC[根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘

客量为0时，收入是0,但是支出变少了，即说明此建议是降低成本而保持票价

不变，故B正确；由图③可以看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾

斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明此建议是提高票

价而保持成本不变，故C正确.]

12.某公园要建造一个直径为201n的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠

近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2nl处达到最高，最高

的高度为8nl.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱

在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为()

A.5mB.3.5m

C.5.5mD.7.5m

D[根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x,与此点

的高度y之间的函数关系式是：y=a(x+2)2+8(-10<xW0)或y=aAx-i)2

+8(0WxW10),由x=-10,y=0,可得国=-J；由x=10,y=0,可得及=

o

于是所求函数解析式是尸一J(x+2)2+8(—10WK0)或y=-J(x—2)2+

ooo

8(0Wx<10).当x=0时，y=7.5,，装饰物的高度为7.5m.故选D.]

13.某市居民生活用水收费标准如下：

用水量x/t每吨收费标准/元

不超过2t部分m

超过2t不超过4t部分3

超过4t部分n

已知某用户1月份用水量为8t,缴纳的水费为33元；2月份用水量为6t,

缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.

(D若某用户3月份用水量为3.5t,则该用户需缴纳的水费为_______元;

(2)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，则该用户最多可以用水

________吨.

(1)7.5(2)6.5[(1)由题设可得

mx,0W后2,

2m+3x-2,2<A<4,

(2加+6+〃x—4,x>4.

当尤=8时，y=33；当尤=6时，『=21,

2勿+6+4〃=33,727=1.5,

代入得解得

2〃/+6+2〃=21,〃=6.

所以y关于x的函数解析式为

p.5x,0W后2,

3x—3,2<x<4,

〔6x—15,x>4.

当x=3.5时，y=3X3.5—3=7.5.

故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.

(2)令6X-15W24,解得xW6.5.

故该用户最多可以用6.5t水.]

14.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度/(米/秒)利燃料的质量

"(千克)、火箭(除燃料外)的质量/(千克)的函数关系式是12000•ln[l+5

当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.

e6-l[当v=12000时，2000•Infl+^)=12000,

e6—1.]

m

15.某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情

况的调查发现:该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格尸(x)(单

k

位：元)与时间爪单位：天)的函数关系近似满足〃(彳)=1+-伊为正常数)，日

X

销售量0(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示:

力天10202530

0(力/件110120125120

已知第10天的日销售收入为121元.

(1)求女的值；

(2)给出以下四种函数模型：

①0(x)=ax+b,②0(x)=a\%—251+6,③0(x)=a•④0(x)=a•log*x.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量

0(才)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)/U)的最小值.

［解］⑴依题意知第10天的日销售收入为A10)-0(10)=(1+得卜110

=121,解得女=1.

(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能

选②0(x)=N|X—25|+6.从表中任意取两组值代入可求得0(x)=125—|x—

25|(1WA<30,X£N+).

(3)由⑵知0(x)=125-|x-251

flOO+x1^X25,xEN+,

一1150—x25WW30,x£N—,

所以f(x)=P(x)・0(x)

100

x+—+1011WK25,x£N+

x

=<

150

-------x+14925〈启30,x£N+.

x

ICQ

当1WK25时，y=x+一丁在［1,10］上单调递减，在［10,25)上单调递增，所

以当x=10时，f(x)取得最小值，f(x)ein121；

当25Wx<30时，y=-----x为减函数，所以当x=30时，F(x)取得最小值,

X

f(X)*n=124.

综上所述，当x=10时，F(x)取得最小值,/(x)nin=121.

所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.

章末测评

(满分：150分时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数p=(x—1)(V—2x—3)的零点为()

A.1,2,3B.1,-1,3

C.1,-1,-3D.无零点

B［令y=0,即(x—1)(V—2x—3)=0,解得由=1,x2=—1,&=3.故选

B.］

2.设f(x)=3,一f,则在下列区间中，使函数F(x)有零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)

C.(-2,-1)D.(—1,0)

D［因为F(-1)=3—-：<0,A0)=3°-0=l>0,所以f(一1)・F(0)<0.］

3.函数y=log2)-W的图象大致是()

A

A［当x=4时，y=log2X一6=0,所以舍去D；

当x=16时，y=log2X—5=0,所以舍去BC；故选A.

4.当x£（2,4）时，下列关系正确的是（）

A.x<.2xB.log?水*

x

C.log2KlD.2<log2x

X

B[当x£（2,4）时，ye（4,16）,2'C（4,16）,log2xe（l,2）,:

显然C,D不正确，对于选项A,若x=3时，x=9>2\故A也不正确.]

5.我们定义函数尸表示不大于x的最大整数）为“下整函数”；

定义尸3（{处表示不小于x的最小整数）为“上整函数”；例如[4.3]=4,[5]

=5；{4.3}=5,{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包

括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此

类推.若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为（单位：元）（）

A.20+1]B.2（[x]+l）

C.2{x}D.{2x}

C[如x=l时，应付费2元,此时2[x+l]=4,2（[x]+1）=4,排除A、B；

当x=0.5时，付费为2元，此时{2x}=l,排除D,故选C.]

6.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定

菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间7内完成

预测的运输任务Q）,各种方案的运输总量0与时间E的函数关系如图所示，在这

四种方案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）

ABCD

B[由题意可知：曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，选项B中，。的值

随t的变化越来越快.故选B.]

7.用二分法判断方程27+3x-3=0在区间（0,1）内的根（精确度为0.25）

可以是（参考数据：0.753=0.421875,0.6253=0.24414）（）

A.0.25B.0.375

C.0.635D.0.825

C［令f(x)=2/+3x-3,f(0)<0,f(l)>o,AO.5)<0,/(O.75)>0,

AO.625）<0,

工方程2/+3X—3=0的根在区间（0.625,0.75）内,

V|0.75-0.6251=0.125<0.25,

・・・区间（0.625,0.75）内的任意一个值作为方程的近似根都满足题意.]

8.我国股市中对股票的股价实行涨停、跌停制度，即每天的股价最大的涨

幅或跌幅均为10%.某股票在连续四个交易日中前两日每天潴停，后两日每天跌

停，则该股票现在的股价相电于四天前的涨跌情况是（）

A.跌1.99%B.涨1.99%

C.跌0.99%D.涨0.99%

A[设四天前股价为a,则现在的股价为aXl.l2X0.92=0.980la,跌

1.99%.]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的

得0分.

9.下列函数：

①y=lg*②y=2"；③尸总@y=|^|—1,其中有零点的函数是（）

A.①B.③

C.②D.@

ABD[分别作出这四个函数的图象（图略），其中①y=lgx,③尸f与不轴

有一个交点，图象④尸|*|一1的图象与％轴有两个交点，即有2个零点，故选

ABD.]

10.甲、乙二人同时从力地赶往8地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑

步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达8地.己知甲骑车比乙

骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人高开A地的距离s

与所用时间1的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的

图象选择错误的是（）

SkSIs

①②③④

A.甲是图①，乙是图②B.甲是图①，乙是图④

C.甲是图③，乙是图②D.甲是图③，乙是图④

ACD[由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时

少，故符合①，而由乙的运动知其符合④.]

11.若函数/'(入)=m。82]+刘・4,+3在区间8，1)上有零点，则实数a的取

值范围不可能是()

A.a<-3B.—^<a<—~

331

C.-3〈水一[D.--<a<——

ABD「・,函数y=log2X,y=4”在其定义域上是增加的，

・・・函数f(x)=dlog2x+a-4'+3在区间年,1)上单调且连续，

J由零点存在定理可得[他1・F(1)〈O,即(一口+2日+3)(4叶3)<0,解得一

3〈水一*]

12.已知f(x)=(x—a)(x—6)—2,并且。，B是函数f(x)的两个零点，

则实数a,b,a,£的大小关系不可能是()

A.水a<b<8B.水。<£"

C.。<水伙qD.。<水力<力

ABD[因为£是函数F(x)的两个零点，所以F([

=f(£)=0.N/

又f(a)=F(b)=—2<0,结合二次函数的图象(如图所示)fcj/«

可知d,b必在a,尸之间.]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在

题中横线上.

13.用二分法求方程炉+4=6戈的一个近似解时，已经将一根锁定在区间

(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为.

g，1)[设F(x)=*—6*+4,显然/(O)>0,/(l)<0,又0—6X(0

2

+4>0,

所以下一步可断定方程的根所在的区间为他，1).]

14.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=0.1?-

llx+3000,若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量

x等于台.

180[设产量为x台时利润为S万元，

则S=25x-y=25x-(0.1/一llx+3000)=-0.l/+36x-3000=-

0.1(X-180)2+240,

则当x=180时，生产者的利润取得最大值.]

15.若函数F(>)=12'—21有两个零点,则实数b的取值范围是___.

(0,2)[由函数〃x)=|2，一2|一b有两个零点可得|2-2|=。有两个不等

的根，从而可得函数y=|2'—2|与函数y=6的图象有两个交点，结合函数的图

象可得0<d<2.]

16.已知函数f{x)=a\log2jr|+1(a^O),定义函数

fx,x>0,F/

氏x)=°/八给出下列四个命题：4/

①Hx)=|/U)|；②函数网x)是偶函数；③当水o

AA▲A.[上1A.

-4-3-2-1O\1234*

时，若o<欣水i,则有以加一a〃)〈o成立；④当d>o时，

函数尸网力一2有4个零点.其中正确命题的序号是.

②③④[易知Nx)=f(|x|),故/(x)=|f(x)|不正确;②・・/(x)=F(|x|),

.,.尸(一x)=Q(入)，・,•函数/⑸是偶函数；③当水0时，若则尸(加)一

F(n)=—z?log2z?r-|-l—(―alog277+l)=a(log2/7—log2z»)<0；④当a>0时，F{x}

=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x||+1=2,即|log2|x||=p故|x|=2：或|x|

=24,故函数尸厂3—2有4个零点，故②③④正确.]

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.(本小题满分10分)讨论方程“+x—15=0在［1,2］内实数解的存在性,

并说明理由.

［解］令f{x)=4/+x-15,・・，=4/和y=x在［1,2］上都为增函数，

・・・F(x)=4f+x—15在［1,2］上为增函