2022年辽宁省沈阳市(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

沈阳市2022年初中学业水平考试

数皿「学,、忆试\__rx卷

试卷满分120分，考试时间120分钟.

注意事项:

1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试卷卷规定位置填写自己的姓名、准考证号;

2.考生须在答题卡上作答，不能在本试卷卷上作答，答在本试卷卷上无效；

3.考试结束，将本试卷卷和答题卡一并交回；

4.本试卷卷包括八道大题，25道小题，共6页.如缺页、印刷不清，考生须声明.

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）

1.计算5+（—3）正确的是（）

A.2B.-2C.8D.-8

2.如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（)

正面

3.下列计算结果正确的是（）

A.B.a6a3=a2C.(a//)=时D.(4/+Z?)2=a1+2ab+b2

4.在平面直角坐标系中，点A（2,3）关于y轴对称的点的坐标是（）

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-3,-2)

5.调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表:

年龄/岁1112131415

人数34722

则该足球队队员年龄的众数是（）

A.15岁B.14岁C.13岁D.7人

6.不等式2x+l>3的解集在数轴上表示正确的是（）

7.如图，在RfABC中，NA=30°,点。、E分别是直角边AC、BC的中点，连接。E,则NCE。度数是

8.在平面直角坐标系中，一次函数y=—x+l的图象是（）

9.下列说法正确的是（）

A.了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式

B.如果某彩票的中奖概率是1%,那么一次购买100张这种彩票一定会中奖

C.若甲、乙两组数据的平均数相同，S,=2.5,S；=8.7,则乙组数据较稳定

D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件

10.如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸垂直），测P、。两点距离为桃米,

ZPQT=a,则河宽PT的长度是（）

A.msinaB.rncosaC.mtanofD.--------

tana

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.分解因式：ay2+6ay+9a=.

x+2y=5

12.二元一次方程组</的解是______.

y=2x

13.化简：fl--.三二i=.

IX+1）X

14.如图，边长为4的正方形ABC。内接于）0,则AB的长是（结果保留兀）

15.如图四边形A8C。是平行四边形，C。在x轴上，点8在y轴上，反比例函数y=：（x>0）的图象经过第一象限

点A,且平行四边形4BCD的面积为6,则左=.

16.如图，将矩形纸片ABCQ折叠，折痕为MN,点M,N分别在边A。，8C上，点C,。的对应点分别在E,F

且点尸在矩形内部，板的延长线交3C与点G,EF交边BC于点H.EN=2,AB=4,当点》为GN三等分

点时，ATO的长为.

三、解答题：

17计算：疵—3tan3(T+出+2—2卜

18.为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1,

2,3,4,分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀.

(1)随机抽取一张卡片，卡片上数字是“4"的概率是；

(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率.

19.如图，在ABC中，A。是.ABC的角平分线，分别以点A,。为圆心，大于工人。的长为半径作弧，两弧交

2

于点N,作直线MN,分别交A8,AD,AC于点E,O,F,连接。E,DF.

(1)由作图可知，直线是线段A。的.

(2)求证：四边形4瓦不是菱形.

20.某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问

卷调查，问卷设置以下四种选项：A(综合模型)、B(摄影艺术)、C(音乐鉴赏)、D(劳动实践)，随机抽取了部

分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计

图.

学生最喜欢的课程条形统计图

学生最喜欢的课程扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)此次被调查的学生人数为名;

(2)直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)求拓展课程。(劳动实践)所对应的扇形的圆心角的度数;

(4)根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C(音乐鉴赏)拓展课程.

21.如图，用一根长60厘米铁丝制作一个“日”字型框架铁丝恰好全部用完.

(1)若所围成矩形框架A8CD的面积为144平方厘米，则的长为多少厘米？

(2)矩形框架A2CD面积最大值为平方厘米.

22.如图，四边形A3CD内接于圆。，是圆。的直径，AD,的延长线交于点E，延长CB交于点

P,ZBAP+ZDCE=90°.

(1)求证：Q4是圆。的切线;

(2)连接AC,sinZBAC=-,BC=2,A£>的长为.

3

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=履+6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点5(0,9),与直线OC

交于点C(8,3).

(1)求直线AB的函数表达式;

(2)过点C作CDLx轴于点O,将八4。£>沿射线C8平移得到的三角形记为△A'C'D',点A,C,。的对应

点分别为A,C,讯若△A'C'D'与一5OC重叠部分的面积为S,平移的距离CC'=m,当点A，与点2重合

时停止运动.

①若直线C'。'交直线OC于点E,则线段C'E的长为(用含有加的代数式表示);

②当0(m<g时，S与相的关系式为

24

③当S=7时，根的值为.

24.(1)如图，AQB和△COZ)是等腰直角三角形，NAC®=NCOD=90。，点C在。4上，点。在线段3。延

长线上，连接A。，BC.线段AD与BC的数量关系为；

(2)如图2,将图1中△COD绕点。顺时针旋转c(0°<e<90°)第一问的结论是否仍然成立；如果成

立，证明你的结论，若不成立，说明理由.

(3)如图，若AB=8,点C是线段A8外一动点，AC=3#，连接8C,

①若将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接AD,则AD的最大值______；

②若以BC为斜边作HTBCD,(B、C、〃三点按顺时针排列)，ZCDB=90°,连接A。，当

NCBD=ND1B=3O°时，直接写出的值.

c

图3

25.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点,抛物线y=加+法-3经过点3(6,0)和点£)(4,-3)与x轴另一

个交点A.抛物线与y轴交于点C,作直线AD

②并直接写出直线AD的函数表达式.

(2)点E是直线下方抛物线上一点，连接BE交于点R连接3DDE,产的面积记为耳，一刀七尸

的面积记为$2，当S|=2S2时，求点E的坐标;

(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为

G，点C的对应点C',点G的对应点G',将曲线C-沿y轴向下平移w个单位长度(0</<6).曲线与直

线2C的公共点中，选两个公共点作点P和点。若四边形C'G'QP是平行四边形，直接写出尸的坐标.

沈阳市2022年初中学业水平考试

数皿「学,、忆试\__IX卷

试卷满分120分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试卷卷规定位置填写自己的姓名、准考证号;

2.考生须在答题卡上作答，不能在本试卷卷上作答，答在本试卷卷上无效；

3.考试结束，将本试卷卷和答题卡一并交回；

4.本试卷卷包括八道大题，25道小题，共6页.如缺页、印刷不清，考生须声明.

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的.每小题2分，共20分）

1.计算5+（—3）正确的是（）

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】A

【分析】根据有理数的加法运算即可求解.

【详解】解：5+（-3）=2.

故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键.

2.如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

正面

【答案】D

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【详解】解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示:

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.下列计算结果正确的是()

A(/)=/B.a6-^-a3-a2C.(a//)=ab&D.^a+by=a2+2ab+b~

【答案】D

【分析】分别利用幕的乘方法则，同底数塞的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可.

【详解】A.故此选项计算错误，不符合题意；

B.故此选项计算错误，不符合题意；

C.(。。4)2=。2人8,故此选项计算错误，不符合题意；

D.(a+b)"=a2+2ab+b2,故此选项计算正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查累的乘方法则，同底数暴的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解

答本题的关键.嘉的乘方，底数不变，指数相乘；同底数塞相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的

每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘；3+6)2=/+2仍+〃与(a-6)2=a2—2M+尸都叫做完全平方公

式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.

4.在平面直角坐标系中，点4(2,3)关于y轴对称的点的坐标是()

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-3,-2)

【答案】B

【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答.

【详解】解：点A（2,3）关于y轴对称的点的坐标是（-2,3）.

故选B.

【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，

纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与

纵坐标都互为相反数.

5.调查某少年足球队全体队员的年龄，得到数据结果如下表：

年龄/岁1112131415

人数34722

则该足球队队员年龄的众数是（）

A.15岁B.14岁C.13岁D.7人

【答案】C

【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案.

【详解】解：•.•年龄是13岁的人数最多，有7个人，

，这些队员年龄的众数是13；

故选：C.

【点睛】本题考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数据.

6.不等式2x+l>3的解集在数轴上表示正确的是（）

3A一二D—dI

【答案】B

【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可.

【详解】解：2%+1>3

移项合并得：2x>2,

系数化1得：龙〉1,

表示在数轴上为：

故选：B.

【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键.

7.如图，在火力ABC中，NA=30°,点。、E分别是直角边AC、8c的中点，连接。E,则NCEO度数是

()

A.70°B.60°C.30°D.20°

【答案】B

【分析】因为点。、E分别是直角边AC、8c的中点，所以。E是ABC的中位线，三角形的中位线平行于第

三边，进而得到N6=NCED,求出B3的度数，即为NC⑦的度数.

【详解】解：：点。、E分别是直角边AC、8C的中点，

；.DE是Rt-ABC的中位线，

/.DE//AB，

：.ZB=ZCED,

VZA=30°,ZC=90°,

ZB=90°-30°=60°,

ZCED=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关

键.

8.在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+l的图象是(

【答案】A

【分析】根据一次函数的图象与性质即可得.

【详解】解：一次函数y=—%+1的一次项系数为-工常数项为1>0,

；・函数图象经过一、二、四象限

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键.

9.下列说法正确的是（）

A.了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式

B.如果某彩票的中奖概率是1%,那么一次购买100张这种彩票一定会中奖

C.若甲、乙两组数据的平均数相同，S番=2.5,=8.7,则乙组数据较稳定

D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是必然事件

【答案】A

【分析】根据全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小分别进行判断即可.

【详解】解：A.要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查的方式不合适，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项

正确，符合题意；

B.如果某彩票的中奖概率是1%,那么一次购买100张这种彩票不一定一定会中奖，故选项错误，不符合题意；

C.若甲、乙两组数据的平均数相同，S看=2.5,=8.7,则“则甲组数据较稳定，故选项错误，不

符合题意；

D.“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是不可能事件，故选项错误，不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了全面调查和抽样调查的意义、概率的意义、方差的意义、事件可能性的大小，关键是熟

练掌握各知识点.

10.如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度尸T（尸7与河岸尸。垂直），测P、。两点距离为机米，

NPQT=。，则河宽尸7的长度是（）

m

A.msinaB.mcosaC.mtanaD.-----

tana

【答案】C

【分析】结合图形利用正切函数求解即可.

【详解】解：根据题意可得：

PT

tana=---

PQ

：.PT=PQ-tana^mtana,

故选C.

【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键.

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.分解因式：ay2+6ay+9a=.

【答案】a（y+3）2

【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】解：ay2+6ay+9a

二Q（,2+6y+9）

=a（j+3）2；

故答案为：a（y+3）2.

【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.

x+2y=5

12.二元一次方程组＜/的解是_______

y=2x

X=1y=2

【答案】《

U=2|X=1

【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可.

x+2y=5①

【详解】解:

y=2x®

把②代入①得：5x=5,解得：x=l,

把x=l代入②得：y=2；

X=1

・••原方程组的解为c

b=2

故答案为・

b=、2

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.

13.化简：fl--±二1=____.

Ix+1）x

【答案】x-1##-l+x

【分析】根据分式的混合运算可直接进行求解.

【详解】解：原式二上.（x+l）（xT）=x_l；

X+1X

故答案为x-l.

【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的加减乘除运算是解题的关键.

14.如图，边长为4的正方形ABC。内接于。，则A3的长是（结果保留无）

AD

J

【答案】立兀

【分析】连接OA、OB,可证NAOB=90。，根据勾股定理求出A。，根据弧长公式求出即可.

【详解】解：连接04、OB.

:正方形ABC。内接于O。，

：.AB=BC=DC=AD^4,AO=BO,

・•・AB=BC=CD=AD，

1

・•・NA08=—x3600=90。,

4

在心△AOB中，由勾股定理得：492+802=2492=42=16,

解得：AO=2y/2，

...AB的长=也上述=虚〃，

180

故答案为：应兀.

【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出NAOB的度数和0A的长是解此题的关键.

15.如图四边形A8CO是平行四边形，C。在x轴上，点8在y轴上，反比例函数y=：(x>0)的图象经过第一象限

点A,且平行四边形48C。的面积为6,则发=

【答案】6

【分析】过点A作AELCD于点E,然后平行四边形的性质可知△4瓦＞之△BOC,进而可得矩形A80E的面积与

平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解.

【详解】解：过点A作AELCD于点E,如图所示：

ZAED=ZBOC=90°,

•••四边形ABC。是平行四边形，

/.BC=AD,BC//AD,

：.ZADE=ZBCO,

:./XAEDqABOC(AAS),

:平行四边形ABC。的面积为6,

••SABCD=$矩形ABOE=6,

:*k=6；

故答案为6.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数上的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数左

的几何意义是解题的关键.

16.如图，将矩形纸片ABC。折叠，折痕为MN,点M,N分别在边AD,BC上，点C,D

的对应点分别在E,尸且点尸在矩形内部，的延长线交BC与点G,EF交边BC于点、H.EN=2,AB4,

当点H为GN三等分点时，V。的长为

【答案】2而-4或4

【分析】由折叠得，ZDMN=ZGMN,EF=CD==4,CN=EN=2,ZEFM=ZD=9Q0,证明AO/EANHE得

NHHFNF

——=——二——，再分两种情况讨论求解即可.

GHHFGF

【详解】解：•••四边形A3。是矩形,

：.AD//BC,CD=AB=4,ZD=ZC=90°,

：.NDMN=NGNM,

由折叠得，/DMN=/GMN,EF=CD==4,CN=EN=2,ZEFM=ZD=90°,

:./GMN=/GNM,ZGFH=ZNEH,

:.GM=GN,

又/GHE=/NHE,

：.AGHENNHE,

.NHHENE

•点H是GN的三等分点，则有两种情况:

①若券=!时，则有:HENE1

CJH2HF~GF2

1428

EH=-EF=-,FH=-EF=-,GF=2NE=4,

3333

由勾股定理得,NH=y/EH2+NF2=

：.GH=2NH=~\/13

3

GM=GN=GH+NH=2屈,

MD=MF=GM-GF=2^/13-4;

NHHENE

②若一=2时，则有:—=2

GHHFGF

2…8E1…4i

：.EH=-EF=-,FH=—Eb=GF=：NE=1,

33332

由勾股定理得,NH='EH2+NF2=J(|)2+22=y,

i5

：.GH=^-NH=-

23

GM=GN=GH+NH=5；

MD=MF=GM-GF=5-1=4

综上，的值为2而-4或4.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知

识，进行分类讨论是解答本题的关键.

三、解答题：

17.计算：V12-3tan30o+Q^+2—21

【答案】6

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数事，化简绝对值进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2Q—3X曰+4+2—百

2百-6+4+2-百

=6.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数暴，化简绝对值

是解题的关键.

18.为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1,

2,3,4,分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀.

(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4"的概率是；

(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率.

【答案】⑴:

(2)1

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即

可.

【小问1详解】

解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为工,

4

故答案为：一；

4

【小问2详解】

解：画树状图如下:

共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，

两张卡片上的数字是2和3的概率为—

126

【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率.树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键.

19.如图，在一ABC中，是，ABC的角平分线，分别以点A,。为圆心，大于1A。的长为半径作弧，两弧交

2

于点跖N,作直线MN,分别交AB,AD,AC于点E,O,F,连接。E,DF.

(1)由作图可知，直线MN是线段的

(2)求证：四边形AEZ小是菱形.

【答案】(1)垂直平分线

(2)见详解

【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可直接得出答案；

（2）由题意易得NA5=NAOE=90°,NE4O=N£AO,Ab=£>b,然后可证AOF^AOE,则有

OF=OE,进而问题可求证.

【小问1详解】

解：由题意得：直线MN是线段AD的垂直平分线；

故答案为：垂直平分线；

【小问2详解】

证明：•.•直线MN是线段AD的垂直平分线，

ZAOF=ZAOE=90°,AO=DO,AF=DF,

是一ABC的角平分线，

/.ZFAO=ZEAO,

\"AO=AO,

：.AOF^AOE（ASA）,

OF=OE,

'：AO=DO,

四边形AEDF是平行四边形，

,:AF=DF,

四边形4瓦不是菱形.

【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定，熟练掌握线段垂直

平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定及菱形的判定是解题的关键.

20.某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问

卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部

分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计

图.

学生最喜欢的课程条形统计图

学生最喜欢的课程扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)此次被调查的学生人数为名；

(2)直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)求拓展课程。(劳动实践)所对应的扇形的圆心角的度数；

(4)根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢C(音乐鉴赏)拓展课程.

【答案】(1)120(2)见解析

(3)72°

(4)320名

【分析】(1)先求出B的人数，再将各项人数相加即可.

(2)见解析

(3)根据。的百分比乘以圆心角即可.

(4)求出C所占的百分比，乘以800.

【小问1详解】

解：根据扇形统计图中，B是A的3倍

故喜欢B的学生数为3x12=36(名)

统计调查的总人数有：12+36+48+24=120(名).

【小问2详解】

学生最喜欢的课程条形统计图

【小问3详解】

由条形统计图可知：

。的人数是A的2倍，故。占总人数的20%

所以。所占圆心角为20%x360°=72°

答：课程。所对应的扇形的圆心角的度数为72。.

【小问4详解】

若有800名学生，则喜欢C的学生数有：

48

—X800=320(名)

120

答：有320名学生最喜欢C拓展课程.

【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图相关内容，注意从图中获取信息，分析图中数据之间数量关系是解

题的关键.

21.如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架A8CA铁丝恰好全部用完.

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?

(2)矩形框架ABC。面积最大值为平方厘米.

【答案】(1)的长为8厘米或12厘米.

(2)150

【分析】(1)设AB的长为x厘米，则有40=里匕亘厘米，然后根据题意可得方程史凸•*=144,进而求解

22

即可；

60-3Y3

(2)由(1)可设矩形框架A8C。的面积为S,则有5=二一♦x=--(x-10)9+150,然后根据二次函数的

性质可进行求解.

【小问1详解】

二八Q-V

解：设的长为x厘米，则有AD=—T厘米，由题意得：

2

60-3%

-x=144

-2-

整理得：工2—2。％+96=0，

解得：％=8,々=12,

60-3%_

-------->0,

2

0<x<20,

.•.再=8,%=12都符合题意，

答：AB的长为8厘米或12厘米.

【小问2详解】

解：由(1)可设矩形框架ABC。的面积为S平方厘米，则有：

60-3%33/2

Sc--------x=—x2+30%=—(%—1M0)+150,

222V7

3

—<0,且0<九<20,

2

.•.当x=10时，S有最大值，即为S=150；

故答案为：150.

【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系.

22.如图，四边形A3CD内接于圆。，AD是圆。的直径，AD,的延长线交于点E，延长CB交于点

P,ZBAP+ZDCE=90°.

(1)求证：Q4是圆。的切线；

(2)连接AC,sinZBAC=-,BC=2,A£＞的长为.

3

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】(1)根据圆内接四边形的性质和NBAP+NDCE=90°,可得出NR4E＞=90。，再根据A£＞是圆。的直

径，由切线的判定可得证；

(2)延长。。交A3的延长线于点尸，由A。是圆。的直径，可说明AC*是直角三角形，从而得到

CF1CBCF

sinZBAC=—=—,再证明△FCBSAEAO,得到一=一，代入数据即可得到答案.

AF3ADAF

【小问1详解】

证明：•.•四边形A3CD内接于圆。，

：.ZBAD^ZDCE,

,：ZBAP+ZDCE=90°,

：.ZBAP+ZBAD=90°,

ZPAD=90°,

PA±AD,

1/AO是圆。的直径，

是圆。的切线.

【小问2详解】

解：延长。。交A3的延长线于点

,/AD是圆。的直径，

ZACD=90°,

：.ZACF=180°-ZACD=90°,

ACF是直角三角形，

CF

：.sinZBAC=—,

AF

..•四边形A3CD内接于圆。,

：.ZFCB=ZFAD,

又,:ZF=ZF,

AFCBSBAD,

.CBCF

"AD~AF'

•：sinZBAC=-,BC=2,

3

•2CF1

"AD-AF-3'

：.AD=6.

故答案：6.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角函数

等知识.通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键.

23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数>=履+匕的图象与x轴交于点A,与y轴交于点5(0,9),与直线OC

交于点C(8,3).

(1)求直线AB的函数表达式；

(2)过点C作CD，x轴于点。，将“⑺沿射线平移得到的三角形记为△4'CD',点A,C,D

的对应点分别为A,C,若△A'。'。'与4BOC重叠部分的面积为S,平移的距离。。'=加，当点A，与点

8重合时停止运动.

①若直线C'。'交直线OC于点E,则线段CE的长为(用含有优的代数式表示)；

②当0＜相＜电时，S与机的关系式为；

3

24

③当S=?-时，机的值为.

3

【答案】(1)y=--%+9；

4

(2)①—m-②三"源；③"~或15-2下.

10253

【分析】(1)将点B(0,9),C(8,3)的坐标代入直线解析式，求解即可；

(2)①过点C作CF1CD',易得△5(7s△AOB,可用m表达CP和C亭的长度，进而可表达点C,。的坐标,

由点C的坐标可得出直线OC的解析式，代入可得点E的坐标；

②根据题意可知，当0＜根时，点〃未到直线OC,利用三角形面积公式可得出本题结果；

③分情况讨论，分别求出当0＜根＜丝•时，当竺•〈“zVS时，当5＜机＜10时，当10＜机＜15时，S与机的关系

33

24

式，分别令5=彳，建立方程，求出机即可.

【小问1详解】

解：将点8(0,9),C(8,3)的坐标代入直线y=fcc+6,

,"b=9

"＜8k+b=3,

\=_l_

解得J—4.

b=9

3

直线AB的函数表达式为：y=尤+9；

-4

【小问2详解】

3

①由(1)知直线的函数表达式为：y=--x+9,

4

令y=0,贝ijx=12,

.1.A(12,0),

：.OA=12,OB=9,

：.AB=15；

图1

J.CF//OA,

r

：.ZOAB=ZFCCf

u：ZCFC=ZBOA=90°,

•••△CR7s"03,

AOB：0A：AB=CF：CF：CCf=9：12：15,

*.*CC'=m,

43

CF=—m,C'F=—m,

55

434343

C(8-----m,3+—m),A'(12-----m,—m),Dr(8-----m,—m),

555555

VC(8,3),

3

...直线OC的解析式为：无，

o

43、

.E(8-----m,3------m).

510

33_9_

、.C'E=3+—m-(3------m)-

510"To

9

故答案为：—m.

10

334

②当点。落在直线OC上时，有一根=三(8--m),

585

解得m,

.•.当0＜机〈电时，点。未到直线0C,

3

।]949

止匕时S=—C'E9CF=—•——m9—m=——m2；

2210525,

9

故答案为：—m2.

③分情况讨论，

109

当0<根<一时，由②可知，S=一m2；

325

人。9,242俪、10/人、T2730,―

令S=一机2=一,斛得机=----->一（舍）或相=-------（舍）；

255333

图2

设线段4D与直线OC交于点M,

,8船),

.,.M(—m,

55

3(3」)9

.\DrE=-m-—m-3,

51010

412

D'M=-m-(8----m)—m-8；

555

£12

—m2-3)•(——m-8)

25~2105

18,36

------m~+—m-12,

255

人18,3624

令----m-+—m-12=

2555

整理得，3/"2-30〃z+70=0,

解得或％=15+71?>5（舍）；

33

当5Sn<10时,如图3,

34

BN=—(15-m),A'N=—(15-m),

55

.\S=(15-m)•—(15-m)=-(15-m)2,

25525

624

令石(15-m)2=彳，解得m=15+2J?>15(舍)或加=15-2J?.

故答案为：”二巫或15-2J?.

3

【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、三角形的面积、相似三角形的性质与判定、

一元二次方程、分类讨论思想等知识，根据的运动，进行正确的分类讨论是解题关键.

24.(1)如图，AQB和△COZ)是等腰直角三角形，/4OB=NCO£>=90。，点C在。4上，点。在线段80延

长线上，连接A。，BC.线段与BC的数量关系为

(2)如图2,将图1中的△COD绕点。顺时针旋转&(0。<c<90°)第一问的结论是否仍然成立；如果成

立，证明你的结论，若不成立，说明理由.

(3)如图，若AB=8,点C是线段外一动点，AC=35连接2C，

①若将CB绕点C逆时针旋转90。得到CD,连接AD,则AD的最大值

②若以BC为斜边作RJBCD,(B、C、。三点按顺时针排列)，ZCDB=90°,连接A。，当

NCBD=ND4B=30°时，直接写出的值.

【答案】⑴AD=BC；⑵结论仍成立，理由见详解；(3)①3立+庖，@AD=2j3+--.

【分析】(1)由题意易得40=80,0£)=0。,/幺0£>=/80。=90°,然后可证AAO恒△BOC,进而问题

可求解；

(2)由题意易得40=6。,。。=。。，然后可证进而问题可求证；

(3)①根据题意作出图形，然后根据三角不等关系可得AC+CD之A。，则当A、C、。三点共线时取最大，进

而问题可求解；②过点C作CELA8于点E,连接。E,过点B作于点-然后可得点C、D、B、E四点

共圆，则有NDEB=NDCB=60°,设=y,则AE=8—y,CD==耳，进而根据勾股定

理可进行方程求解.

【详解】解：(1)AD=BC,理由如下：

,/AO5和△CO£>是等腰直角三角形，ZAOB^ZCOD=90°,

：.AO=BO,OD=OC,ZAOD=ZBOC=90°,

:.△AOD^ABOC(SAS),

：.AD=BC,

故答案为AD=BC；

(2)结论仍成立，理由如下：

：AOB和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

AO=BO,OD=OC,

ZAOC+Z.COD=ZBOA+ZAOC,即ZAOD=ZBOC,

：.Z\AOD^Z\BOC(SAS),

：.AD=BC；

(3)①如图,

由题意得：BC=CD,NBCD=90°,

根据三角不等关系可知：AC+CD>AD,

...当A、C、。三点共线时取最大，

ZACB=ZBCD=90°,

'：AB=8,AC=36，

BC=VAB2-AC2=V37，

：.AD的最大值为3石+A/37;

②过点C作CELAB于点E,连接。E,过点B作BfUOE于点E如图所示:

：.ZAEB=ZCDB=90°,

...点C、D、B、E四点共圆，

ZCBD=ZDAB=30°,

：.ZBCD=60°,

：.ZDEB=ZBCD=60°,

：.ZADE=ZDEB-ZDAB=30°,ZEBF=90°-NDEB=30°,

••,ZDAE=ZADE，

AE=DE,

设8C=2x,8E=y,则AE=8—=6，

/.EF=^BE=^y,DE=AE=8-y,

：.DF=DE-EF=S--y,BF=^BE^-EF2=—y>

22'

...在Rt^AEC和RtzXBEC中，由勾股定理得：4x2-/=27-（8-j）2,整理得：4x2=16j-37@；

在RtABED中，由勾股定理得：1―gy）+|/=3%2,整理得：64-24y+3/=3x2@,

联立①②得：12y2—144y+367=0,

解得：％=6-迺=6+避变（不符合题意，舍去），

66

.•4816—返］=2+返，

I6J6

过点E作&于点

AEM=-AE=l+^^-，AM=-AD,

2122

•••AM=#>EM=6+晅，

4

•••AD=2AE=2g+晅.