广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习第9章概率教师用书教案

PAGE1-概率考纲展示考情汇总备考指导(1)事务与概率①了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区分．②了解两个互斥事务的概率加法公式.本章的重点是古典概型概率、几何概型概率的计算，难点是解决概率统计的综合问题，解决古典概型问题的关键是正确地列出试验的基本领件，解决几何概型问题的关键是识别几何概型的类型及其中几何量的计算.(2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事务所含的基本领件数及事务发生的概率.2024年1月T182024年1月T182024年1月T182024年1月T18(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．②了解几何概型的意义.互斥事务、对立事务的概率[基础学问填充]1．频率与概率频率与概率P(A)有本质区分，频率随着试验次数的变更而变更，而概率是一个常数a，是客观存在的，与每次试验无关，当试验次数越来越多时，频率稳定于a.2．事务与事务间的关系(1)事务：在肯定条件下所出现的某种结果称之为事务．(2)事务的类型：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(①必定事务：在肯定条件下必定要发生的事务,②不行能事务：在肯定条件下不行能发生的事务,③随机事务：在肯定条件下可能发生也可能不,发生的事务))(3)事务的关系与运算及概率的基本性质①不能同时发生的两个事务叫做互斥事务．②不能同时发生，但必有一个发生的两个事务叫做对立事务．③事务A发生时，事务B肯定发生，称事务A包含于事务B(或事务B包含事务A)．④若某事务的发生是事务A发生或事务B发生，则此事务为事务A与事务B的并事务(和事务)．⑤某事务的发生，当且仅当事务A发生且事务B发生，则称事务A与事务B的交事务(积事务)．3．概率的基本性质(1)任何事务A的概率P(A)满意0≤P(A)≤1，若A为必定事务，则P(A)＝1.若A为不行能事务，则P(A)＝0.(2)若事务A和B互斥，则事务A＋B的概率满意加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．推广：若事务A1，A2，…，An彼此互斥，则事务A1＋A2＋…＋An的概率P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．(3)若事务A和B对立，则事务A＋B的概率满意加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．留意：若事务A与事务B为对立事务，则A，B必互斥．若事务A与事务B为互斥事务，则A，B不肯定对立．[最新模拟快练]1．(2024·东莞学考模拟题)抽查10件产品，设事务A：至少有两件次品，则与事务A互斥的事务为()A．恰有两件次品 B．恰有一件次品C．恰有两件正品 D．至少有两件正品B[事务“恰有一件次品”与事务A不会同时发生，故选B．]2．(2024·梅州市高一月考)抛掷一颗骰子，事务M表示“向上一面的数是奇数”，事务N表示“向上一面的数不超过3”，事务P表示“向上一面的数是5”，则()A．M为必定事务 B．P为不行能事务C．M与N为对立事务 D．P与N为互斥事务D[由题意知P与N不能同时发生，故选D．]3．(2024·深圳学考模拟题)从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，且已知P(A)＝0.65，则事务“抽到的不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.3C[设“抽到的不是一等品”为事务B，则A与B不能同时发生，且必有一个发生，则A与B是对立事务，故P(B)＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]4．(2024·潮州高二期中)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出2粒都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7) B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1C[易知事务“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事务，故所求的概率为eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).]5．(2024·佛山市学考模拟)袋内装有质地、大小完全相同的6个球，其中红球3个、白球2个、黑球1个，现从中任取两个球．对于下列各组中的事务A和事务B：①事务A：至少一个白球，事务B：都是红球；②事务A：至少一个白球，事务B：至少一个黑球；③事务A：至少一个白球，事务B：红球、黑球各一个；④事务A：至少一个白球，事务B：一个白球一个黑球．是互斥事务的是．(将正确答案的序号都填上)①③[①③中的事务A和B不行能同时发生，为互斥事务．]6．(2024·肇庆市高一期中)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，抽的正品的概率为．0.96[由对立事务概率公式，抽得正品概率为P＝1－0.03－0.01＝0.96.]古典概型的概率[基础学问填充]1．古典概型假如一次试验中全部可能出现的基本领件只有有限个且每个基本领件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型．2．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事务A所包含的基本领件的个数,基本领件的总数)，即P(A)＝eq\f(nA,n).[学考真题对练]1．(2024·1月广东学考)笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，运用后放回笔筒，其次次再从笔筒中随机取出一支笔运用，则两次运用的都是黑色笔的概率为．eq\f(4,9)[给3支签字笔编号分别为1,2,3，其1号和2号为黑色，3号为红色，先从笔筒中随机取出一支笔，运用后放回笔筒，其次次再从笔筒中随机取出一支笔运用，全部的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9种，其中两次运用的都是黑色笔的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4个，则两次运用的都是黑色笔的概率为P＝eq\f(4,9).]2．(2024·1月广东学考)袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是．eq\f(2,5)[P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(1＋3,10)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]3．(2024·1月广东学考)从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率是．eq\f(1,6)[从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张共有6种状况，则所取2张卡片上的数字之积为奇数共有(1,3)，1种状况，故从4张分别写有数字1,2,3,4的卡片中随机抽取2张，则所取2张卡片上的数字之积为奇数的概率为eq\f(1,6).]求古典概型概率的步骤(1)先推断是否为古典概型；(2)确定基本领件的总数n；(3)确定事务A包含的基本领件个数m；(4)计算事务A的概率，即P(A)＝eq\f(m,n).[最新模拟快练]1．(2024·广东省一般中学学业水平考试模拟题)甲班和乙班各有两名男羽毛球运动员，从这四人中随意选取两人配对参与双打竞赛，则这对运动员来自不同班的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(4,3)C[设甲班两名运动员为a，b，乙班两名运动员为c，d，从中任选两人，则共有以下6种可能结果：ab，ac，ad，bc，bd，cd，其中这对运动员来自不同班的结果有4种，故所求的概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]2．(2024·广州学考模拟题)甲，乙，丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)B[甲，乙，丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).]3．(2024·肇庆高一月考)从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)B[从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，一共能构成20个两位数：12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54，其中大于40的有8个，故所求的概率为eq\f(8,20)＝eq\f(2,5).]4．(2024·中山市学考模拟题)在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按肯定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)B[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则全部可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]5．(2024·珠海市学考模拟题)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．eq\f(1,3)[设两个红球分别为A，B，两个白球分别为C，D，从中任取两个球，有如下取法：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种情形，其中颜色相同的有(A，B)，(C，D)，共2种情形，故P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]6．将一枚质地匀称的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是．eq\f(3,8)[试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是eq\f(3,8).]7．(2024·广州市中学二年级学生学业水平模拟测试模拟)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．[解]设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用(x，y)表示抽取结果，则全部可能有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16种．(1)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，共6种．故所求概率P＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为eq\f(3,8).(2)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，共5种．故所求概率为P＝eq\f(5,16).答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为eq\f(5,16).8．(2024·汕头市学考模拟题)某校从参与邵阳市数学竞赛的学生中随机抽取20名学生的数学成果(均为整数)整理后分成六组：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，画出如图所示的频率分布直方图，视察图形的信息，回答下列问题：(1)求这20名学生中分数在[70,80)内的人数；(2)若从成果大于或等于80分的学生中随机抽取2人，求恰有1名学生成果在区间[90,100]内的概率．[解](1)1－0.1－0.15－0.15－0.20－0.05＝1－0.65＝0.35，0.35×20＝7，∴分数在[70,80)内的学生人数为7人．(2)∵0.20＋0.05＝0.25,0.25×20＝5，∴分数大于或等于80分的学生人数有5人，(其中[90,100]内的学生有1人)．设这5人分别为a，b，c，d，e，则从中选2人有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种情形，其中恰有1名学生成果在[90,100]内的有ae，be，ce，de4种情形，∴恰有1名学生成果在区间[90,100]内的概率为P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).几何概型的概率[基础学问填充](1)假如一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，若每个事务发生的概率只与构成该事务区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积).[最新模拟快练]1．(2024·河源学考模拟题)在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为()A．eq\f(7,8) B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,2)A[问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P＝eq\f(\f(4,3)π×23－\f(4,3)π×13,\f(4,3)π×23)＝eq\f(7,8).]2．(2024·梅州市高一期末)从区间(0,1)内任取一个数，则这个数小于eq\f(5,6)的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,6)C．eq\f(5,6) D．eq\f(25,36)C[在区间(0,1)上任取一个数构成的区间长度为1，这个数小于eq\f(5,6)的区间长度为eq\f(5,6)，依据几何概型概率公式可得这个数小于eq\f(5,6)的概率为eq\f(5,6)，故选C．]3.(2024·清远市高一月考)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是eq\f(1,3)，则阴影区域的面积是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(4,3) D．无法计算C[在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事务A，则事务A构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P(A)＝eq\f(S,22)＝eq\f(S,4)＝eq\f(1,3)，解得S＝eq\f(4,3).]4．(2024·肇庆市学考模拟题)当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是()A．eq\f(1,12) B．eq\f(3,8)C．eq\f(1,16) D．eq\f(5,6)C[由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事务“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).]5．(2024·珠海市高一月考)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1，有一动点在此