高考数学一轮复习 第4章 平面向量 第1讲 平面向量的概念及其线性运算学案-人教版高三全册数学学案

第1讲平面向量的概念及其线性运算

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

1.能运用所学向量的有关概念和定理解答相关概2019年预计考查向量

念辨析题和新定义题.概念的判断、向量线性运

2017n线性运算5

2.要求能熟练地在常见平面几何图形中进行相应算、嗔的计算、根据向量共

向量的加法、减法和数乘运算.线求参数值.试迤在求解过

2016I向量垂直5

133.理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则，程中突出向量的“几何

并能灵活应用到解题中.性”，向量的线性运算就是

2015T线性汪算54.共线向量定理是本讲的重点，要重点掌握.图形运算.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的接

(2)零向量：长度为8的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.

规定：。与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向曲反的向量.

考点2向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

交换律：

巴a-\-b=b+a；

求两个a

加法三角形法则结合律：

向量和的运算

(a+b)+c=

a

a+(6+c)

平行四边形法则

求3与，

a~b=a+(—

减法的相反向量一

b)

b的和的运算a

三角形法则

续表

向量运

定义法则(或几何意义)运算律

算

久(〃a)=

14a|=|||a|,

(H〃)a；

求实数4当A>0时，4a与a

(4+〃)a=

数乘与向量a的积的的方向相同;当4V0时.,Ha

^a+Pa；

运算与a的方向相反;当几=0时・，

4(a+b)=

4a二0

Aa+Ab

考点3共线向量定理

向量a(aWO)与6共线，当且仅当有唯一一个实数A,使6=4a.

［必会结论］

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终

—►—►―►—►

点的向量，即44+44+44H---F4-4=44.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量

和为零向量.

―►―►-►

2.若一为线段48的中点，。为平面内任一点，则仍=/(而+如.

［考点自测］

1.判断下列结论的正误.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.()

(2)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()

―►―►―►

(3)为="一仍.()

(4)向量a—6与b—a是相反向量.()

-A-A

(5)向量46与向量仪?是共线向量，则4B,C,〃四点在一条直线上.()

(6)当两个非零向量a,6共线时，一定有6=4a反之成立.()

答案⑴V(2)X(3)V(4)V(5)X(6)V

2.［课本改编］如图所示，在平行四边形4?徵中，下列结论中错误的是()

DC

4B

-►-A—►-A-A

A.AB=DCB,AD+AB=AC

—►―►—►—►-►

C.AB-AD=BDD.AD+CB=0

答案C

—►—►—►-►

解析由AB-AD=DB=-BD,故C错误.

—►—►—►

3.[课本改编]设P是所在平面内的一点，BC+BA=2BP,贝M)

-A--A-A-*■

A.PA+PB=OB.PC+PA=O

―►—►―►—►-►

C.PB+PC=OD.PA+PB+PC=Q

答案B

—►—►—►-A-►

解析•:BC+BA=2BP,・•・P为“'的中点，・・・/T+44=0.选B.

4.[2018•温州模拟]已知a与6是两个不共线向量，且向量a+4b与一(6-3a)共线,

则4=.

答案-I

解析设a+4b=4]—(b—3a)]=3而一AZbAl=3/r,且X=—A,/.A=—

5.[2015•北京高考]在△力比中，点也4满足⑷7=2,梃；BN=NC^MN=xAB+yAC,则

:y-

11

辔案_

---

26

解析由题中条件得加¥=掰，+0¥=；力。+；0?=[力。+^(4?—=]:AB—^AC=xAB-\~yAC,

所以x—^,y=—1.

板块二典例探究•考向突破

考向平面向量的概念

例1给出下列命题:

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;

②若a与6共线，6与c共线，则a与c也共线;

③若4B,C,〃是不共线的四点，则则/时为平行四边形；

④a=b的充要条件是Ial=6且@〃6；

⑤已知4,〃为实数,若入a=Nb,则a与，共线.

其中真命题的序号是.

答案③

解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不

一定有相同的起点和终点.

②错误，若6=0,则a与c不一定共线.

—►—►—►—►—►-►

③正确，因为4B=DC,所以I4剧=|比1且力勿如：又4B,C,〃是不共线的四点，所

以四边形4?必为平行四边形.

④错误，当a〃。且方向相反时，即使|a|=b\,也不能得到a=6,所以|a|=引且a

〃b不是a=6的充要条件，而是必要不充分条件.

⑤错误，当儿=〃=0时，a与6可以为任意向量，满足入a=口b,但a与6不一定共

线.

故填③.

触类旁通

对于向量的概念应注意的问题

(1)向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向线段表示，字母表示，也可

以用坐标表示.

(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向

量则未必是相等向量.

(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可

以比较大小.

(4)向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是等价的.

【变式训练1】设&为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则@=

a-a,；②若a与国平行，贝!]a=aa；③若a与为平行且|a|=1,则a=a>.假命题的个

数是()

A.0B.1C.2D.3

答案D

解析向量是既有大小又有方向的量，a与的模相同，但方向不一定相同，故①

是假命题；若a与国平行，则a与&的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a

=一|司&,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

考向图平面向量的线性运算

丫命题角度1…向量加减法的几何意义

例2[2017•全国卷H]设非零向量a,6满足|a+〃=a—引，则()

A.aLbB.|a|=|J6|

C.a//bD.\a\>\b\

答案A

解析解法一：:|a+6|=|a—引，

Ia+b|2=|a—b\2.

/.a'+1)+2a•b—a+1)-2a•b.

:・a•b=0.*.aA.b.

故选A.

解法二：利用向量加法的平行四边形法则.

在口/版中，设/4=a,AD=b,

-A-A

由|a+6|=a—b知|力C|=,

从而四边形/筋为矩形，即4夕,力〃，故aJ_b.

故选A.

‘命题角一度2…向量的线性运算

-►-A

例3[2015•全国卷I]设〃为△力比'所在平面内一点，BC=3CD,则()

—►—►—►—►—►-►

1.414

A.AD=^^AB+~ACB.AD=-^AB—^AC

—►—►—►—►—►—►

4.141

C.AD=-AB+-ACD.AD=-AB--AC

oO,J

答案A

―►—►—►—►―►—»—>

解析AD=AC+CD=AC-V\BC=(AC-

O«J

—►―►—►—►-►

AB)~^AC—\AB^=-故选A.

?施题角度.3…利用血.量的线性运算求参数

例4[2018•唐山模拟]在直角梯形4灰力中，N/l=90°,N6=30°,AB=2小,BC

—►—►-►

=2,点£在线段CD上,若AE=AZ口AB,则口的取值范围是.

答案

乙

—►-A

解析由题意可求得4=1,CD=y[3,所以48=2%

•..点£在线段CD上,

:.DE=4WD.

—►—*—►

♦：AE=AD+DE,

—►―►―►—►—►-►

2〃f

又AE=AD+uAB=AD+2UDC=AD+FN

4DE

2〃A1

・・・F=1,即〃=丁.•・・()<aWl,zz^-

触类旁通

平面向量线性运算的一般规律

(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、

数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理.

(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角

形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化

为与已知向量有直接关系的向量来求解.

考向3共线向量定理的应用

例5设份，e是两个不共线的向量，已知4?=2eL8e,G?=ei+3e>,CD=2e\—e2.

⑴求证：A,B,〃三点共线;

②若BF=36-ke,；且8,D,尸三点共线，求A的值.

解(1)证明：由已知得加一⑶=(2自一ej—(8+3金)=①一4会,

•."=2e,—8e；,:.AB=2BD.

又西做有公共点B,

：.A,B,〃三点共线.

―►

⑵由⑴可知8〃=a-42,

-A

♦.•以=3&—生，且6,D,尸三点共线，

—►—►

：.BF=ASR),

4=3,

即3a—在食=e,—4He”得｛解得k—i2.

A=—4A.

触类旁通

怎样用向量证明三点共线问题

两向量共线且有公共点(起点相同或终点相同，或一个向量的起点是另一个向量的终

点），则可以得到三点共线；反之由三点共线也可得到向量共线.

【变式训练2】已知0,A,8是不共线的三点，且0P=m0A+n0B5,nGR).

(1)若加+〃=1,求证：A,P,6三点共线；

(2)若4P,8三点共线，求证：应+〃=1.

证明(1)若勿+〃=1,

—►—►―►—►—►-►

则0々加以+(I-®)0B=0B+m{0A-0B),

—►—►―►—►

：.0P-0B^m{0A-0B),

-A-A-A-A

即切，，露与物共线.

----►-A

又•.•征与物有公共点反P,8三点共线.

—►—►

(2)若4P,6三点共线，存在实数4，使影=4胡，

-►-►—>—►

：.0P-0B=A(0A-0&.

----►----►-A

又0P=m0A+n0B.

—►―►—►-►

故有mOA+(〃-1)0B=A0A-AOB,

―►-►

即(zff-A)0A+(n+/一1)施=0.

-A—►

'：O,A,6不共线，...a),如不共线，

m-4=0,

••,••R+n^~1.

n+4—1=0,

z------------------------------------------IG幺师笔记・心朋领悟I-----------------------------------------------------------------

IMi\<;sinni,iiC<XciinNAUM^FLi

核心规律

1.向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平

行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论.

2.对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与6所在的直线

平行或重合.

3.要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b=Aa,再结合条

件或图形有无公共点证明几何位置.

。满分策略

1.两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和

终点.

2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定，但方向不确定.

—»-►

3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系.向量4?与切是共线向量，但4

B,C,〃四点不一定在一条直线上.

4.向量共线的充要条件中要注意“a#0”，否则4可能不存在，也可能有无数个.

板块三启智培优•破译高考

易错警示系列6-—向量线性运算中的易错点

—►—►—A—►—►

[2018•铁岭模拟]已知△45C和点"满足物+物+加-0.若存在实数m使得

—►

成立,则朋=()

A.2B.3C.4D.5

错因分析本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义.求解该题时容易出

现两个问题：一是不能根据也+，监+J心=0分析出点材与△48C之间的关系；二是不能灵活

―►―►—►

利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出4?,4C与4R间的关系.

—►—►-►

解析解法一：由始+刈+攸、=0,知点，"为的重心，设点〃为边比1的中点，则

由向量加法，可知

2

由重心的性质,可知|掰="|4〃可

O

2

而且力/与力洞向,故力沪=鼻力〃，

O

―►―►—►―►—»

211

所以4Q三=可（力5+4。,

J乙O

—►—►-►

所以44+AC=3AM,m—3.故选B.

-►-A-A—>-A

解法二：由已知得4犷+MB+AM~\-MC—inAM,

—►—►—►—►―►―►

又,：MB+MC=~MA=AM,：.3AM=/nAM,

...〃/=3.故选B.

答案B

答题启示进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点

出发的基底或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.充分利用相等向

量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

,跟踪训练

―►—►—►-►

在△?（玄中，点〃在边面的延长线上，旦CD=4BD=rAB—sAC,则s+r等于（）

48

A.0B.7C.-D.3

□J

答案C

―►—►—►―►―►—►-►—►—►—►-A-A

解析因为切=4M所以切=疑又因为331C,所以徵腑-阳=^AB-^AC,

48

所以r=s=Q,s+r=Q.

板块四模拟演练•提能增分

[A级基础达标]

1.[2018•南京模拟]对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a〃b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若a+Z>=0,则a=-6,所以a〃"若a"b,则a=48,a+Z>=0不一定成立，

故前者是后者的充分不必要条件.故选A.

—►—►-►

2.已知。A,B,，为同一平面内的四个点，若24?十应=0,则向量比等于（）

-►—►―►—►

211.2

A.-OA--OBB.--OA+-OB

OOOO

―►—►—►-►

C.20A-0BD.-0A+20B

答案C

―►—►—►—►—►―►—►―►―►—►—►—►―►—►

解析因为力仁弘一处,CB^OB-OC,所以2然+加2（g-如）+（如一。0=纺-2力

―►―►—►—►

+OB=0,所以口：=22一如故选C.

3.[2018•嘉兴模拟]已知向量a与。不共线，且ZlQ/a+6,AC=a+ub,则点力，B,

，三点共线应满足（）

A.4+〃=2B.4—〃=1C.A.u——\D.

答案D

—►—►

解析若凡B,C三点共线，则即4a+b=*（a+〃A）,所以Aa+b=ka+

Ukb,所以A=kt1=uk,故A〃=1.故选D.

4.设〃E,夕分别为的三边比；CA,4?的中点，则所用=()

-A--►—>-A

A.ADB.^ADC.BCD.^BC

答案A

―►—►—►—►—►—►—►―►—►

解析EB+FC=^(48+CB)+1(Jf+BO=|{AB+AC)=/〃故选A.

5.在四边形4阳9中，AB=a+2b,BC=~4a-b,G9=-5a-36,则四边形48（6的形

状是（）

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

答案C

解析由已知得，AD=AB+BC+CD=a~\-2b—4a~b~5a—3Z>=—8a—26=2（—4a—b）

-►—►―►—►-►

=2BC,故况:又因为4?与切不平行，所以四边形45（力是梯形.故选C.

—►—►—►

6.[2018•北京海淀期末]如图，在正方形/及力中，£为国的中点，若AE=XAB+uAC,

则八+〃的值为（）

------------；-----------y\C

/;

1-1

--

2C

JX

1B.1

D.-

A.

C.案

答A

1

解析因为£为人的中点，所以4c=46+加=%6+5即4£=

2J

AC,所以A=-"=1，所以4+〃=称故选八.

7.[2018•绵阳模拟]在等腰梯形被笫中，"=一2微M为比的中点，则加/=（）

B.汕+5。

―►-►

D.56+汕

答案B

解析因为m-2CD,所以AB=2DC又M是外的中点，所以4T=^{AB+AD

8.若点。是△/8C所在平面内的一点，且满足|仍一0。=1仍+夕一2a1|,则△/优■的

形状为.

答案直角三角形

-►-A-►-A-A->-►—>-A-A—A-►-A-A—A

解析因为0B+0C—20A=0B—0A+0C-04=AB+AC,OB-0C=CB=AB-AC,所以|48+

—►—►—►—►—►—►-►

AC\=|AB-AC\,即45•47=0,故/员L/C,为直角三角形.

12

9.[2018•江苏模拟]设〃，£分别是△被7的边被回上的点，AD=-AB,BE=qBC.若

-A-A-A

DE—\AB-\~i,X2为实数)，则几1+42的值为________.

1

答案5

乙

―►-►—>—>―►-►—►—►—►—►—►―►—►

解析DE=DB+BE=^AB^BC=^AB^AC-AB)='：DE=AxAB+A2AC,

121

/.1=-42=耳，故儿+42=5.

O,5/

-►—►—►―►

10.△/仇7所在的平面内有一点?，满足为+即则△必7与的面积之比

是.

依人,2

答案可

—►—►―►—►—►—►―►—►―►―►―►—►

解析因为PA+PB+PC=AB,所以PA+PB+PgPB—PA,所以AC=即P

ocpro

是IC边的一个三等分点，且/r=&c,由三角形的面积公式可知，浮=穿=*

o/ICo

[B级知能提升]

1.[2018•福建模拟]设"为平行四边形对角线的交点，。为平行四边形/腼所

在平面内任意一点，则勿+仍+%+a）等于（）

A.OMB.20MC.30MD.4QI/

答案D

—►—►—►―►—►—►—►―►―►—►-►

解析0A+0B+0C+0D=