高中数学基本不等式教学设计

《§根本不等式》的教学设计

XX八二一张智云

教材：人教版高中数学必修5第三章

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

《根本不等式》选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不

等式的性质”、”一元二次不等式及其解法〃及“二元一次不等式〔组）与简单的线性规划

问题〃的根底上对不等式的进一步研究。在探究根本不等式内涵和证明的过程中，能够培养

学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的

过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成

严谨的思维方式。在知识题系中起着承上启下的作用，为研究最值问题以及不等式的证明作

铺垫，同时在生活及生产实际中也有着非常广泛的应用。

（-）教学重点和难点

重点：1.应用数形结合的思想理解根本不等式；

2.从不同角度探索根本不等式J石W空的证明过程；

2

3.掌握根本不等式的结构特征及其使用条件。

难点：1.建立不等式模型划归为根本不等式；

2.用根本不等式求最大值和最小值。

二、教学目标

（一）知识与技能

1.掌握根本不等式的结构特征及其使用条件；

2.会用根本不等式解决简单的实际问题〔注重建模过程）

（二）过程与方法

1.通过探究“数学家大会的会标〃及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两

个根本不等式，

2.了解根本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学

生形成数形结合的思想意识；

3.进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对根本不等式的理解和认识，提高学生

逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

4.通过例题让学生学会用根本不等式求最大值和最小值。

〔三）情感态度与价值观

让学生亲身体验数学规律的发现和应用过程,深切感受到我国数学科学的悠久历史和深

厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和开展做出的卓越奉献，激发学

生喜欢数学，学好数学的热情。同时起到对学生的爱国主义教育，增强学生的名族自豪感。

三、教学方法

启发式与探究式相结合

四、教学工具

多媒体课件

五、教学过程：

（一）情景引入，激发兴趣

下列图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。

通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及

我国的数学成就对世界数学文明的影响和开展做出的卓越奉献，激发学生喜欢数学，学好数

学的热情。

■CM2CC2

Beijing

August20・28,2002

探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，该图给出了

迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，表达了以形证数、数形结合的思想。将代数

与几何紧密的结合在了一起。

【设计意图】

1.培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出根本不等式的雏形，

进而逐步发现根本不等式的本质和成立条件。

2.鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解根本不等式

的实质。

师：从图形上你能观察到了什么？

生：边、角、三角形、正方形

师:我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？

生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。

师：那么面积之间又有怎样的关系呢？

生：大正方形面积/+〃，四个直角三角形面积2ab,并且/+。2〉24〃。

师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？

生：还会相等。a=6时会相等。

［教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。）

结论：a2+b2?2ab〔当且仅当a=0时取等号）

师：你能给出证明吗？〔此问题学生口述即可）

生：由♦+/?2",则一2曲？0D（«-b）2?0恒成立。则a=b时取等号。

师：一般的我们都用。，〃表示，那么假设将上式中的a,b换成0,4b,你又会

得出什么结论？如何证明？

【设计意图】

用代数的方法证明根本不等式，进而使学生加深对根本不等式的理解，理解根本不等式

中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳根本不等式

运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。

生：a+b?2s/ab（aQ,b＞0）当且仅当时取等号。

师：很好，还可以写成

0,。＞0）,如何证明这个结论成立呢？

2

生投影展示：要证土J法，只要证a+6?2j茄，只要证a+6-2J茄？0,只要

2

证（--布）2?0,显然式子成立，当且仅当a=6取等号。

师：这样我们又一次得到了根本不等式。根据以上证明学生已经根本了解了根本不等式

的形式

和推导方法，同学们是否真正理解了根本不等式的含义。

探究二：如右图，是圆的直径，点。是上的一点，AC=a,3C=b。过点C作

垂直于的弦£）£,连接A。、BD。你能利用这个图形，得出J拓？学（a0力＞0）

的几何解释吗？

【设计意图】

对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证

形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代

数结论。

（学生口述证明过程，教师给以引导）

证明：因为D1CD〜DBCD,所以CD=J拓。

由于CD小于或等于圆的半径，

用不等式表示为J茄？（a0力＞0）

显然不等式当且仅当点C与圆心结合,

即当a=6时，等号成立

结论：〔教师投影展示学生口述结果）

益是a、匕的几何平均数，上是。、〃的算术平均数。

2

代数解释是几何平均数不大于算术平均数。

几何解释为半弦不大于半径。

师：以上利用代数法和几何法推导根本不等式，过程详细，内容明确，学生们对根本不等

式理解了吗？我们来看看以下几个问题是否正确？

例：判断对错

(1)由。,biR,则a+b?。()

[2)假设x<0,则x+工？2。〔)

X

(3)当。吸0时，色S3而。〔)

2

(4)函数y=%+工的最小值为2.()

x

【设计意图】

考查学生对所学知识点掌握的情况，是否真正理解了根本不等式并能注意运用公式时需

要注意的条件，从而真正意义上理解不等式的含义。

〔学生先独立思考，组内再探讨，最后小组派代表解答。)

师：根本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具，看下面的例

题。

合作探究：下面两道例题都由学生先独立完成，然后组内探讨，最后组内出代表完成。

例：[1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多

少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？

【设计意图】

1.总结归纳利用根本不等式求最值问题，实现积与和的转化。

2.培养学生在实际生活中对不等式的感性认识提炼为理性认识的过程，感受不等式和

生活的紧密联系和指导意义。

解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则孙=100,篱笆的长为2(x+y)m.

由三?3而，可得x+y?2j丽，2（x+y）?40。等号当且仅当x=y时成立，此

时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40nl.

师：完成此例题你有什么发现？

生：乘积是定值的时候，和取最值，并且为最小值。

师：很好，那总结个规律该怎么说呢？〔学生尝试说，最后教师完善〕

结论1：积定和最小。

师：看看下面这道例题，你又会得到什么结论呢？

12）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园

的面积最大.最大的面积是多少？

解：设矩形菜园的长为xm,宽为ym,则2（尤+y）=36,x+y=18,矩形菜园的

面积为呼rtf.由?工；.=9,可得xy£81,

当且仅当无=丁，即尤=y=9,等号成立。

因此，这个矩形的长、宽都为9nl时，菜园的面积最大，最大的面积是

师：此题做完你又有什么想法呢？

生：和定积最大。〔由上面的题引导学生会很快得出结论）

师：由上面例题，同学们，能总结一下运用根本不等式解题需要满足的条件吗？（根据

前面学习学生会说出至少两点）

生：a力都为正数，取最值的条件是a=6

师：例题中运用公式取到最值的前提必须有什么？（通过教师引导学生会想到定值〕

生：有一个是定值。

师：好，那我们给运用根本不等式满足的条件一个口诀吧？

（生尝试去说，但不一定简便，但用自己的思维方式说印象会更深）

师：~■正、二定、三相等。

师：那我们如何运用根本不等式都能求哪些最值得题型呢？下节课我们再研究。

五、课堂总结

1、本节课你学到了什么？

2、你还有哪些疑问？

【设计意图】通过提问让学生在头脑中形成自己的知识体系，自己总结检验本节课的听

课效果，是否还有自己没听懂的问题一下就清楚了。

六、课后作业

教材P113练习1、2、3.习题A组2、3

【设计意图】稳固训练本节课学习内容并且给学生一个完整的独立思考，自主学习的时

机。

七、教学设计说明

不等式对高中的学生来说不陌生，但根本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学

教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应

手。