《压力管道技术》 第六章 管系静应力分析

管道工程工艺标准规范做法相关

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二零XX年XX月XX日

压力管道技术

目录

第一章绪论.................................................................1

第一节压力管道的特点...................................................1

一、压力管道的定义及分类..............................................1

二、压力管道的特点....................................................2

第二节压力管道的研究范畴..............................................3

一、设计...............................................................3

二、制造...............................................................7

三、安装...............................................................7

四、应用（运行）.......................................................8

第三节压力管道的基本要求..............................................8

一、安全性.............................................................9

二、经济性.............................................................9

第二章应用标准体系.........................................................11

第一节国际上常用的标准体系............................................11

一、德国及前苏联应用标准体系..........................................11

二、美国及日本应用标准体系............................................12

三、国际标准化组织的应用标准体系......................................14

四、英国及法国应用标准体系............................................14

第二节国内常用的标准体系..............................................15

一、石化行业应用标准体系..............................................15

二、化工行业应用标准体系..............................................16

三、机械行业应用标准体系...............................................17

四、中国国家应用标准体系..............................................17

第三节常用压力管道应用标准配伍表......................................19

附录F2-1常用的管子标准及其外径尺寸对比..............................21

第三章材料.................................................................22

第一节金属材料基本知识（一）..........................................22

一、金属的微观结构....................................................22

二、金属材料的基本性能................................................28

三、温度对金属材料性能的影响..........................................30

四、常见元素对金属材料性能的影响......................................32

第二节常用金属材料....................................................36

一、常用黑色金属材料..................................................37

二、常用有色金属材料..................................................43

第三节石油化工生产过程中常见的腐蚀环境................................44

一、常见的腐蚀类型及定义..............................................44

二、常见的几种腐蚀介质................................................48

三、常见的几种腐蚀环境................................................52

第四节压力管道常用金属材料的基本限制条件..............................54

一、一般限制条件.......................................................54

二、常用材料的应用限制................................................56

三、其它方面对材料的限制..............................................57

第五节常用非金属材料..................................................58

一、常用工程塑料及其衬里管............................................59

二、常用橡胶衬里管子..................................................62

三、其它非金属及其衬里管子............................................63

四、非金属材料及其衬里的设计与施工....................................63

附录F3-1常用金属材料的物理参数......................................66

第四章管道压力等级........................................................69

第一节设计条件........................................................69

一、设计压力..........................................................69

二、设计温度..........................................................70

第二节影响管道压力等级确定的因素......................................71

一、影响公称压力等级确定的因素........................................71

二、影响壁厚等级确定的因素............................................71

第三节压力等级的确定方法..............................................74

一、管道压力等级确定的原则............................................74

二、公称压力等级的确定方法............................................75

三、壁厚等级的确定方法................................................76

第四节特殊管道元件的强度设计..........................................77

一、法兰强度设计......................................................77

二、常用非标准管件的壁厚确定..........................................84

三、管道的开孔补强....................................................86

附录F4—1常用垫片的比压力y和垫片系数m......................................................90

附录F4—2盲板或平盖封头的计算直径和结构特征参数.....................91

第五章管道元件应用........................................................92

第一节管子............................................................92

一、焊接钢管..........................................................92

二、无缝钢管..........................................................93

三、复合管和衬里管....................................................95

四、其它类管子........................................................95

第二节管件.............................................................96

一、连接型式..........................................................96

二、对焊管件..........................................................97

三、承插焊和螺纹连接管件..............................................98

四、其它管件..........................................................100

第三节法兰及紧固件.....................................................101

一、法兰..............................................................101

二、螺栓/螺母........................................................102

三、垫片..............................................................102

四、盲板、8字盲板、限流孔板和混合孔板................................103

第四节阀门及其它管道设备...............................................104

一、对阀门的一般要求..................................................104

二、闸阀、截止阀、止回阀..............................................107

三、蝶阀、球阀、疏水阀................................................107

四、仪表调节阀和安全阀................................................108

五、其它管道设备......................................................108

第六章管系静应力分析......................................................110

第一节静力分析的基础知识..............................................110

一、基本概念..........................................................110

二、管道元件变形的几种基本型式........................................112

三、强度理论...........................................................118

四、强度分析...........................................................124

第二节管系静应力的计算与评定..........................................128

一、管系静应力分析的目的及任务........................................129

二、管系静应力的分析方法..............................................130

三、ANSI简单判断法...................................................131

四、CAESARII详细应力分析法..........................................132

第三节管系的热胀及柔性设计............................................140

一、热膨胀的概念.......................................................141

二、管系柔性的概念.....................................................143

三、影响管系柔性的因素.................................................144

四、管系的柔性设计.....................................................145

附录F6—1常用管件的应力增强系数和柔性系数............................149

第七章管系动应力分析.......................................................151

第一节机械振动理论.....................................................151

一、基本概念...........................................................151

二、机械振动研究的目的和方法..........................................152

三、机械振动理论.......................................................152

第二节往复压缩机管道的振动分析与设计..................................158

一、第一振系的分析与设计..............................................159

二、第二振系的分析与设计..............................................160

三、第三振系的分析与设计..............................................163

四、第五振系的分析与设计..............................................166

五、管道振动设计的其它问题............................................167

第三节其它常见的管道振动设计..........................................168

一、两相流介质呈柱塞流时引起的管道振动分析及设计......................168

二、水锤引起的管道振动分析及设计......................................168

三、介质涡流引起的管道振动分析及设计..................................169

四、转动机械动不平衡引起的管道振动分析及设计..........................169

五、风载荷引起的管道振动分析及设计....................................169

六、地震载荷引起的管道振动分析及设计..................................169

第四节管道的低循环疲劳破坏及设计......................................170

一、基本概念...........................................................170

二、低循环疲劳的分析与计算............................................172

三、低循环疲劳设计时应注意的问题......................................174

附录F7—1常见材料的设计疲劳曲线......................................175

第八章管道支撑.............................................................179

第一节概述.............................................................179

一、管道支吊架的分类...................................................179

二、支吊架的结构组成...................................................181

第二节支吊架的型式选用.................................................183

一、一般选用原则.......................................................183

二、常用支吊架型式及其选用............................................184

三、弹簧支吊架.........................................................192

第三节支吊架的位置确定.................................................197

一、支吊架位置确定的原则..............................................197

二、管道允许跨距的确定.................................................199

第四节支吊架的载荷计算及强度设计......................................202

一、载荷的分类及计算..................................................202

二、管道支撑件的强度设计..............................................206

第九章采购与制造...........................................................209

第一节金属材料的基本知识（二）........................................209

一、冶炼方法及其对材料性能的影响......................................209

二、加工变形及其对材料性能的影响......................................211

三、热处理及其对材料性能的影响........................................213

第二节检测技术.........................................................219

一、化学成分分析.......................................................219

二、机械性能试验.......................................................220

三、耐腐蚀性试验.......................................................222

四、宏观组织检验.......................................................223

五、微观组织检验.......................................................226

六、无损检测...........................................................227

第三节管道及其元件的常用制造方法......................................231

一、铸造...............................................................231

二、压力变形加工.......................................................234

第四节管道元件的采购和技术要求........................................237

一、编写询标技术文件..................................................237

二、参加技术谈判.......................................................238

三、编写订货技术文件..................................................240

四、中间技术资料确认..................................................241

附录F9—1常用的检查试睑标准..........................................242

附录F9—2布氏硬度、洛氏硬度和维氏硬度对照表..........................243

第十章施工安装.............................................................244

第一节金属焊接的基本知识（一）........................................244

一、金属焊接的分类....................................................244

二、电弧焊接过程的金属理论............................................247

三、焊接接头缺陷.......................................................251

四、焊接接头的检查与试验..............................................254

第二节金属焊接的基本知识（二）........................................256

一、焊接技术...........................................................256

二、常用材料的焊接....................................................261

第三节常用压力管道施工规范介绍........................................264

一、适用范围及管道分类................................................264

二、管道及其元件安装前的检查..........................................265

三、管道的焊接与检验..................................................266

四、管道的压力及密封试验..............................................268

第四节设计人员在施工中的任务..........................................270

一、设计文件的技术交底................................................270

二、处理施工中与设计有关的技术问题....................................271

二、一些常见的施工问题................................................271

附录F10-1常用管道焊接坡口型式及尺寸................................274

附录F10—1常用管道施工标准..........................................276

第十一章运行使用...........................................................277

第一节运行前的检查....................................................277

一、竣工文件检查.......................................................277

二、现场检查...........................................................281

三、建档、标识及数据采集..............................................283

第二节运行中的检查和监测..............................................285

一、运行初期检查.......................................................285

二、巡线检查及在线监测................................................287

三、末期检查及寿命评估................................................287

第三节压力管道事故的呈报及分析........................................289

一、压力管道事故的呈报................................................289

二、压力管道事故的分析................................................289

三、工程引例...........................................................291

第六章管系静应力分析

管道力学是压力管道技术的又一重要分支，它是研究管道系统元件在受力情况下强度可靠性的一门技术。工程上在研究

管道强度可靠性的同时，尚应符合工程特点，并应做到经济合理。根据管道所受的外力是否随时间变化可将管道力学研究分

为管道系统静应力分析和管道系统动应力分析两大类。根据工程上实用的内容和专业上的分工，又常将管道力学研究的内容

分为管道及其元件强度计算、管道系统应力分析（包括静应力分析和动应力分析）和管道支撑三部分。管道及其元件的强度

计算按惯例归属管道材料专业，并已在第四章中进行了介绍。管道的支撑设计一般由管道设计专业完成（个别大型管道支撑

除外），并将在第八章中介绍。管道系统应力分析一般由管道机械专业来完成，并将在本章和第七章中介绍。本章介绍管道

系统的静应力分析，并着重从有关的基础知识、计算方法以及设计方法等方面进行介绍。

其实，有关管道力学方面的知识在一些手册和专著中都有不失为详细的介绍。但对于目前众多的压力管道设计人员来说

,这些手册和专著对管道力学基础知识方面的介绍显得不够，而工程应用方面又介绍的较为琐碎，既不便于他们对有关知识

的掌握，又不便于对有关的工程规定进行更深的理解。本书则试图在克服上述两个不足方面做些工作，力求给读者一个简单

明了又便于理解的介绍。对于不太常用的内容或在常用手册和专著中已经有详细介绍的内容，本书则进行了简略，有兴趣深

入研究的读者可参阅有关专著和手册。

第一节静力分析的基础知识

静力是指不随时间而变化的力。在压力管道所承受的众多载荷中，大多数都属于静载荷（即静力）。工程上实际应用的

压力管道所承受的静载荷种类是比较多的，常见的有介质的内压、管道元件的自重、管道内的介质重量、管道外的隔热材料

重量、管道的热胀和位移载荷等。这些载荷作用于管道上的特点和方式是不同的，因此它们对管道强度的影响特点也不同，

由此也导致了管道力学研究的复杂性。为了便于理解，本节中在介绍几个力学基本概念之后，先从简单情况下的受力变形及

强度计算开始介绍，然后再切入复杂应力状况下的受力变形及强度计算的介绍。

一、基本概念

管子及其元件若受到外部载荷的作用，当外部载荷较小时，它能够正常工作，但若受到的外部载荷较大且超出某一极限

值时，管子及其元件可能发生断裂、爆破或较大的变形而不能正常工作。管子及其元件因受载荷过大而导致的断裂、爆破等

损坏称之为强度破坏。换句话说管子及其元件的强度是指它在载荷的作用下抵抗断裂、爆破的能力。同理，管子及其元件因

受载荷过大而导致的过度变形使其不能正常工作，通常称之为刚度破坏。换句话说，管子及其元件的刚度是指它在载荷的作

用下抵抗变形的能力。管道力学研究的任务就是寻找使管子及其元件不发生强度破坏或刚度破坏时能承受的最大载荷，并在

保证满足强度和刚度要求的前提下，以最经济为原则来选择合适的管子元件材料、壁厚、空间结构等。在实际的工程设计中

,管子及其元件因刚度不够而破坏（失效）的情况较少，故这里不作重点介绍。

众所周知，管道及其元件能够承受的最大载荷除与材料本身的物理性能（如材料的强度和刚度）有关外，还与其规格

尺寸、壁厚、结构形状、空间布置等有关。而管道及其元件的破坏实质上是反映了材料物理性能的破坏，即受力超出了材料

的强度或刚度指标。那么如何将管道元件的受力与材料的物理性能指标挂上钩呢？即如何来消除管道元件的规格尺寸、壁厚

、结构形状等因素的影响而直接以材料的性能指标（。口0s、中、6、Ak等）作为设计判据呢？为此我们引入应力的概念

o应力是指材料单位面积上的力。它避开了管子及其元件规格尺寸、壁厚等因素的影响，只要外部载荷使材料产生的应力超

出材料本身的强度指标，即认为管子及其元件将发生强度破坏。

对于一个平面或空间管道来说，在载荷的作用下，其各点的应力是不相同的，即使在管道的同一个截面上，不同的点

其应力值也有差别。这些概念在下面的介绍中将会看到。为了求解出各点的应力，不妨假想用一个截面将管子及其元件剖开

,那么剖切截面上所受的力称之为内力。内力是反映材料内部各部分因相对位置改变而引起的相互作用力。根据力学的基本

原理，对于理想弹性体，其内力与外力是平衡的。根据这个平衡关系，可以求解管子及其元件（以下为了简化叙述，仅以管

子为例）各截面上的内力。求解出这个内力后，应力则随之可以求出，即：

o平=F/A

式中：。产一管子中某截面上的平均应力，MPa；

F…管子某截面上所承受的内力，N；

2

4—管子某截面的受力面积，mm0

为了进一步消除面积的影响，将所取面积无限缩小，当面积A趋于零时，即可得到某点的应力。：

「AFdF

a=lim-----=——

AAdA

通常所说的应力一般是指某点的应力。

因为力F是一个矢量，故应力。也是一个矢量。常将垂直于截面的应力叫做正应力，用。表示。平行于截面的应力叫剪

应力，用T表示。正应力和剪应力引起材料破坏的形式是不相同的。

为了便于研究，假想从管子上的任一部分取出一个边长为的正方体，当趋于零时，可认为在单元体上各点的力

和应力是均匀分布的，通常将这样的几何体叫做微型单元体（简称微元）。微元在应力的作用下，会发生变形。通常将微元

各边的单位变形量叫做线应变（简称应变），即有：

「AUdu

£-hm=——

AXdx

式中:"一管子中某微元上在某一方向上的线应变；

AU--管子中某微元上在某一方向上的总变形量，mm；

△X--管子中某微元的边长，mm；

同理,通常将微元某角度的改变量/叫做剪应变或角应变。一般情况下，正应力引起微元的线应变，剪应力引起微元的角应

变。

如果微元仅发生弹性变形，即将微元上的应力控制在材料的比例极限内，那么根据虎克定律可以得到应力与应变的关系

为：

o=E.£,T=G.r

式中：。和r分别表示微元的正应力和剪应力，MPa；

£和r分别表示微元的线应变和角应变；

E和G分别表示材料的拉伸弹性模量（简称弹性模量）和剪切弹性模量，MPa；。

对一般的弹性材料来说，在它受拉伸变形的同时，往往会伴随着横向收缩变形。以一根园棒为例，当它受拉伸长时，

模截面会缩小。试验证明，园棒的拉伸伸长量和横向收缩量在材料的比例极限内成正比，而且二者的比值是一常数，通常称

这个常数为材料的泊松比。即：

式中：〃一•材料的泊松比。对于工程上常用的材料，其〃比0.33；

£微兀的横向应变；

£--微兀的轴向应变；

对于各向同性材料来说，可以证明（证明略）E、G、〃三个弹性常数之间存在如下关系：

G=---

2（1+〃）

在建立了内力、应力、应变的概念之后，可以这样设想：如果能找到管子中哪一点的应力或应变值最大，并能够求出这

个最大值的话，就可以拿它与材料的相应物理指标作比较，并由此来判断材料的强度是不是足够的，或者说管子是不是安全

的。

多年的实践经验告诉我们，管道力学的一般求解步骤如下：

a、在管子上选择几个有代表性的截面（一般为受力较苛刻的截面）；

b、剖开所选截面，标识其内力、应力、应变，并描述其横截面几何形状；

c、根据截面形状尺寸和应变的定义建立几何方程；

du=£.dx,du=r.dx

d、根据虎克定律建立物理方程；

。=E.£,r=G.r

e、根据力的平衡关系建立静力平衡方程；

pApApA「八

F=fcr.dA,Ff=\=\X.（y.d\Mr=\X.v.dA

J。JoJoJO

式中X为微面积”上所受内力引起弯矩的力臂；

f、联合上述方程并解方程可求得截面上的最大应力（O.X和丁.〉）、内力和位移；

9、如果。max和T侬x小于管道材料的强度极限或屈服极限，即管子是安全的。

一般情况下，工程上并不是直接拿管道材料的强度极限或屈服极限作为强度判据，而是常常给出一定的强度裕量，即将

材料的强度极限或屈服极限除以一个大于等于1的数（常称之为安全系数）作为强度判据。通常将这样的强度判据称作许用

应力。关于材料许用应力的选取方法见第四章第二节所述。根据这样的原则，管子中的最大正应力。max和最大剪应力『max

就应分别不大于材料的许用正应力［。］和许用剪应力

二、管道元件变形的几种基本形式

管道元件变形的基本形式有拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲共四种，受多种载荷作用的管子变形都可视为这四种基本

变形形式的组合。因此可以说，管道元件的基本变形形式是解决复杂应力状态问题的基础。在了解复杂应力状态下的管道应

力分析之前，有必要先了解一下四种基本变形形式。

（一）拉伸和压缩

管子的拉伸和压缩是由大小相等、方向相反、作用线与管道中心轴线重合的一对外力引起的管子变形形式。其变形特点

是管子沿中心轴线方向被拉伸或被压缩，如图6-1所示：

图6-1管子的拉伸与压缩变形

根据圣维南原理可知，管子的两端部沿截面上的力不一定均匀分布，但远离端部的任一横截面上的内力是均匀分布的。假想

将管道元件在m-m处切开，那么m-m截面上的内力是均匀的。根据力的平衡法则可知此时N=R根据应力的定义可以得到

m-m截面上内力N与应力的关系为：

N=dA

Jo

平面假设认为，对于各向同性材料，此时截面上的应力是均匀分布的，实验证明也如此。故有：

N=o.A

由于此时N=F,故有：

F=。.A,或者=—<[a]..............................（a）

A

一般情况下，管道元件受拉时，其外力F和应力。为正，受压时，F和。为负。

对管子来说，设管子外径为D,内径为d,故其横截面积为：

Ad.71._^2»2x

A—----------）——（D~-d—）.............................（b）

444

将式（b）代入式（a）可得：

4F/]

<y=-----；----<匕].............................................（6-1）

式6-1即为管道元件受拉压时的强度校核公式。求解该式的过程称做管道元件的强度校核过程。

在已知力尸和材料许用应力的情况下，可以通过式6-1变换求解管道元件需要的截面积大小，即

这一过程称为管子的设计过程。

同理，在已知管道元件尺寸和材料许用应力的情况下，也可以通过式6-1变换求解最大允许载荷，即F=[o].A。这一过

程称为管道元件的载荷条件限制过程。

值得一提的是，管道元件受压缩时，在不考虑失稳的情况下，其弹性模量E和屈服极限。s与拉伸时相同，但材料屈服

后，管子横截面积会不断增加，其抗压能力也将不断提高。因此，研究弹性材料的压缩强度破坏无太大工程意义，而此时较

多研究的是其刚度破坏。

对于单纯拉压变形，无须用物理方程和几何方程即可求解，故它是比较简单的变形形式。

（二）翦切

管子的剪切变形是由大小相等、方向相反、作用线垂直于管轴且距离很近的一对力引起的管子变形形式。其变形特点表

现为受剪管子的两部分沿力的作用方向发生相对错动，见图6-2所示。

图6-2管子的剪切变形

与管道的拉伸和压缩相似，可以近似地认为在管子远离端部的任一截面上的剪力（内力）是沿截面均匀分布的，且其

内（剪）力与外力大小相等、方向相反，即同理，可认为其剪应力沿截面也均匀分布，且有：

rA

N-r.J。dA-T.A

或者写成：

T=—=一<\T\.............................................................................(6-1)

AA

式6-2即为管道元件受剪切时的强度校核公式。

同样，对式6-2进行变换，可以进行管子受剪情况下的截面积计算和确定许可载荷。

一般情况下，材料的许用剪切应力很难查到，但试验证明材料的许用剪切应力与许用拉伸应力存在下列近似关系：

对塑性材料：［口=。6~0.8)［。］

对脆性材料：「］=(0.6~1.0)［。］

纯剪切变形也无须用几何方程和物理方程即可求解。

(三)扭转

管子的扭转变形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子轴线的两个力矩引起的管子变形形式。其变形特点表现为

管道元件的任意两个横载面绕管子的中心轴线发生相对转动，见图6-3所示：

图6-3管子的扭转变形

根据圣维南原理可知，在管子的任一截面上的内力(矩)Mn是均匀分布的，且根据力的平衡法则可知，Mn=Mo

Mn也是一个矢量，且规定：按右手螺旋法则，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，Mn为正，反之为负。

对于管子的扭转变形，其应力在管子各横截面上

的分布已不再是均匀的。从图6-4中可以看出，距轴

线中心。越近，变形量越小。

图6-4所示的为一从受扭转变形的管子上截取的

微元，微元沿轴线长度为dx。在扭转力矩的作用下，

位于半径吊上的a点因发生微小错动到达a'点，此时

也相当于oa'线相对于oa线转动了一个dp角度。那么

由其几何关系可知：aa'=Rid(p。而ba线发生的角度改

变(即剪应变)刀应为：

cia'八d(p

Yi=--=R,.................................(a)图6—4扭转变形微元

badx

式(a)即为管道元件扭转变形时的几何方程。由公式可以看出，横截面上任意点的剪应变与该点到管子轴中心线的距离成正比

,而到轴中心线距离相同的点(即在同一园周上的点)，其剪应变相同。

由虎克定律知道，在半径吊上任意点的剪应力丁尸G/,将(a)式代入可得：

q=GRi.鲍...................................................................................(b)

''dx

式(b)即为管子扭转变形时的物理方程。由式中可以看出，横截面上任意点的剪力与该点到管中心的距离成正比，且同一园周

上的应力相等。由此也可以看出，此时的剪应力在管子横截面上已非均匀分布。

式(b)中由于有期改这一未知条件，故仍无法计算剪应力，此时须借助于静力平衡方程。

图6-5表示了管子某一横截面上的内力微

元，微元的宽度为dM,周长为2冗凡，面积为

dA\=2nRj.dRia

由于dH非常小，可认为在微元中的剪应

力是均匀分布的，即此时面积dA上的剪力为：

Ni=丁jdA\

扭矩为：

Mi=N)Ri=TiRidA\

对整个管道横截面积积分可得：

=『禺/4...........................⑹

将式(b)代入式(c)可得：

M“=GRj妞&端=G妞R；叫图6-5扭转变形内力微元

J。dx")dx

在该积分方程中，只有弓是变量，故可将常量G•普移出积分外。设Jp=［：/?；•44,代入上式可以得至心

m„=G^rR：端=G"p*....................................(d)

将式(b)代入式(d)可得：

对上式进行公式变换得：

R

.....................................................................................(e)

Jp

由式(e)可以看出，当房D/2时，。最大，即最大剪应力发生在管子横截面的最外园上，此时有:

2J

设W〃=—乙并代入上式可得:

D

M〃

(6-3)

式6-3即为管子受扭转载荷时的强度校核公式。同样，通过式子变换可以进行管子受扭转载荷时的截面参数计算和确定许可

扭转载荷。

通常将Jp叫做管道元件的扭转惯性矩，将Wn叫做管道元件的抗扭截面模量。通过jp和Wn的定义式很容易求出图6-5

所示管子的表达式：

Jp=£'R：3=f：R--2小&•咽=卷(。4一d")

W,=~=/一(。4_/)

“D16D

同样，一般很难查到材料的扭转许用剪应力［口。试验证明，扭转许用剪应力［T］与拉伸许用应力［。］存在如下近似关系

［r］=(0.5〜0.6)［er］

(三)弯曲

在这里仅研究纯弯曲的情况，即管子各横截面上只有正应力而无剪应力，管道元件中心轴线变形后为一平面曲线。此时

管子的弯曲变形是由大小相等、方向相反、作用面为沿管子中心轴线的纵向平面并包含轴线在内的两个力矩引起的管子变形

形式。其变形特点表现为管子的中心轴线由直线变为平面曲线，如图6・6所示。

图6-6管子的平面纯弯曲变形

在管子上用两个横截面截取得到一个微元。在弯矩的作用下，两个横截面都绕截面内的某一轴线转了一个角度，那么此

时微元中两个截面形成一个夹角d*见图6-6(b)所示。在微元中，靠近弯曲内侧的金属受压缩，靠近弯曲外侧的金属受拉

伸。那么在每个截面上，金属由压缩变为拉伸时，肯定会存在一层金属不发生变形，并称这层金属为中性层。中性层的曲率

半径为R,那么距中性层为y的金属在变形后的长度为aa'=(R+|y|)d〃°

由于中性层金属的长度不变，且oo'=Rd。，那么距中性层为y的金属变形量(即线应变)则为：

(R+\y\)dO-Rd0|y|

“一RdO-~R(a)

式(a)即为管道元件受平面纯弯曲的几何方程。公式表示，距中性层越远，其线应变越大。y的正负号分别表示金属受拉或受

压，当直观能判断金属受拉还是受压时，其绝对值符号可以取消。

根据虎克定律，可得其物理方程为：

y

(J=E£=E--...........................................................................................(b)

R

从式(b)中可以看出，管子在受平面纯弯曲时，其正应力在横截面上的分布是不均匀的，应力的大小与其距中性层的距离成正

比。

为了建立管子受平面纯弯曲的静力方程，可取一个内力微元，见图6-7所示。微元的面积为dAy。可以证明，中性层一

定通过管子横截面的形心。由于管子

受纯弯曲，故其静力方程为：

M=M=\y•b•dA.......................(c)

,Jo

将(b)式代入⑹式可得：

2

M=Cy-E^dA=-CydAv

Jo，RYRJ。y

设代入上式并进行式子变