数学八年级湘教版上册第二章三角形电子课件

2.1三角形本章内容第2章观察

观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形可用符号“△”来表示，如图中的三角形可记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A，B，C叫作△ABC的顶点；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的内角（简称△ABC的角）；线段AB，BC，CA叫作△ABC的边.通常∠A，∠B，∠C的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.ABCabc

三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.

两条边相等的三角形叫作等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，

另外一边叫作底边，

两腰的夹角叫作顶角，

腰和底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角底角

三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.

等边三角形是特殊的等腰三角形——腰和底边相等的等腰三角形.

在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？动脑筋

在△ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间线段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB.结论三角形的任意两边之和大于第三边.一般地，我们可以得出：做一做

有三根木棒，其长度分别为2cm，3cm，6cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？举例例1如图，D是△ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又AD=BD，则BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.练习1.（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.答：五个三角形.（2）如图，在△DBC中，写出∠D的对边，

BD边的对角.答：∠D的对边是BC，

BD边的对角是∠BCD.2.

三根长分别为2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接构成一个三角形吗？答：能.

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.

如图，AH⊥BC，垂足为点H，则线段AH是△ABC的BC边上的高.如图，试画出图中△ABC的BC边上的高.做一做D

在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.

如图，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.

在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.

如图，BE=EC，则线段AE是△ABC的BC边上的中线.

任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？做一做EFDEFD

事实上，三角形的三条中线相交于一点.

我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.

如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为△ABC的重心.G举例例2如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.

（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.解（1）图中有6个三角形，它们分别是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又练习1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以及这条边所对的角的平分线.2.

如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，

BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：ADC90AEABEBFDBE动脑筋

在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？动脑筋

在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180°，你能说出这些方法的原理吗？

上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.由此受到启发：因为直线在平移下的像是与它平行的直线，如图，将△ABC的边BC所在的直线平移，使其像经过点A，得到直线.所以

.则

，所以∠B+∠BAC+∠C=180°.又结论三角形的内角和等于180°.举例例3在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，

∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x+15)°，从而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.议一议

一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？

三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.

三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，

有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.锐角三角形直角三角形钝角三角形

直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC”.

在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.

两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.

像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.

对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.D

探究

在图中，外角∠ACD和与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？

我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.因为∠ACD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-∠A

-∠B=0（等量减等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.结论

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.练习1.

填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，则∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，

∠C-∠B=40°，则∠B=

.60°30°2.

如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，

∠C=76°，求∠DAC的度数.答：∠DAC的度数是34°3.

如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度数.答：∠C的度数是70°命题与证明本课内容本节内容2.2

前面我们学习了许多有关三角形的概念

（如三角形、等腰三角形、等边三角形以及三角形的高线、中线、角平分线等）如：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.

不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形；ABCD

像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.

例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.说出下列概念的定义：（1）方程；说一说

在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.我们把含有未知数的等式叫做方程.（2）三角形的角平分线.

在现实生活中，我们经常要对一件事情作出判断.

数学中同样有许多问题需要我们作出判断.下列叙述事情的语句中，哪些是对事情作出了判断？议一议（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？

一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.

例如，上述语句（1），（2），（3）都是命题；

语句（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.

（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；

（4）作一条线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？观察下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.

它们的表述形式都是“如果……，那么……”.

命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.

例如，对于上述命题（2），“两个角的和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角.

有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.

如：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以简写成“对顶角相等”；“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”

可以简写成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：命题条件结论①能被2整除的数是偶数.②有公共顶点的两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线平行如果两个同位角相等（2）上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.

命题③与④的条件与结论互换了位置.

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.

例如，上述命题③与④就是互逆命题.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.

从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.练习1.

下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求的值；不是命题是命题不是命题是命题2.

将下列命题改写成“如果……，那么……”

的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；答：如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点.答：如果一个整数的个位数字是5，那么这个数一定能被5整除.（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.（3）互为相反数的两个数之和等于0；答：如果两个数是互为相反数，那么这两个数之和等于0.答：如果某角是三角形的外角，那么这个角大于它的任何一个内角.3.

写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.答：绝对值相等的两个数相等答：如果m是有理数，那么它也是整数答：内错角相等，两直线平行答：等腰三角形的两边相等议一议

下列命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确

上面四个命题中，命题（4）是正确的，命题（1），（2），（3）都是错误的.

我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.

（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数.（3）同位角相等；

（4）同角的补角相等.

要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.

例如，命题“同角的补角相等”通过推理可以判断出它是真命题.

由于∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1.因此∠2=∠3（等量代换）.于是，我们得出：同角（或等角）的补角相等.

要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足命题的结论，从而就可判断这个命题为假命题.

例如，要判断命题“如果a是有理数，那么a是整数”是一个假命题，我们举出“0.1是有理数，但是0.1不是整数”这一例子即可判断该命题是假命题.

我们通常把这种方法称为“举反例”.判断下列命题为真命题的依据是什么？说一说（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果△ABC是等边三角形，那么△ABC是等腰三角形.

分别是根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出的判断.

从上可以看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.

事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.

古希腊数学家欧几里得（Euclid，约公元前330—前275年）对他那个时代的数学知识作了系统的总结，他挑选了一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.本书中，我们把少数真命题作为基本事实.

例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短等.

人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.

例如在七年级下册，我们从基本事实出发证明了一些有关平行线的结论.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫作定理.

例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.

定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.

例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.

当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.

例如，“如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它的逆命题“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.

如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.

我们前面学过的定理中就有互逆的定理.

例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.练习1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.（1）绝对值最小的数是0；答：真命题（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）在同一平面内，如果直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b.答：假命题答：假命题答：真命题2.举反例说明下列命题是假命题：（1）两个锐角的和是钝角；（2）如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数；（3）两条直线被第三条直线所截同位角相等.答：直角三角形的两个锐角和不是钝角答：-1和-3的积是(-1)(-3)>0，-1和-3不是正数.答：两条相交的直线a、b被第三条直线l所截，它们的同位角不相等3.

试写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.答：两直线平行，内错角相等。内错角相等，两直线平行。

观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.

采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.做一做

从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得到360°.

另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°.

此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题.

要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.

数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.

证明的每一步都必须要有根据.

证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.动脑筋

在分析出这一命题的条件和结论后，我们就可以按如下步骤进行：

已知：如图，∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.证明如图，∵∠BAF=∠2+∠3，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)(等式的性质).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程根据题意根据命题的条件和结论，结合图形通过分析，找出证明的途径例1

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.举例证明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°，即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.

反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.练习1.在括号内填上理由.已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°

（

）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，

∠1=∠2.

求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）3.已知：如图，AB与CD相交于点E.

求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵

AB与CD相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.中考试题例

命题①：同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；命题②：相等的角并不一定是对顶角；命题③和命题④均正确.解下列四个命题中是真命题的有（）.

①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个B.3个C.2个D.1个C等腰三角形本课内容本节内容2.3

我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究

任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.

作△ABC关于顶角平分线AD所在直线的轴反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12射线AB的像是射线AC，射线AC的像是射线

；线段AB的像是线段AC，线段AC的像是线段

；点B的像是点C，点C的像是点

；线段BC的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线

对称.ABABBAD由于点D的像是点D，因此线段DB的像是线段

，从而AD是底边BC上的

.由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线

，因此∠BDA

∠CDA=

°，从而AD是底边BC上的

.由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线

，因此∠B

∠C.DC中线DA=90高CB=结论由此得到等腰三角形的性质定理：

等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.

等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).

结论

等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).动脑筋因为△ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而∠C=∠A=∠B.由三角形内角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如图，△ABC是等边三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.结论

由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

在边BC上，且AD=AE.

求证：BD=CE.举例证明

作AF⊥BC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如图的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅锤线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议练习1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度数.答：∠DPC=20°.

我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究

如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在△ABC中，∠B=∠C.沿过点A的直线把∠BAC对折，得∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形内角和的性质得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直线折叠，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射线DB与射线DC重合，射线AB与射线AC重合.从而点B与点C重合，于是AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).结论三个角都是60°的三角形是等边三角形.

由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E

分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.

求证：△ADE为等腰三角形.举例证明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE为等腰三角形.

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？动脑筋如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理得

∠A+∠B+∠C=180°.如果顶角∠A=60°，则∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形例3已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E

分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.

求证：△ADE是等边三角形.举例证明∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）练习1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和

∠ACB的平分线相交于点O.

求证：△OBC为等腰三角形.ABCDEO证明∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.

求证：△ACE是等边三角形.证明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等边三角形.3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：△ABC是等边三角形.证明∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，中考试题例1

等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长为（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一边长为2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，故选5.∴周长为5+5+2=12cm.中考试题例2

若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析

因为50°可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D线段的垂直平分线本课内容本节内容2.4观察

如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？我发现

我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.

已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)

我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.

由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA，PB之间有什么关系？探究探究

作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl结论

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：动脑筋

我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？（1）当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.（2）当点P在线段AB外时，如下图所示.因为PA=PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=BC.因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.结论

到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例

已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平

分线相交于点O，连接OA，OB，OC.

求证：点O在AC的垂直平分线上.举例证明∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴

OA=OB.同理OB=OC.∴

OA=OC.∴

点O在AC的垂直平分线上.练习1.

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交

AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC=80°，求∠CAE的度数.答：∠CAE=50°.2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且

AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.

求证：AO=BO.证明：∵

AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又

AB与CD相交于点O,∴AO=BO.做一做如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.

根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.

因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.动脑筋如何过一点P作已知直线l的垂线呢？

由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.

用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.1.如图，在直线l上求作一点P，使PA=PB.练习2.如图，作出△ABC的BC边上的高.

如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）.A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm中考试题例解析∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.C本节内容2.5全等三角形第一课时同一张底片洗出的照片是能够完全重合的观察思考每组的两个图形有什么特点?能够重合,大小相同,形状相同能够完全重合的两个

图形叫做全等形.ABCEDF例如能够完全重合的两个三角形,叫全等三角形.记作:△ABC≌△DEF读作:△ABC全等于△DEF互相重合的顶点叫对应顶点.互相重合的边叫对应边.互相重合的角叫对应角.全等三角形对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质平移思考：两个三角形三边对应相等，三对角也对应相等，这两个三角形全等吗？议一议

如果两个图形全等，它们的形状大小一定都相同吗？全等图形的形状和大小都相同全等图形的特征ACODB如图△AOC≌△BOD1.对应边是：2.∠AOC的对应角是∠A的对应角是OA与OBOC与OD，AC与BD∠BOD∠BACODB旋转ABCDAABBDC如图△ABD≌△ABC⑴AD的对应边是；AB的对应边是⑵∠DAB的对应角是ACAB∠CABABCD轴反射如图△ABC≌△ABDABCDABBCDA⑴AC的对应边是

AB的对应边是⑵∠ABC的对应角是BDBA∠BADABCD轴反射如图△ABC≌△BADABCDE⑴△≌△⑵对应边是⑶对应角是ABCDECAC与DC，AB与DE，BC与EC∠A与∠D、∠B与∠E、∠ACB与∠DCEABCDE旋转有那些办法可以验证两个三角形全等？∵△ABC≌△ADE(已知)∴∠BAC=∠DAE(全等三角形对应角相等)∴∠BAC-∠

DAC=∠DAE-∠

DAC(等式性质)即∠BAC=∠DAE填一填：如图，已知△ABC≌△ADE,∠BAD=∠CAE吗?为什么?ABCDEDABC已知全等表示：△ABC≌△CDA对应顶点:对应边:对应角:思考：全等三角形的对应边与对应角之间有什么关系?找全等三角形对应边、对应角的方法Ａ、长边对应长边，大角对应大角Ｂ、公共边是对应边，公共角是对应角Ｃ、对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边一般地：1：请指出下列全等三角形的对应边和对应角（1）、△ABE≌△CFA对应角是：∠A和∠A、∠ABE和∠ACF、∠AEB和∠AFC；对应边是AB和AC、AE和AF、BE和CF。2、△BCE≌△BCF对应角是：∠BCE和∠CBF、∠BEC和∠CFB、∠CBE和∠BCF。对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。3、△BOF≌△COE如何变换？轴反射举例对应角是：∠BFO和∠CEO、∠BOF和∠COE、∠FBO和∠ECO。对应边是：BO和CO、OE和OF、BF和CE。举例2

.如图,已知△ABC≌△DCB,AB=3,DB=4,∠A=60

°.

(1)写出△ABC和△DCB的对应边和对应角;（2）求AC

,DC的长及∠D的度数.解：(1)AB与DC,AC与DB,BC与CB是对应边;∠A与∠D,∠ABC与∠DCB,∠ACB与∠DBC是对应角.(2)

∵AC与DB,AB与DC是全等三角形的对应边,∴AC=DB=4,DC=AB=3.∵∠A与∠D是全等三角形的对应角,∴∠D=∠A=60°.

≌全等于∠BCFCFBF∠CFB√√XX练习1.全等用符号

表示，读作：.

2.若△BCE≌△CBF，则∠CBE=

,∠BEC=

,BE=

,CE=

.3.判断题

1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）

2）全等三角形的周长相等，面积也相等.（）

3）面积相等的三角形是全等三角形.（）

4）周长相等的三角形是全等三角形.（）4.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.BDACF答:∠B的对应角是()∠C的对应角是()∠BAC的对应角是()

AB的对应边是()AC的对应边是()BC的对应边是()∠B∠F∠BDF

DB

DF

BF

6.如图,已知△ADF≌△CBE,AD=4,BE=3,AF=6,∠A=20

°,∠B=120°.

(1)找出它们的所有对应边和对应角；（2）求△ADF

的周长及∠BEC的度数.5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边,∠BAC与∠EAD对应角,且∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度数和线段DE,AE的长度。BCEDA解:∵△ABC≌△AED,(已知)∴∠E=∠B=35°(全等三角形对应角相等)∠ADE=∠ACB=18O°-25°-35°=1200(全等三角形对应角相等)DE=BC=1cm,AE=AB=3cm(全等三角形对应边相等)7.如图已知△AOC≌△BOD求证：AC∥BD8.如图△ABD≌△EBC，AB=2cm,BC=5cm,求DE的长.拓展与延伸下图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等三角形吗？你能把它分成三个全等三角形吗？四个呢？这节课学了哪些知识？你有什么收获？小结

全等图形、全等三角形的定义是什么？全等三角形的性质是

。找全等三角形对应边、对应角的方法：Ａ.长边对应长边，大角对应大角Ｂ.公共边是对应边，公共角是对应角Ｃ.对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边记住哟！

课后作业1.如图，已知△ABD≌△ACD，∠B和∠C是一组对应角，请写出其他的对应角和对应边.2.如图，已知△ABC≌△DEF，且A,D,B,E在同一条直线上，（1）试找出图中能够互相平行的线段，并说明理由.（2）AD=BE吗？为什么？1题2题3.如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得△AEF，（1）△ABC与△AEF的关系如何？（2）若∠CAB=110°，求∠FAB的度数.4.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°,D、E分别是边AC、BC上的点，若△EAB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是()（A）15°（B）20°（C）25°（D）30°3题DBCAE4题D本节内容2.5全等三角形第2课时√√XX练习2.判断题

1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（）

2）全等三角形的周长相等，面积也相等。（）

3）面积相等的三角形是全等三角形.（）

4）周长相等的三角形是全等三角形.（）3.如图:△ABC≌△DBF,找出图中的对应边,对应角.BDACF答:∠B的对应角是()∠C的对应角是()∠BAC的对应角是()

AB的对应边是()AC的对应边是()BC的对应边是()∠B∠F∠BDF

DB

DF

BF

1.若△BCE≌△CBF，则∠CBE=

,∠BEC=

,BE=

,CE=

.4.如图，已知△ABC≌△DEF，且A,D,B,E在同一条直线上，（1）试找出图中能够互相平行的线段，并说明理由.（2）AD=BE吗？为什么？5.如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得△AEF，（1）△ABC与△AEF的关系如何？（2）若∠CAB=110°，求∠FAB的度数.4题5题6.如图,△ABC≌△AED,∠BAC=25°，∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,∠ADE的度数和线段DE,AE的长度.BCEDA6题

两个三角形满足什么条件就能全等呢？下面我们就来探讨这个问题.复习回顾

1.全等图形、全等三角形的定义是什么？2.全等三角形的性质是

。两个三角形有六对元素，能否只考虑三对元素判断两个三角形全等呢？

每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm.将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？探究50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm

我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.设在△ABC和中，，（1）△ABC和的位置关系如图.

将△ABC作平移，使BC的像与重合，△ABC在平移下的像为.

由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌因为，所以线段A″B″与重合，因此点与点重合，那么与重合，所以与重合，因此，从而（2）△ABC和的位置关系如图（顶点B与顶点重合）.因为

，将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等于，所以线段BC的像与线段重合.因为，所以(A)B(C)又因为

，所以在上述旋转下，BA的像与重合，从而AC的像就与重合，于是△ABC的像就是由于旋转不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌（3）△ABC和的位置关系如图.根据情形（1），（2）的结论得将△ABC作平移，使顶点B的像和顶点重合，因此（4）△ABC和的位置关系如图.将△ABC作关于直线BC的轴反射，△ABC在轴反射下的像为由于轴反射不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌根据情形（3）的结论得，因此由此得到判定两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边角边”或“SAS”.结论在下列图中找出全等三角形,并把它们用符号写出来.Ⅰر30º8cm9cmⅥر30º8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30ºر8cm5cmⅤ30º8cmر5cmⅧ8cm5cmر30º8cm9cmⅦⅢر30º8cm8cmⅢ例1已知：如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.举例证明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（对顶角相等）CO=DO，例2如图，AD平分∠BAC，AB=AC。△ABD与△ACD全等吗？BD与CD相等吗？∠B与∠C呢？请说明理由.1.如图，将两根钢条AA′和BB′的中点O连在一起，使钢条可以绕点O自由转动，就可做成测量工件内槽宽度的工具（卡钳）.只要量出的长，就得出工件内槽的宽AB.这是根据什么道理呢？△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.随堂练习2.

如图，AD∥BC，AD=BC.

问：△ADC和△CBA是全等三角形吗？为什么？3.

已知：如图，AB=AC，点E，F分别是AC，AB的中点.

求证：BE=CF.小结1.这节课学习判定两个三角形全等的方法？2.这个判定方法是如何得到的？转化“SAS”用语言叙述：基本事实3.判定两个三角形全等可以帮助我们解决哪些问题？证明线段（或角相等）

证明线段（或角）所在的两个三角形全等.4.书写证明过程时需注意什么？

(1)证明两个三角形全等所需的条件应按对应边、

对应角、对应边顺序书写;(2)“边角边”中的“角”必须是两边的夹角;1.已知:如图,AC=AD,∠CAB=∠DAB.求证:△ACB≌△ADB.3.若AB=AC，则添加什么条件可得△ABD≌△ACD?4.如图，∠B＝∠E，AB＝EF,BC＝DE，那么△ABC与△FED全等吗？为什么？还能证明哪些结论？2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。求证：∠B＝∠C课堂作业ABCD(1题)ABDC(2题)FEDCBA21(3题)BCDEA(4题)全等三角形第3课时1.已知:如图,AC=AD,∠CAB=∠DAB.求证:△ACB≌△ADB.2.若AB=FE，BC=ED,AB∥FE,求证：△ABD≌△ACD?ABCD(1题)FEDCBA(2题)复习演练复习回顾你还记得吗？全等三角形的对应边相等，对应角相等.如何判断两个三角形是全等三角形?两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等简写成“边角边”或“SAS”全等三角形的对应边、对应角有什么重要性质？情境导入

小颖不小心将一块三角形玻璃打成了三块，如图所示，他想拿去到商店配一块与原来一模一样的玻璃，请你帮他想想办法，带哪一块去最省事？（1）（2）（3）探究如图,在△ABC和△A’B’C’中,BC=B’C’,∠B=∠B′,

∠C=∠C′,你能通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与△A’B’C’

重合吗？△ABC与△A’B’C’全等吗？我们一起来探讨！B’’C’’A’’两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(可简写成“角边角”或“ASA”).结论类似于基本事实“SAS”的探究，同样地，我们可以通过平移、旋转和轴反射等变换使△ABC的像与重合，因此△ABC≌角边角定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”.∴△ABC≌△A’B’C’(ASA)∵∠A=∠A’AB=A’B’∠B=∠B’在△ABC与△A’B’C’中，

ABCA’B’C’解决情境的问题（1）（2）（3）（3）利用“角边角”可知,带第(3)块去，配到与原来全等的三角形玻璃。举例例1

已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，

AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.求证：△ABE≌△CDF.证明∵

AB∥DC，∴∠A=∠C.△在ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF

（ASA）.∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，例2、如图：已知△ABC≌△DEF,AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线，求证：AM=DNABCMDEFN从第2题中，你能得出什么结论？全等三角形对应角平分线相等例3

如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上.于是小军说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？ABECD解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AEB=∠CED(对顶角相等)∴△AEB

≌△CED.（ASA）∴

AB=CD.(全等三角形的对应边相等)此，CD的长就是河的宽度.﹛因1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证：△ADC≌△AEB2.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？练习3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AC=AD4.如图，O是AB的中点，∠A=∠B，求证：△AOC≌△BODABCDE1题ABCD2题1234

ABCD3题ABCOD4题7.如图，已知∠1=∠2，要使△ABD≌△ACD，你添加一个条件是

.

∠ADB=∠ADC或AB=AC5.如图，AB⊥BC于B,DC⊥BC于C，AB＝DC,∠A=∠D求证：△ABE≌△DCF.6.已知:如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于O,∠1=∠2，∠3=∠4，求证：(1)△ABC≌△ADC;

(2)OB=OD.ABCDEF5题ABCDO12346题ABCD127题1.三角形全等的判定定理2：角边角定理

两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.简称“角边角”或“ASA”

2.全等三角形对应角平分线相等小结本节课你有什么收获？3.三角形全等可以帮助我们解决哪些问题？证明线段（或角相等）

证明线段（或角）所在的两个三角形全等.转化4.书写证明过程时需注意对应边、角的对应顺序.

全等三角形第4课时知识复习★判定两个三角形全等方法有哪些?