2023届高考数学一轮复习 第6讲 空间向量与立体几何

第6讲空间向量与立体几何

考向预测核心素养

考查利用空间向量证明线面关系、求空间角及距离，

数学运算、数学抽象

主要以解答题的形式出现，难度较大.

基础知识—回顾

[学生用书P195])

一、知识梳理

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线/平行

或重合,则称此向量。为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/JLG,取直线/的方向向量G,则向量。叫做平面a

的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线「的方向向量分别为〃1,h//h〃l〃〃2㈡Ml=2U2

U2/i±fe〃0・〃2=0

直线/的方向向量为小平面a的I//a〃J_〃=0

法向量为nl-Lau//n<^u=Xn

a//p〃|〃〃2台〃1=2〃2

平卸a,£的法向量分别为小，m

aA-pn।J_・〃2=0

3.空间距离

401

(1)点到直线的距离：已知直线/的单位方向向量为小设存=a,则向量办

在直线I上的投影向量题=(。〃)〃.在RtAAPfi中，由勾股定理得PQ=

曲2-1破F=归一(⑦〃)2.

(2)点到平面的距离：设尸为平面。内的一点，〃为平面，的法向量，A为平

面。外一点，点4到平面。的距离4=端日.

4.空间角

(1)两条异面直线所成的角的向量求法

设异面直线/1，，2所成的角为仇其方向向量分别为〃，

则coseTcos<«>。〉l=|£il=S

(2)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个

平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90^；一条直线和平

面平行或在平面内，则它们所成的角是0°；范围：［”_月.

②向量求法:直线AB与平面a相交于B,设直线AB与平面«所成的角为仇

直线A8的方向向量为〃，平面a的法向量为〃，则sin0=|ccs(〃，加1=|湍］

\u-n\

=蛔.

(3)两平面的夹角

①定义：平面。与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不

大于90°的二面角称为平面G与平面夕的夹角.

②计算：设平面匿£的法向量分别是〃I,",平面a与平面少的夹角为仇

则cos9=|cos<n.,痴尸|^|=^f.

◎常用结论

1.最小角定理

如图，若OA为平面a的一条斜线，O为斜足，03为OA在平面a内的射

影，OC为平面。内的一条直线，其中。为。4与OC所成的角，01为OA与OB

所成的角，即线面角，仇为。8与OC所成的角，那么cos8=cosacos。2.

2.线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离.

二、教材衍化

（多选）（人选择性兴修第一册练习改编）在棱长为的正方体

1.AP35T21

ABCD-A\B\C\D｝中，E为线段DD\的中点.F为线段BB｛的中点.则直线FC\

到平面ABE的距离等于（）

A.点尸到平面ABiE的距离

B.点Ci到平面ABiE的距离

C.直线尸G到直线AE的距离

D.点囱到直线FG的距离

答案：AB

2.（人A必修第二册P147例I改编）在长方体ABCZ）・A|加CQ1中，AB=BC

=1,AA尸木,则异面直线与。8所成角的余弦值为.

解析：

如图所示，连接8。交OBi于点。，取A8的中点M,连接0M,易

知。为的中点，所以AZ）i〃OM,则NM。。为异面直线A。与08所成角

或其补角.因为在长方体ABCD-A\B\C\D\中，AB=BC=\,A4i=S，AD]=

2

y]AD-i-DDi=2f

DBi=^/A52+A£>2+DDT=V5,所以OM=%Oi=l,0。=/。'=坐，于是

OM^OD^-DM2

在。中，由余弦定理，得

△OMcosNMOO=2X0MX0D

2X1X95

3.(线面距离概念不满■致误)在棱长为1的正万体ABC。AiBiGQi中，E

为中点，尸为A5的中点，贝I」C/至IJ平面AEG的距离为.

共研

[学生用书P197]

考点一空间距离(多维探究)

复习指导：会用空间向量求解空间中点、线、面之间的距离问题.

角度1点线距和线线距

cam在棱长为1的正方体中，E,F,M,N分别是48,

GDi，AD,的中点.则点4到直线£尸的距离为；直线所到直

线MN的距离为.

【解析】

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则Ai(l,0,1),£>i(0,0,1),

0,一］,,赤=(-1,0,1),肆的单位向量〃=—

I的

当，0,哪

所以点4到直线E尸的距离

/就\2✓\2

(()

\7-Xz

(2)因为MN〃EF,

所以直线MN到直线EF的距离即为点M到直线E厂的距离.

因为《1,T，。)，0，。)，

所以夙一/0)

又办的单位向量〃=（一孚，o,孝）,

所以直线MN到直线EF的距离

d=\（即2_（而加2=、

\j284•

【答案】乎］

角度2点面距和线面距

（HU（链接常用结论2）

（2022•日照实验高中月考）如图，在△ABC中，AC=BC=1,ZACB=120°,

。为△A8C的外心，PO_L平面ABC,且PO=乎.

（1）求证：30〃平面FC；

（2）计算50与平面出C之间的距离.

【解】

（1）证明：如图，连接OC,因为。为△ABC的夕卜心,

所以OA=O8=OC,又因为AC=8C=1,

所以△QACgAOBC,

所以N4CO=NBCO=T/ACB=60°,

故△OAC和△O8C都为等边三角形，可得04=AC=CB=BO=1,

即四边形OACB为菱形，所以OB〃AC;

又ACU平面%C,O网平面B4C,

所以BO〃平面PAC.

(2)因为3。〃平面B4C,

所以30到平面B4C的距离即为点O到平面布C的距离，记为d,

AC=I,

所以S△附c=gx1(书可—(3)5AOAC=1X1X1Xsin60°=乎,

又因为Vp.OAC=Vo-PACf所以gxSMAcXPO=《XS"4cXd,

即gx坐x乎=3x(xd,解得d=乎，

所以BO与平面雨。之间的距离为坐.

因题技巧---------------------------------

空间距离求法

⑴点线距的求解步骤：

直线的方向向量。一所求点到直线上一点的向量方'及其在直线的方向向量

。上的投影一代入公式.

(2)点面距的求解步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即

可求出点到平面的距离.

I跟踪训练I

在棱长均为a的正三棱柱ABC-AiBiG中，D是侧棱CCi的中点，则点G

到平面AB1。的距离为()

A冬B奉

C.乎aD哗a

解析:

选A.以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为无轴，以4C为y轴,

以AAi为z轴建立空间直角坐标系.

由A8C-4B1G是棱长均为〃的正三棱柱，。是侧棱CG的中点,

故A（0，0,0）,2f4。，a，软，Ci（0.ma）,

所以鼐i=，单,&j,反尸（0,0,S病=（。,〃，2）

设平面A81O的法向量是〃=(x,yfz),

-*y!3a.a.八

n-AB\=^r+»+az=0,

所以R

〃•屐)=ay+?z=0,

取〃=(，5,1,-2),

故点Ci到平面ABxD距离.3；i+4=%

考点二空间角（多维探究）

复习指导：了解线线角、线面角、面面角的概念并会利用空间向量进行求解.

角度I用向量求异面直线所成的角

叵（1）如图，

在直三棱柱ABC-AiBCi中，AB=AC=AAy=yj2fBC=2,点。为8C的中

点，则异面直线4。与4c所成的角为（）

A71B.5

A-2

一兀e兀

C,4D6

0

(2)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD4BG。中，E是棱CG的中点,

AF=AADf若异面直线和AF所成角的余弦值为喏，则；I的值为.

【解析】(1)以A为原点，AB,AC,A4i所在直线分别为x轴、丁轴、z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0,0),Ai(0,。，也,B(巾,0,0),

(7(0,也，0),

/GC=(0,小,一伍

,*

所以cos〈病，AiC)==：,所以〈疝，再Q故选B

|Ab||/hCl,)

(2)以。为原点，以。A,DC,OQi所在直线分别为X,y,z轴，建立空间直

角坐标系(图略).

正方体的棱长为2,则4(2,0,2),01(0,0,2),E(0,2,1),4(2,0,0).

所以血=(0,2,-1),俞=眉+崩=启+/屈=(0,0,一2)+2(—2,

0,0)=(-22,0,-2).

,/ff、A\F•D\E2_

则cos<A1F,T

DE)=----—2包干.小'

|Aif]•\D]E\

所以丽徐7=%解得4*—上去)•

【答案】(1)B(2)|

因题技巧------------------------------

(1)利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：①选好基底或建立空间直

角坐标系；②求出两直线的方向向量Pl，V2；③代入公式|COS<771，V2)|="

1卯|02|

求解.

(2)两异面直线所成角的范围是夕£(0,外，两向量的夹隹。的范围是［0,兀］,

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面

直线的方向向量的夹角为钝集时，其补角才是异面直线的夹角.

角度2线面角

侧⑷(2021•高考浙江卷)

如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面ABCD是平行四边形，ZABC=120°,

AB=lfBC=4,B4=Vl5,M,N分别为BC,PC的中点，PDA.DC,PMA.MD.

(1)证明：ABA.PM；

(2)求直线AN与平面尸。历所成角的正弦值.

【解】(1)证明：因为底面A8C。是平行四边形，ZABC=\20°,BC=4,

AB=\,且M为8C的中点，

所以CM=2,CD=1,NDCM=60°,

易得CO_LOM.

又PD_LOC,且PDCDM=D,PD,OMU平面PDM,

所以C0J_平面PDM.

因为A8〃CO,所以A8_L平面POM.

又PMU平面PDM,所以ABUM.

(2)方法一：由(1)知A8_L平面POM,

所以NNAB为直线AN与平面PDM所成角的余角.

连接AM,因为PM.LDC.MDCDC=D,

所以PM_L平面45CO,所以

因为NA5c=120°,AB=1,BM=2,

所以由余弦定理得AM=S，

又布所以PM=2色,

所以PB=PC=2@,

连接BN,结合余弦定理得BN=4TT.

连接AC,则由余弦定理碍•AC=q五，

在△以0中，结合余弦定理得出2+AC2=24M+2PM,所以AN=屏.

AB?+AN?-BN21+15—11V15

所以在△ABN中，cosNBAN=

2AB・AN2^15-6-

设直线AN与平面POM所成的角为仇

rrz

则sin9=COSNBAN=^A

o

方法二：因为PM_LMO,PM±DC,

所以PM_L平面ABCD

连接AM,则PM±AM.

因为NA5C=120°,AB=\fBM=2,

所以4M=6，

又a所以PM=24i

由(1)知CDLDM,

过点M作ME//CD交AD于点E,则MELMD.

故可以以M为坐标原点，MD,ME,MP所在直线分别为羽y,z轴建立如

图所示的空间直角坐标系，

则A(—A/5,2,0),P(0,0,2小),。(小，—1,0),N(坐，一：，也)，

所以俞=心坐—|,的.

易知平面POM的一个法向量为〃=(0,1,0).

设直线AN与平面所成的角为0,

5

MI-近

\w2

7IA--6

7*『.Afis

故直线AN与平面尸。M所成角的正弦值为变.

O

感题技巧------------------------------

求直线与平面所成角的主要方法

(1)定义法：利用定义作出直线和平面所成的角，然后在三角形中利用几何

方法求解.

(2)向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，先求向量夹角进而求出

直线和平面所成的角.

角度3利用空间向量求两个平面的夹角

僭国(2021•新高考卷n改编)

在四棱锥Q-4BCD中，底面A8CO是正方形，若4。=2,。。=。4=小,

QC=3.

(1)证明：平面Q4OJ_平面A3CD；

(2)求平面BDQ与平面QDA夹角的余弦值.

【解】

Q

(1)证明：取4。的中点为。，连接。。，CO.

因为QA=。。，OA=OD,则QO_LAO,

而AO=2,QA=p故QO=15-1=2.

在正方形ABC。中，因为AO=2,。0=1,故C0=小，

因为QC=3,故。。2=。。2+0。2,故△QOC为直角三角形且QO_LOC

因为0Cn4D=0,ADfOCU平面ABC。，故。0_1_平面488,

因为QOU平面Q4。，故平面Q4O_L平面A8CD

(2)在平面ABCO内，过。作OT〃C。，交BC于T,则OT_LAO,

结合(1)中的QO_L平面A8CO,故可建如图所示的空间直角坐标系.

则。(0,1,0),2(0,0,2),3(2,-1,0),

故超=(一2,1,2),BD=(-2,2,0).

设平面Q3O的法向量为〃=(JGyfz),

nBQ=O—2x+v+2z=0,

则《f即，

“防=0,If+2y=0，

取x=l,则y=l,z=2f故〃=(1，L3]

而平面的一个法向量为〃2=(1,0,0),

一,\12

故cos〈机，n)=---

1X2

2

所以，所求平面8OQ与平面QO4夹角的余弦值为手

11题技巧

用法向量求两平面的夹健：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向

量的夹角得到两平面夹角的大小.

I跟踪训练I

(2022•安丘过程性测试)

如图，在四棱锥P-A8CO中，底面ABCO为直角梯形，AD//BC,ZADC=

90°,平面以£>_!_底面ABC。，。为A。的中点，M是棱PC上的点，PA=PD

=2,5C=1A£>=1,CD=y[3.

(1)求证：平面M28_L平面以O；

(2)若平面MBQ与平面BQC的夹角为30°,求直线QM与平面PAD所成角

的正弦值.

解：(1)证明：因为AD〃BC,BC=^AD,Q为A£>的中点，则。。且

QD=BC,

所以四边形8CO。为平行四边形，所以CD〃B。，

因为NADC=90°,所以NAQ8=90°,即8Q_LAD

又因为平面以O_L平面ABCD,平面以OH平面ABCD=ADt8QU平面

ABCD,

所以6Q_L平面PAD,

因为BQU平面所以平面MQB_L平面BAD

(2)因为B4=PO,。为4。的中点，所以尸Q_LAD

因为平面必D上平面ABCD,平面附。0平面ABCD=AD,PQU平面PAD,

所以PQ_L平面458,又因为

所以以Q为原点，以。4,QB,QP所在直线分别为上轴、y轴、z轴建立如

图所示的空间直角坐标系Q-xyz,

则Q（0,0,0）,A（l，0,0）,P（0,0,黄）,5®小，0）,C（-L小,0）,

设丽=灰

=z（-1>小,一小）

=（一九小A,一小2）,其中0W2W1,

所以诙=»+丽=（0,0,小）+（—2,小人,一小入）=

（—2,小人,小一小♦）,

又布=（0,黄，0）,设平面MBQ的法向量为m=（x，y,z）,

mQM=0f所么（一拉+小功+小（1-%）z=0

mQB=0flV3y=0

取工=/（1一2），得〃1=（黄（1一义），0,A）,

由题意知平面BQC的一个法向量为〃=（0，0,1）,

因为平面MBQ与平面BQC的夹角为30°,所以&os<m,n）|=言|=

[422—67+32，

因为0W/IW1,解得2=*

所以西=（T，平,s,

易知平面心。的一个法向量为〃=（0,1,0）,

3V5

.1/扇*、,\QMu\__4__3^13

smO=|cos〈QM,〃〉尸制同=孽=]3.

所以QM与平面PAD所成角的正弦值为个限.

课后达标0检测

[学生用书P358(单独成册)]

[A基础达标]

1.(2022・江淮名校阶段检测)己知平面a的一个法向量是帆=(一2,-1,2),

点A(3,4,—1)是平面a内的一点，则点P(l,2,一1)到平面a的距离是()

3,

A.1B.2-

C.2D.2^2

解析：选C.因点43,4,一1)是平面a内的一点，而P(l,2,-1),则存=

(—2,—2,0),又平面a的一个法向量是“2=(—2,—1,2),所以点P到平面

如图，点A,B,C分别在空间直角坐标系。-孙z的三条坐标轴上，OC=(0,

0,2),OA=(\,0,0),OB=(0,2,0),设平面C45与平面ABO的夹角为仇

贝ijcos0=()

A亚R亚

A・36

C啦D苴

J4u-4

解析：选B.因为沆＞=((),0,2),0A=(lf0,0),05=(0,2,0),所以加

=(-l,2,0),AC=(-1,0,2),

AC”=0,—x+2z=0,

设平面ABC的法向量为九=(x,y,z),则，即＜取n

1—x+2y=0,

AB•«=0

=(2,1,1),

又因为平面ABO的法向量为沅=(0,0,2),

\OCn\_2_^/6

所以cos0=故选B.

|OC].|W|2X^66

3.

(多选)如图，三棱锥P-A5C中，B4_L平面ABC,AB=2,BC=2小,4c=4,

4\/s

A到平面P8C的距离为沫，贝U()

A.B4=4

B.三棱锥P-A8C的外接球的表面积为32兀

C.直线A8与直线PC所成角的余弦值为今

D.4B与平面P5C所成角的正弦值为芈

解析：选ABD.因为AB=2,BC=2小，AC=4,

所以AB2+8C2=4C2,即AB_L8C,

又因为用_L平面ABC,

所以而_LA8,PA±BCf设

根据等体积法VPABC=VAPBC,即:X：X2X2q§><a=：X：X2小xg甲

X增

解得4=4,所以AP=G=4,故A选项正确；

所以三棱锥P-ABC的外接球的半径与以BC,BA,AP为邻边的长方体的外

接球的半径相等，

所以三棱锥P-A8C的外接球的半径为2册，

所以三棱锥P-A8C的外接球的表面积为32n,故B选项正确；

过点8作以的平行线BD,则8D_L平面ABC,

所以以点8为坐标原点，BC,BA,。。所在边分别为x,y,z轴建立空间直

角坐标系,

则3(0,0,0),CQ00,0),A(0,2,0),P(0,2,4),

所以崩=(0,-2,0),PC=(2-V3，-2,-4),

所以直线48与直线PC所成角的余弦值为乎，故C选项错误;

因为的=(2小,0,0),降=(0,2,4),

设平面PBC的法向量为/〃=(x,y,z),

m丽=0,(x=0f

则J即J令z=L

除法=0,3=—2z，

所以wi=(0,-2,1),由于丽=(0,-2,0),

故设48与平面PBC所员惫为仇

...nI/一\|I烈加14班

则sin。=cos〈机，A3〉=---二7==7?=屋一，

\my\AB\2X*D

所以A8与平面P8C所成角的正弦值为歆，故D选项正确.

4.

如图所示，在长方体ABCDAiBG。中，AD=AA\=\,48=2,点E是棱

A8的中点，则点E到平面ACDi的距离为.

解析：如图，以O为坐标原点，直线04,DC,05分别为X,y,z轴建立

空间直角坐标系，

则。i(0,0,1),E(l,1,0),A(l,0,0),C(0,2,0).

则第=(i,1,-1),Ac=(-i,2,0),Abi=(-i,o,i).

设千面ACD\的法向量为〃=(a,b,c),

n•AC=—a+2b=0

则j-f取。=2,得〃=(2,1,2),

=—〃+c=o,

所以点E到平面ACD\的距离〃=J中・川」2+「2",

答案：4

5.

如图，在三棱柱ABC-A18G中，44」平面ABC,AAi=4C=BC=2,ZACB

=90°,E是CG的中点.

(1)求直线BG与平面48E所成角的正弦值；

(2)求点C到平面的距离.

解：⑴由A41JL平面ABC,则在三棱柱A8C-A181G中CGJ■平面ABC,

由AC,8CU平面ABC,故CG_LAC,CG±BC,又NACB=90°,

所以CG,AC,BC两两垂直,故可构建以C为原点，CA,CB,氏'为X、

y、z轴正方向的空间直角坐标系(图略)，

所以8(0,2,0),E(0,0,1),4(2,0,2),G(0,0,2),则比i=(0,-2,

2),旗=(0,—2,1),前尸(2,0,1),

[―2y+z=0,

若〃i=(x,yz)是平面ABE1的一个法向量，则，令z=2,有m

f2x+z=0,

=(-h1,2),

BCi,m2V3

所以|cosBC\,m1=|BCi||m||2啦X加6,故直线BC\与平面48E

所成角的正弦值为*.

(2)由VC-A^VA-BCE^由(1)易知SOCE=JCE・5C=1,4到面BCE的距离

为4G=2,

若C到平面48E的距离为d,又E4=BE=,，BAi=2小,则5揖/工=；

义邱Xy匠与=#,

由△^产=%iG•SaBCE，可得

所以点C到平面4BE的距离为坐

6.如图，在三棱锥P-ABC中，△%C是正三角形，AC1BC,AC=BC,D

是AB的中点.

(1)求证：ACJ_P。；

(2)若AC=BC=PD=2,求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值.

解：(1)证明：取AC中点。，连接OP,0D,因为OD//CB,ACLCB,所

以AC_LO。，

△B4C为正三角形，所以POLAC,

ACLOD、

ACLPOt=AC_L平面尸OO,PDU平面POD,所以AC_LPD

POQOD=O,

(2)由(1)及P02=po2+OZ>2,知04,OP,OO两两垂直，建立如图所示的

空间直角坐标系：

./bx

B

y

0(0,0,0),A(l,0,0),D(0,L0),C(-l,0,0),P(0,0,小)，PC=

(-1,0,一小)，^4=(1,0,一小)，P£)=(0,1,一圾

.〃.两=0|x-小z=0,

设平面法向量为〃=(x,y,z),则J=>]r令z=l,〃

nPD=0ly—、j3z=0,

=(^3,小，1),

所以sin6=|cosPC,n|=俨。]

\PC\'\n\

L小一小Iy/n

=2X#=7•

即直线PC与平面附8所成的角的正弦值为与.

[B综合应用]

7.在如图所示的几何体中，四边形48co为矩形，平面ABERL平面A8CD

EF//AB.N84/=90°,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱。F上.

匕。

(1)若尸是。尸的中点，

①求证：BF//平面ACP；

②求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

(2)若平面DAP与平面APC夹角的余弦值为坐，求PF的长度.

(1)①证明：连接8。，交AC于点。连接OP.

因为P是。尸中点，O为矩形ABCO对角线的交点,

所以OP为三角形BDF白位线，

所以BF//。尸，

因为8网平面4CP,OPU平面ACP,

所以B/〃平面ACP.

②因为N84F=90°,

所以ARJ_A5,

因为平面43EF_L平面ABC。，

且平面ABE尸n平面48CD=AB,

AFU平面ABE/，

所以A凡1_平面ABC。，

因为四边形ABCD为矩形，

所以以4为坐标原点，AB,AO,4尸分别为x,y,z轴，建立如图所示空间

直角坐标系A-xyz.

所以8(1,0,0),雄，0，)匕3)，。(1，2，0).

所以旗=(一/0,1),CP=f-l,-1,R

上、,/亦亦\砺力4^5

所以cos(BE,CP)==I、，

|BE|-|CP|

4A/S

即异面直线6K与CF所成南的余弦值为置.

(2)因为A5_L平面ADFf

所以