北京市重点校2023-2024学年九年级上学期期末考试数学汇编：圆的性质（北京版）

第1页/共1页2024北京重点校初三（上）期末数学汇编圆的性质（京改版）一、单选题1．（2024北京朝阳初三上期末）如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（

）

A．4 B．6 C．8 D．102．（2024北京西城初三上期末）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（

）

A． B． C． D．3．（2024北京东城初三上期末）如图，正方形的边长为，且顶点，，，都在上，则的半径为（

）A． B． C． D．4．（2024北京海淀初三上期末）如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（

）A． B． C． D．5．（2024北京海淀初三上期末）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④6．（2024北京东城初三上期末）如图，以为圆心，半径为的圆与轴交于两点，与轴交于两点，点为上一动点，于，当点在的运动过程中，线段的长度的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（2024北京西城初三上期末）如图，四边形内接于，，则°，依据是．

8．（2024北京东城初三上期末）如阁，A，B，C是上的三个点，若，则的大小是．9．（2024北京汇文中学初三上期末）如图，一块直角三角板的30°角的顶点落在上，两边分别交于，两点，若的直径为，则弦AB的长为．10．（2024北京海淀初三上期末）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是．11．（2024北京汇文中学初三上期末）已知圆心角的度数为，点C在的圆周上，则圆周角的度数是．12．（2024北京朝阳初三上期末）如图，在中，弦相交于点，则的度数为．三、解答题13．（2024北京东城初三上期末）如图，是的弦，半径于点，若，，求的半径的长．14．（2024北京朝阳初三上期末）小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证．已知：如图，在四边形中，．

求证：点在同一个圆上．他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点的，再证明第四个顶点也在上．具体过程如下：步骤一

作出过三点的．如图1，分别作出线段的垂直平分线，

设它们的交点为，以为圆心，的长为半径作．连接，（①______）．（填推理依据）．点在上．步骤二

用反证法证明点也在上．假设点不在上，则点在内或外．ⅰ．如图2，假设点在内．

延长交于点，连接．（②______）．（填推理依据）是的外角，（③______）．（填推理依据）．．这与已知条件矛盾．假设不成立．即点不在内．ⅱ．如图3，假设点在外．

设与交于点，连接．．是的外角，．．．这与已知条件矛盾．假设不成立．即点不在外．综上所述，点在上．点在同一个圆上．阅读上述材料，并解答问题：（1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）；（2）填推理依据：①______，②______，③______．15．（2024北京西城初三上期末）如图，是的弦，半径，垂足为．，，求的半径．

参考答案题号123456答案CDCDCA1．C【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．由题意知，，则，由勾股定理得，，进而可求．【详解】解：由题意知，，∴，由勾股定理得，，∴，故选：C．2．D【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：为的直径，，，，，，，，故选：D．【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．3．C【分析】此题考查了正多边形和圆，连接，是正方形，则，，利用圆周角定理可得是的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．【详解】如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴是的直径，在中，由勾股定理得：，∴的半径为，故选：．4．D【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是90°得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可．【详解】∵在中，为直径，∴，∵，∴，故选D．5．C【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．【详解】如图，，即的长度等于半径，，即的长度等于半径，以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；为等边三角形，，当点在优弧上时，，当点在劣弧上时，，当点在圆上移动时，可能是，一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；由以上可知，可以是或，当，时，，当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或，故③正确；过作于，，，当点为优弧的中点时，的面积最大，，故④错误；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键．6．A【分析】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识连接，作，连接，可知点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【详解】连接，作，连接，，∴，∵为圆心，半径为，∴，，在中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴点在以为直径的圆上移动，当点在的延长线上时，的长最小，最小值为，故选：．7．圆内接四边形对角互补【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形对角互补求解作答即可．【详解】解：∵四边形内接于，∴，依据是圆内接四边形对角互补，故答案为：，圆内接四边形对角互补．8．【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得到的角度，然后根据三角形内角和为和等腰三角形的性质可得到结果，熟悉掌握圆周角定理是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，在中，，∴，故答案为：．9．【分析】连接并延长交于点，连接BD，根据同弧所对的圆周角相等得出，，再由含度角的直角三角形的性质即可得出结论．【详解】解：连接并延长交于点，连接BD，，．是的直径，AD，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是同弧所对的圆周角相等，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：∵，∴，由题意得：，在中，，∴，即水的最大深度为，故答案为：．11．或【分析】应根据点C在劣弧上和优弧上两种情况进行讨论，然后分别利用圆周角定理进行解答．【详解】解：∵点C在的圆周上，∴点C可能在优弧上或者劣弧上．当点C在优弧上时，如图所示，∵的度数为，∴．

当点C在劣弧上时，如图所示，∵，∴．故答案为：或．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，分情况讨论是解题的关键．12．140【分析】本题主要考查圆周角定理的应用，根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得．【详解】解：∵∴又∴，∴，故答案为：14013．的半径的长为．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键．【详解】解：连接，半径于点，，，，设，则，在中，根据勾股定理，得，即，解得的半径的长为．14．（1）见解析；（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【分析】本题考查的是画三角形的外接圆，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，圆的内接四边形的性质，反证法的运用，熟练的利用反证法证明命题的真假是解本题的关键；（1）先作线段，的垂直平分线，得到交点O，再以O为圆心，为半径画圆即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得，再利用圆的内接四边形的性质可得对角互补，结合三角形的外角的性质可得推理的依据．【详解】解；（1）补全图1，如图．

（2）①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．②圆内接四边形的对角互补．③三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．15．【分析】连接，在优弧上取一点，连接，如图