考研数学二分类模拟题56

考研数学二分类模拟题56一、填空题1.

设，则A31+A32+A33=______．正确答案：0[解]

2.

设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，则|B-1+2E|=______.正确答案：60[解]因为|E-A|=|E-2A|=|E-3A|=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B-1的特征值为1，2，3，则B-1+2E的特征值为3，4，5，故|B-1+2E|=60.

3.

设A为三阶正交阵，且|A|＜0，|B-A|=-4，则|E-ABT|=______.正确答案：-4[解]

|E-ABT|=|AAT-ABT|=|A||(A-B)T|=-|A-B|=|B-A|=-4.

4.

设A为n阶矩阵，且|A|=a≠0，则|(kA)*|=______．正确答案：kn(n-1)an-1[解]因为(kA)*=kn-1A*，且|A*|=|A|n-1，所以

|(kA)*|=|kn-1A*|=kn(n-1)|A|n-1=kn(n-1)an-1.

5.

设A，B都是三阶矩阵，，且满足(A*)-1B=ABA+2A2，则B=______.正确答案：-6A(E+3A)-1[解]|A|=-3，A*=|A|A-1=-3A-1，则(A*)-1B=ABA+2A2化为注意到A可逆，得或-B=3BA+6A，则B=-6A(E+3A)-1，则

6.

设矩阵A，B满足A*BA=2BA-8E，且，则B=______．正确答案：[解]由A*BA=2BA-8E，得AA*BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以

7.

正确答案：[解]

于是

8.

设，B为三阶矩阵，r(B*)=1且AB=O，则t=______．正确答案：6[解]因为r(B*)=1，所以r(B)=2，又因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，从而r(A)≤1，又r(A)≥1，r(A)=1，于是t=6.

9.

设，B≠O为三阶矩阵，目BA=O，则r(B)=______．正确答案：1[解]因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1.

10.

设，则α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为______，其余的向量用极大线性无关组表示为______．正确答案：α1，α2

[解]

则向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为α1，α2，且

二、选择题1.

设A，B为两个n阶矩阵，下列结论正确的是______.A.|A+B|=|A|+|B|B.若|AB|=0，则A=0或B=0C.|A-B|=|A|-|B|D.|AB|=|A||B|正确答案：D[解]A、C显然不对，设显然A，B都是非零矩阵，但AB=O，所以|AB|=0，B不对，选D．

2.

设α1，α2，α3，β1，β2都是四维列向量，且|A|=|α1，α2，α3，β1|=m，|B|=|α1，α2，β2，α3|=n，则|α3，α2，α1，β1+β2|为______.A.m+nB.m-nC.-(m+n)D.n-m正确答案：D[解]|α3，α2，α1，β1+β2|=|α3，α2，α1，β1|+|α3，α2，α1，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|-|α1，α2，α3，β2|

=-|α1，α2，α3，β1|+|α1，α2，β2，α3|=n-m，

选D．

3.

设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵，则______.A.当m＞n时，必有|AB|≠0B.当m＞n时，必有|AB|=0C.当n＞m时，必有|AB|≠0D.当n＞m时，必有|AB|=0正确答案：B[解]AB为m阶矩阵，因为r(A)≤min{m，n)，r(B)≤min{m，n)，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)≤min{m，n}，故当m＞n时，r(AB)≤n＜m，于是|AB|=0，选B．

4.

设A，B，A+B，A-1+B-1皆为可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于______.A.A+BB.A-1+B-1C.A(A+B)-1BD.(A+B)-1正确答案：C[解]A(A+B)-1B(A-1+B-1)=[(A+B)A-1]-1(BA-1+E)

=(BA-1+E)-1(BA-1+E)=E，

所以选C．

5.

设A，B都是n阶可逆矩阵，则______.A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*=A*-B*D.(A+B)*一定可逆正确答案：B[解]因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=1|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以选B．

6.

设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于______.A.kA*B.knA*C.kn-1A*D.kn(n-1)A*正确答案：C[解]因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n-1阶子式，所以(kA)*=kn-1A*，选C．

7.

设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是______.A.A=OB.A=EC.若A不可逆，则A=OD.若A可逆，则A=E正确答案：D[解]因为A2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E-A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选D．

8.

设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m＜n，则______.A.A的任意m个列向量都线性无关B.A的任意m阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为正确答案：C[解]显然由r(A)=m＜n，得r(A)=r(A)=m＜n，所以方程组AX=b有无穷多个解．选C．

9.

设，若则m，n可取______.A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，nm3D.mm2，nm2正确答案：B[解]经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，则m=3，n=5，即选B．

10.

设则B-1为______.A.A-1P1P2B.P1A-1P2C.P1P2A-1D.P2A-1P1正确答案：C[解]B=AE14E23或B=AE23E14即B=AP1P2或B=AP2P1，所以或注意到于是B-1=P2P1A-1或B-1=P1P2A-1，选C．

11.

设，Q为三阶非零矩阵，且PQ=O，则______.A.当t=6时，r(Q)=1B.当t=6时，r(Q)=2C.当t≠6时，r(Q)=1D.当t≠6时，r(Q)=2正确答案：C[解]因为Q≠O，所以r(Q)≥1，又由PQ=O得r(P)+r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥2，则r(Q)≤1，于是r(Q)=1，选C．

三、解答题1.

设A是正交矩阵，且|A|＜0.证明：|E+A|=0.正确答案：[证明]因为A是正交矩阵，所以ATA=E，两边取行列式得|A|2=1，因为|A|＜0，所以|A|=-1.

由|E+A|=|ATA+A|=|(AT+E)A|=|A||AT+E|=-|AT+E|

=-|(A+E)|T=-|E+A|

得|E+A|=0.

2.

设A=(aij)n×n是非零矩阵，且|A|中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：|A|≠0.正确答案：[证明]因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则

3.

计算正确答案：[解]方法一

方法二

D2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(α2-b2)n．

4.

计算正确答案：[解]

5.

设，求Ak1+Ak2+…+Akn．正确答案：[解]令

|A|=(-1)n+1n!，

则，由

得A*=|A|A-1=(-1)n+1n!A-1，所以

6.

设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，|B|=2，求正确答案：[解]因为A～B，所以A，B特征值相同，设另一特征值为λ3，由|B|=λ1λ2λ3=2得λ3=1.A+E的特征值为2，3，2，(A+E)-1的特征值为则因为B的特征值为1，2，1，所以B*的特征值为，即为2，1，2，于是|B*|=4，|(2B)*|=|4B*|=43|B*|=256，故

设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量．证明：7.

A2=A的充分必要条件是α为单位向量；正确答案：[证明]令αTα=k，则A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=|α|2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量．

8.

当α是单位向量时A为不可逆矩阵．正确答案：[证明]当α是单位向量时，由A2=A得r