考研数学二分类模拟题52

考研数学二分类模拟题52一、填空题1.

设z=xf(x+y)+g(x2，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=______.正确答案：[解]由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得

2.

设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f'1(1，2)=1，f'2(1，2)=4，则f(1，2)=______.正确答案：3[解]f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得

xf'1(tx，ty)+yf'2(tx，ty)=3t2f(x，y)，

取t=1，x=1，y=2得f'1(1，2)+2f'2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3.

3.

设z=f(x，y)二阶可偏导，且f(x，0)=1，f'y(x，0)=x，则f(x，y)=______.正确答案：z=y2+xy+1[解]由得，因为f'y(x，0)=x，所以φ(x)=x，即z=y2+xy+C，因为f(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1.

4.

设u=u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)=x，u'x(x，3x)=x3，则u"xy(x，3x)=______.正确答案：[解]u(x，3x)=x两边对x求导，得u'x(x，3x)+3u'y(x，3x)=1，

再对x求导，得u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)+9u"yy(x，3x)=0.

由得10u"xx(x，3x)+6u"xy(x，3x)=0，

u'x(x，3x)=x3两边对x求导，得u"xx(x，3x)+3u"xy(x，3x)=3x2，

解得

5.

设(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，则a=______，b=______.正确答案：4

-2[解]令P(x，y)=ay-2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，

因为(ay-2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy为某个二元函数的全微分，

所以于是a=4，b=-2.

二、选择题1.

设则f(x，y)在(0，0)处______.A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导正确答案：C[解]因为所以f(x，y)在(0，0)处连续；

因为所以f'x(0，0)=0，根据对称性，f'y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；

由得f(x，y)在(0，0)处可微；

当(x，y)≠(0，0)时，

则

因为不存在，所以f'x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f'y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．

2.

对二元函数z=f(x，y)，下列结论正确的是______.A.z=f(x，y)可微的充分必要条件是z=f(x，y)有一阶连续的偏导数B.若z=f(x，y)可微，则z=f(x，y)的偏导数连续C.若z=f(x，y)偏导数连续，则z=f(x，y)一定可微D.若z=f(x，y)的偏导数不连续，则z=f(x，y)一定不可微正确答案：C[解]因为若函数f(x，y)一阶连续可偏导，则f(x，y)一定可微，反之则不对，所以若函数f(x，y)偏导数不连续不一定不可微，选C．

3.

设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件则______.A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C.f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D.f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上正确答案：B[解]若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有，因为M0为最大值点，所以AC-B2非负，而在D内有，即AC-B2＜0，所以最大值点不可能存D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为B．

三、解答题1.

设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由确定，其中f连续可偏导，h连续，求正确答案：[解]

解得

由对称性得

设u=u(x，y，z)连续可偏导，令2.

若证明：u仅为θ与φ的函数.正确答案：[证明]因为

所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．

3.

若，证明：u仅为r的函数.正确答案：[证明]因为

令则

从而

故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．

4.

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在由x轴、y轴及x+y=6所围成的闭区域D上的最小值和最大值.正确答案：求f(x，y)在区域D的边界上的最值，

在L1：y=0(0≤x≤6)上，z=0；

在L2：x=0(0≤y≤6)上，z=0；

在L3：y=6-x(0≤x≤6)上，z=-2x2(6-x)=2x3-12x2，

由得x=4，因为f(0，6)=0，f(6，0)=0，f(4，2)=-64，所以f(x，y)在L3上最小值为-64，最大值为0.

(2)在区域D内，由得驻点为(2，1)，

因为AC-B2＞0且A＜0，所以(2，1)为f(x，y)的极大点，极大值为f(2，1)=4，

故z=f(x，y)在D上的最小值为m=f(4，2)-64，最大值为M=f(2，1)=4.

5.

设证明：f(x，y)在点(0，0)处可微，但在点(0，0)处不连续.正确答案：[证明]因为

所以f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导，且f'x(0，0)=f'y(0，0)=0.

因为所以f(x，y)在(0，0)处可微．

当(x，y)≠(0，0)时，

因为不存在，所以在点(0，0)处不连续，同理在点(0，0)处也不连续．

设6.

f(x，y)在点(0，0)处是否连续?正确答案：[解]因为，所以故f(x，y)在点(0，0)处连续．

7.

f(x，y)在点(0，0)处是否可微?正确答案：[解]

因为所以

f(x，y)在点(0，0)处不可微．

8.

设z=(x2+y2)sec2(x+y)，求正确答案：[解]由z=(x2+y2)sec2(x+y)，得z=esec2(x+y)ln(x2+y2)，

则

9.

设，其中f(s，t)二阶连续可偏导，求正确答案：[解]

10.

设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z).证明：

正确答案：[证明]令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求导得

当t=1时，有

11.

设正确答案：[解]

则

12.

设u=u(x，y)由方程组u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且正确答案：[解]方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得

所以于是

三个方程两边对y求偏导得

13.

设函数z=f(u)，方程确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ'(u)连续，且φ'(u)≠1，求正确答案：[解]z=f(u)两边对x及y求偏导，得

方程两边对x及y求偏导，得

解得

14.

设z=z(x，y)满足

证明：正确答案：[证明]由则

15.

求z=x2+12xy+2y2在区域4x2+y2≤25上的最值.正确答案：[解]当4x2+y2＜25时，由得驻点为(x，y)=(0，0).

当4x2+y2=25时，令F=x2+12xy+2y2+λ(4x2+y2-25)，

由得

因为所以目标函数的最大和最小值分别为和-50.

16.

设二元函数f(x，y)=|x-y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续.证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0.正确答案：[证明](必要性