考研数学二分类模拟266

考研数学二分类模拟266解答题1.

求初值问题的解．正确答案：解

[考点]齐次方程的求解．

[解析]原方程可化为，是齐次方程．

本题应注意的求法．

2.

设函数试判断在点(0，0)处的连续性．正确答案：解：当x2+y2＞0时，

当x2+y2=0时，

可见，极限值随着k的变化而变化，故极限不存在，从而在点(0，0)处不连续．[考点]二元函数偏导数、偏导数连续的概念．

[解析]本题应先求出的表达式，再判断其连续性．

本题的关键在于证明不存在．

设线性方程组3.

证明：若a1，a2，a3，a4两两互不相同，则方程组无解．正确答案：解：由已知得

由a1，a2，a3，a4两两不相等，知，从而矩阵的秩．

但系数矩阵A的秩r(A)≤3，故，因此原方程组无解．[考点]具体型非齐次线性方程组求通解．

[解析](1)利用范德蒙行列式得到增广矩阵的秩；

(2)利用解的结构求解．

本题未知量系数和常数的排列是有规律的，因此首先要利用范德蒙行列式来确定增广矩阵的秩，第二问也不需要对增广矩阵作初等变换，只利用解的结构即可．

4.

设a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T是该方程组的两个解，求方程组的通解．正确答案：解：当a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)时，方程组为

因，从而方程组对应的导出方程组的基础解系应含有3-2=1个解向量．

又因β1，β2是原非齐次线性方程组的两个解，故是对应齐次线性方程组的解，且ξ≠0，因此ξ是导出方程组的基础解系．

于是，原非齐次线性方程组的通解为(c为任意常数)．

5.

设函数f(x)在[a，b]上连续且恒大于零，证明正确答案：证明：记D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，则

根据轮换对称性有

由基本不等式可知

[考点]积分不等式的证明，二重积分的对称性．

[解析]由于

而D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}关于y=x对称，故可考虑利用二重积分的对称性．

本题的关键在于要想到利用二重积分的对称性．

已知曲线(a＞0)与曲线在点(x0，y0)处有公共切线．求：6.

常数a的值及切点(x0，y0)．正确答案：解：

因为(x0，y0)是公共切点，所以有

解得

a=e-1，x0=e2，y0=1．[考点]定积分的几何应用．

[解析]用定积分求平面区域的面积及旋转体的体积．

7.

两曲线与x轴围成的平面区域的面积．正确答案：解：面积为

[考点]定积分的几何应用．

8.

该图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积．正确答案：解：体积为

[考点]定积分的几何应用．

已知函数9.

求a的值．正确答案：解：因为

故a=1.[考点]函数极限计算与无穷小阶的比较．

[解析]计算极限判断无穷小阶．

无穷小阶的比较是考研数学中的重点和难点，其主要方法是将其转化为相应的极限求解．

10.

若当x→0时，f(x)-a与xk是同阶无穷小，则求常数k的值．正确答案：解：由第一问可知a=1，则

故k+2=3，即当k=1时，f(x)-a与xk是同阶无穷小(x→0)．[考点]函数极限计算与无穷小阶的比较．

11.

若函数f(x)在[a，b]上连续，且a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，证明：在[x1，xn]上必存在ξ，使得f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，其中λi＞0，λ1+λ2+…+λn=1，i=1，2，…，n．正确答案：解：因为f(x)在[a，b]上连续，又，所以f(x)在[x1，xn]上连续，从而f(x)在[x1，xn]上必有最大值和最小值．设M=max{f(x)|x1≤x≤xn}，m=min{f(x)|x1≤x≤xn}，则m≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)≤M.

若m＜λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)＜M，则由连续函数的介值定理知，ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

若m=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，则有f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=m，任取x2，…，xn-1中一点作为ξ，即有ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．

若M=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)，则有f(x1)=f(x2)=…=f(xn)=M，任取x2，…，xn-1中一点作为ξ，即有ξ∈(x1，xn)，使f(ξ)=λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)．[考点]连续函数的介值定理．

[解析]利用闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理求解．

闭区间上连续函数的性质是考研数学的重点，也是难点，在证明过程中要特别注意性质的条件．

已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，，证明：12.

存在ξ∈(0，1)，使得．正确答案：解：令g(x)=f(x)+x-1，g(0)=-1＜0，g(1)=1＞0．

又，由介值定理可知，，使得

[考点]闭区间上连续函数的性质及微分中值定理的应用．

[解析]根据已知条件，利用介值定理、微分中值定理及积分中值定理求解．

这是一道综合了介值定理、微分中值定理及积分中值定理的题目，要注意定理满足的条件及结论．

13.

存在两个不同的点η，δ∈(0，1)，使得正确答案：解：因为，由积分中值定理知，存在x0∈(0，1)使得f(1)=1．f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导；由拉格朗日中值定理知，存在η∈(0，x0)，δ∈(x0，1)使得

[考点]闭区间上连续函数的性质及微分中值定理的应用．

设A，B是n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0和Bx=0分别有l，m个线性无关的解向量，这里l≥0，m≥0．14.

证明：(AB)x=0至少有max{l，m}个线性无关的解向量．正确答案：证明：由已知条件有r(A)≤n-l，r(B)≤n-m，则r(AB)≤min{n-l，n-m}．于是(AB)x=0的基础解系所含向量的个数为n-r(AB)≥max{l，m}．[考点]齐次线性方程组解的判别．

[解析]利用系数矩阵的秩判别．

设A是m×n矩阵：

(1)Ax=0一定有解，即零解．

(2)Ax=0有非零解A的列向量组线性相关

r(A)＜行，

特别的，当m=n时，Ax=0有非零解|A|=0．

(3)Ax=0只有零解A的列向量组线性无关

r(A)=n．

特别的，当m=n时，Ax=0只有零解|A|≠0．

15.

如果l+m＞n，证明(A+B)x=0必有非零解．正确答案：解：r(A+B)≤r(A)+r(B)≤2n-(l+m)．如果l+m＞n，则r(A+B)＜n，于是(A+B)x=0必有非零解．[考点]齐次线性方程组解的判别．

设3维向量α1，α2，α3线性无关，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．16.

证明β1，β2，β3线性无关．正确答案：解：(β1，β2，β3)=(2α1+2kα3，2α2，α1+(k+1)α3)

故β1，β2，β3线性无关．[考点]线性相关性的证明．

[解析](1)抽象向量组线性相关性的判别可以考虑用定义或表示矩阵．

(2)转化为齐次线性方程组求解．

17.

当k为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ由α1，α2，α3和β1，β2，β3线性表示的表达式相同?并求所有的ξ．正确答案：解：由题意知，

ξ=k1β1+k2β2+k3β3=k1α1+k2α2+k3α3，ξ≠0，

即k1(β1-α1)+k2(β2-α2)+k3(β3-α3)=0，k1，k2，k3不全为零．

k1(2α1+2kα3-α1)+k2(2α2-α2)+k3[α1+(k+1)α3-α3]=0，

k1(α1+2kα3)+k2(α2)+k3(α1+kα3)=0

有非零解，即

|α1+2kα3，α2，α1+kα3|=0，

也就是

由k1α1+k2α2+k3α1=0，可得k2=0，k1+k3=0．

所以，ξ=k1α1-k1α3，k1≠0．[考点]考查齐次线性方程组的变形．

18.

设f(x)在[a，b]上可导，且，证明：在(a，b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=0．正确答案：证明：不妨设，由导数定义可知，

由极限的局部保号性可知，存在δ1＞0，当x∈(a，a+δ1)时，f(x)＜f(a)；存在δ2＞0，当x∈(b-δ2，b)时，f(x)＜f(b)．

又因为f(x)在[a，b]上可导，从而一定连续，故必有最小值．由以上所证可知，最小值点ξ在(a，b)内，因此由费马定理得f'(ξ)=0．[考点]导数定义、费马定理．

[解析]根据导数的定义，利用极限的局部保号性，结合费马定理求解．

19.

设4x2+4y2+3z2=32，证明2xy+3yz≤16.正确答案：解：记f(x，y，z)=2xy+3yz，作拉格朗日函数

L(x，y，λ)=f(x，y，z)+λ(4x2+4y2+3z2-32)，

令

解得可能的极值点为(1，2，2)，(-1，2，-2)，(1，-2，2)，(-1，-2，-2)，

由f(1，2，2)=16，f(-1，2，-2)=-16，f(1，-2，2)=-16，f(-1，-2，-2)=16，可知f(x，y，z)在条件4x2+4y2+3z2=32下有最大值16，故

2xy+3yz≤16.[考点]多元函数的条件极值，证明不等式．

[解析]本题可转化为求f(x，y，z)=2xy+3yz在条件4x2+4y2+3z2=32下的极值．

本题将多元函数的条件极值与证明不等式结合了起来．

20.

证明方程xn+xn-1+xn-2+…+x=1(n=2，3，4，…)在(0，1)内必有唯一实根xn，并求正确答案：解：(1)令f(x)=xn+xn-1+xn-2+…+x-1(n=2，3，…)，则f(x)在[0，1]上连续，f(0)=-1＜0，f(1)=n-1＞0，由零点定理知，方程f(x)=0在(0，1)内必有实根．

又，f'(x)=nxn-1+(n-1)xn-2+…+2x+1＞0，所以f(x)在[0，1]上单调增加，故方程f(x)=0在(0，1)内有唯一实根，即方程xn+xn-1+xn-2+…+x=1(n=2，3，…)在(0，1)内有唯一实根．

(2)设xn是方程f(x)=0在(0，1)内的唯一实根，即

考虑数列{xn}，则0＜xn+1＜xn＜1，即{xn}单调有界．

根据单调有界原理知存在，设得

两边取极限得[考点]单调有界原理及零点定理．

[解析]零点定理证明根的存在性，单调性证明唯一性．

单调有界原理和闭区间上连续函数的性质是考研数学的重点．

21.

设函数y=excosx，求y(n)．正确答案：解：由y=excosx得

[考点]两函数乘积的高阶导数．

[解析]归纳法求高阶导数．

(1)求乘积函数的高阶导数一般考虑用莱布尼茨公式：设f(x)和g(x)都n阶可导，则有

(2)高阶导数计算方法有直接求解法(归纳法)和间接求解法．间接求解法是对所求函数经过恒等变形，根据高阶导数的运算性质，结合已知基本初等函数的高阶导数公式求解．

(3)熟记以下常见函数的n阶导数公式：

22.

求不定积分正确答案：解：如下图所示，令x=sect，则dx=secttantdt，因而有

[考点]无理根式不定积分求解．

[解析]用第二换元积分法求解．

当被积函数中含有的因子时，常用三角代换求解——弦代换、切代换和割代换．

求下列函数的导数．23.

．正确答案：解：将方程两边取对数，得，两边对x求导，得

将代入并化简整理得

[考点]初等函数求导．

[解析]用对数求导法求解．

若出现复杂的幂次运算，则幂指函数y=f(x)g(x)[f(x)＞0]的导数也可化为指数函数的复合求解，即

24.

正确答案：解：将方程两边取对数，得lny=x[lnx-ln(x+1)]，两边对x求导，得

将代入并化简整理得

[考点]初等函数求导．

25.

设x1＞0，，证明数列{xn}收敛，并求其极限值．正确答案：解：由x1＞0，有界．又由于递推函数，故f(x)在(0，+∞)内单调减少，则数列{xn}不单调．

假设存在，记为A(A＞0)，等式两边取极限得，解得A=3，A=-1(舍去)，下面证明．由于

令n→∞，由夹逼定理得存在且等于3．[考点]递推数列求极限问题．

[解析]利用结论：单调有界数列必收敛．

熟记以下结论：

(1)对于递推数列xn+1=f(xn)求极限问题，当递推函数f(x)在相应区间上单调增加时，x2＞x1(x2＜x1)，则数列{xn}单调增加(单调减少)；当递推函数f(x)在相应区间上单调减少时，则数列{xn}不具有单调性．

(2)对任意数列{xn}，若满足|xn-A|≤k|xn-1-A|(n=2，3，…)，其中0＜k＜1，则|xn-A|≤k|xn-1-A|≤k2|xn-2-A|≤…≤kn-1|x1-A|，因为，由夹逼定理知

26.

已知方程在区间(0，1)内有实根，试确定常数k的取值范围．正确答案：解：设，则

令g(x)=(1+x)ln2(l+x)-x2，则g(0)=0．因为g'(x)=ln2(1+x)+21n(1+x)-2x，所以g'(0)=0．而x∈(0，1)，所以g'(x)在(0，1)内单调减少，由于g'(0)=0，所以当x∈(0，1)时，g'(x)＜g'(0)=0，也就是g(x)在(0，1)内单调减少．当x∈(0，1)时，g(x)＜g(0