考研数学二分类模拟232

考研数学二分类模拟232解答题1.

设f(x)在[a，b]上有三阶导数，试证：存在ξ∈(a，b)，使得

正确答案：证明：待定常数法，令M满足

显然，此时满足①中的M一定存在，因①除M之外全是常数，故式①实为一个一元一次方程．

将①中的b换为变量x，作辅助函数

则由①②可知F(a)=F(b)=0，由罗尔定理存在x1∈(a，b)，使得

对于[a，x1]上的二阶可导函数f'(x)，再由泰勒公式，，使得

比较③④，可得M=f"'(ξ)，将M代入①即证．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

2.

设s≤n，a≠0且当0＜r＜n时，ar≠1，α1=(1，a，a2，…，an-1)，α2=(1，a2，a4，…，a2(n-1))，…，αs=(1，as，a2s，…，as(n-1))．

证明：α1，α2，…，αs线性无关．正确答案：证明：由于a≠0且当0＜r＜n时，ar≠1，因此a，a2，…，as是两两不等的非零数．

当s=n时，有

此行列式为关于a，a2，…，an的n阶范德蒙行列式，从而这个行列式的值不为0，因此α1，α2，…，αn线性无关．

当s＜n时，同理有，于是向量组(1，a，a2，…，as-1)，(1，a2，a4，…，a2(s-1))，…，(1，as，a2s，…，as(s-1))线性无关，从而它们的延伸组

也线性无关．[考点]向量

3.

．正确答案：解：设，则．代入得

[考点]一元函数微积分

4.

设z=z(x，y)是由方程x+y+z=ez所确定的隐函数，试求zx，zxx，zy．正确答案：解1：设

F(x，y，z)=x+y+z-ez

则

Fx=1，Fy=1，Fz=1-ez

于是

解2：方程x+y+z=ez两边分别对x和y求偏导数(注意，此时x与y是独立的变量，而z是x与y的函数)，得

解得

由此可得

[考点]多元函数微积分

5.

设，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．正确答案：解：令αTβ=k，则A2=kA．

设Ax=λx，则A2x=λ2x=kλx，即λ(λ-k)x=0．

因为x≠0，所以A的特征值为λ=0或λ=k．

由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k，得

λ1=…=λn-1=0，λn=k

又因为r(A)=1，故(0E-A)x=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，即λ=0有n-1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．[考点]特征值与特征向量

6.

设A，B满足A*BA=2BA-8E，且，求B.正确答案：解：由A*BA=2BA-8E，得

AA*BA=2ABA-8A

即

-2BA=2ABA-8A

整理得(A+E)B=4E，所以

[考点]矩阵、向量、方程组

7.

设函数f(x)在闭区间[0，1]上四次连续可微，f(0)=f'(0)=0．证明：函数在[0，1]上二次连续可微．正确答案：证明：当x∈(0，1]时，有

所以F(x)在[0，1]上一次可微．

由式①知

由式①②③知F'(x)连续．

当x∈(0，1]时，由式①可得

由式④⑤⑥可知F(x)在[0，1]上二次可微且连续(即F"(x)在[0，1]上连续)．[考点]连续、导数、微分(Ⅰ)

确定下列方程实根的数目，并划分出这些根所在的区间．8.

x3-6x2+9x-10=0．正确答案：解：设f(x)=x3-6x2+9x-10，则f'(x)=3x2-12x+9，令f'(x)=0，得驻点x=1或3．

情况1

x∈(-∞，1)，由于

故原方程在区间(-∞，1)内方程无实根．

情况2

x∈(1，3)，由于

f'(x)＜0，f(3)=-10＜0

故原方程在(1，3)内也无实根．

情况3

x∈(3，+∞)，由于

故原方程在(3，+∞)内方程有且仅有一实根．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

9.

3x4-4x3-6x2+12x-20=0．正确答案：解：设f(x)=3x4-4x3-6x2+12x-20，则f'(x)=12x3-12x2-12x+12，今f'(x)=0，得驻点x=±1．由于

且当x∈(-∞，-1)时．f'(x)＜0；当x∈(-1，+∞)时，f'(x)＞0．

故原方程有两实根，分别位于(-∞，-1)和(1，+∞)内．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

10.

证明：．正确答案：证明：记，而，则单调递增．于是由|a+b|≤|a|+|b|知

[考点]一元函数微积分

11.

把在极坐标系下的二次积分化为在直角坐标系下的二次积分．正确答案：解：由题设的二次积分知，其相应的二重积分的积分区域为

在直角坐标系下，平面曲线r=1即为x2+y2=1；r=2sinθ或r2=2rsinθ即为x2+y2=2y，两曲线交于点，则该积分区域为

如图所示．于是

[考点]二重积分

12.

设，求与其相似的对角矩阵．正确答案：解：因A是实对称矩阵，故A可相似对角化．又因r(A)=1，故λ=0是三重特征根，λ4=4为单根．

故A相似于．[考点]特征值、特征向量及二次型

13.

求，其中f(t)可微，．正确答案：解：由积分中值定理，存在ξ∈[x，x+2]，使得，所以

[考点]不定积分、定积分、反常积分

14.

解矩阵方程AX=B，其中．正确答案：解：矩阵A的行列式，所以A可逆．由可得，．

因此

[考点]矩阵

15.

求．正确答案：解：

而

所以．[考点]函数、极限

16.

讨论方程ex=ax2(a＞0)实根的数目，并划分出这些根所在的区间．正确答案：解：当x≤0时，对于函数f(x)=ex-ax2，有f(0)=1＞0，又因

故总存在充分大的正数x0，使得f(-x0)＜0．则由连续函数的零点定理知，在(-∞，0)中至少有f(x)=0的一个实根．而当x∈(-∞，0)时，f'(x)=ex-2ax＞0，即函数递增．因此，当x≤0时，f(x)=0只有唯一的根．

当x＞0时，求方程ex=ax2的根，只要求方程x=lna+2lnx(a＞0，x＞0)的根即可．

设

g(x)=x-lna-2lnx

则有

令g'(x)=0，得x=2．

当0＜x＜2时，g'(x)＜0；当x＞2时，g'(x)＞0．所以，为极小值．

又因

因此，当g(2)＞0时，即时，g(x)=0无根；当g(2)=0，即时，g(x)=0有唯一的根；当g(2)＜0，即时，g(x)=0有两个根，它们分别位于(0，2)和(2，+∞)内．

综上所述，方程ex=ax2的根的情况如下：

当时，有唯一的根，位于(-∞，0)内；

当时，有两个根，一根为2，一根位于(-∞，0)内；

当时，有三个根，分别位于(-∞，0)，(0，2)和(2，+∞)内．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

17.

证明：符号函数sgnx，x∈[-1，1]不存在原函数F(x)．正确答案：证明：反证法．若存在原函数F(x)，则F'(x)=sgnx，x∈[-1，1]．由拉格朗日中值定理，可得

说明F(x)在x=0处不可导，与原函数处处可导的事实矛盾，所以sgnx，x∈[-1，1]不存在原函数．[考点]不定积分、定积分、反常积分

18.

已知抛物线y=a0+a1x+a2x2过三点M1(1，0)，M2(2，-1)，M3(3，0)，求抛物线方程．正确答案：解：将M1，M2，M3代入抛物线的解析式，有则解以a0，a1，a2为未知量的方程组，由克拉默法则得

得，故所求抛物线方程为y=3-4x+x2．[考点]行列式

19.

证明：若f在[0，