2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第57炼 放缩法证明数列不等式含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第57炼放缩法证明数列不等式含答案第57炼放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可）（2）若，则，此性质可推广到多项求和：若，则:（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：①等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）②等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）③错位相减：通项公式为“等差等比”的形式④裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：①在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。④若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：①裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）②等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数，即可猜想该等比数列的首项为，公比为，即通项公式为。注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4）与数列中的项相关的不等式问题：①此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形②在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明3、常见的放缩变形：（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择。注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还可以构造放缩程度更小的，如：（2），从而有：注：对于还可放缩为：（3）分子分母同加常数：此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系。（4）可推广为：二、典型例题：例1：已知数列的前项和为，若，且（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式（2）设，数列的前项和为，求证：解：（1）即即，由令可得：，验证符合上式（2）由（1）得：可知当时，不等式得证例2：设数列满足：，设为数列的前项和，已知，（1）求数列的通项公式（2）求证：对任意的且，有解：（1）为公比是的等比数列在中，令，是公比为的等比数列（2）证明：例3：已知正项数列的前项和为，且（1）求证：数列是等差数列（2）记数列，证明：解：（1）为等差数列（2）思路：先利用（1）可求出的公式进而求出，则，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。解：令代入可得：即由为等差数列可得：考虑先证时时，再证综上所述：小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：例4：已知数列满足（1）求证：数列是等比数列，并求出数列的通项公式（2）设，求证：解：（1）是公比为的等比数列（2）思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。解：而所以小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。例：已知数列的前项和，且（1）求（2）求数列的前项和（3）设数列的前项和，且满足，求证：解：（1）在中，令可得：（2）①②①②可得：是公差为6的等差数列（3）由（2）可得：例6：已知数列满足（1）试判断数列是否为等比数列，并说明理由（2）设，数列的前项和为，求证：对任意的解：（1）为公比是的等比数列（2）思路：首先由（1）可求出的通项公式，对于可发现为奇数时，，为偶数时，，结合通项公式可将其写成，从而求出，无法直接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而，求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。解：，由（1）可得：而当时，因为为正项数列例7：已知数列满足：，且（1）求数列的通项公式（2）证明：对于一切正整数，均有解：（1）设即为公比是的等比数列而（2）思路：所证不等式可化简为：，由于是连乘形式，所以考虑放缩为分子分母可相消的特点，观察分母的形式为，所以结合不等号方向，将分子向该形式转化：，再根据右边的值对左边放缩的程度进行调整即可。证明：所证不等式为：等价于证明：设即不等式得证小炼有话说：（1）对于一侧是连乘形式的表达式，在放缩时可考虑通过分子分母相消达到化简式子的目的。与裂项相消相似按照“依序同构”的原则构造。（2）本题中用到了分式放缩的常用方法：通过分子分母加上相同的数达到放缩目的，但要注意不等号的方向（建议验证），常用的放缩公式为：（分子小与分母），（分子大于分母）例8：已知函数（1）若函数在处切线斜率为，，已知，求证：（2）在（1）的条件下，求证：解：（1）整理后可得：下面用数学归纳法证明：当时，成立假设成立，则时时，不等式成立（2）由（1）可知例9：已知数列的各项均为正值，对，，且（1）求数列的通项公式（2）当且时，证明对，都有成立解：（1）由可得：为公比是的等比数列（2）思路：所证不等式为：左边含有两个变量，考虑通过消元简化所证不等式。设，则只需证明：，易知为递增数列。所以只需证明，即，左边共项，结合的特点可考虑将项分为3组：，再求和即证不等式解：所证不等式由（1）可得：只需证：设为递增数列只需证而例10：数列是公差不为零的等差数列，，数列满足：（1）当时，求证：（2）当且时，为等比数列①求②当取最小值时，求证：解：（1）由可得：两式相除可得：（2）①思路：本题的突破口在于既在等差数列中，又在等比数列中，从而在两个不同风格的数列中均能够用进行表示，然后便得到与的关系式，抓住的特点即可求出的值为等差数列另一方面，为等比数列可视为以为首项，为公比的等比数列前项和能够被6整除且或经检验：或均符合题意②思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，，，所以对于右侧，显然无法直接找到求和方法。而对于，虽然没有通项公式，但可对向可求和的方式进行变形，得到，从而可想到利用裂项相消的方式进行求和，得到。对于右侧只能考虑进行放缩，针对的特点可向等比数列靠拢，结合不等号方向可得：。所以。于是所证的不等式就变为只需证明，即证明，考虑对进行放缩，抓住这个特点，由已知可得为递增数列，则，但右侧为，无法直接放缩证明，所以要对的放缩进行调整，计算出可得，进而，但此时只能证明时，不等式成立。对于有限的项，逐次验证即可。由（1）可得：当时，只需证明：即可即证明：由可知为递增数列由可得：时，时，当时，可知成立得证时，成立当时，当时，，综上所述：恒成立第58炼数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设成立，再结合其它条件去证成立即可。证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从开始成立，可从任意一个正整数开始，此时归纳验证从开始（2）归纳假设中，要注意，保证递推的连续性（3）归纳假设中的，命题成立，是证明命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找与的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设命题成立时，可用的条件只有，而不能默认其它的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设，命题均成立，然后证明命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证（是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设成立，证明当时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证：思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：，时，不等式为；当时，所证不等式为，可明显看到与中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：，所证不等式为：，下面用数学归纳法证明：（1）验证：时，左边右边，不等式成立（2）假设时，不等式成立，则时，所以时，不等式成立，均有小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证与条件之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列满足，其前项和，且（1）求数列的通项公式（2）设，并记为数列的前项和，求证：解：（1）①②①②可得：所以两边同除以可得：是公差为的等差数列，在中令可得：（舍）或（2）思路：利用（1）可求出和，从而简化不等式可得：，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难度较小。解：由（1）可得：所证不等式为：下面用数学归纳法证明：当时，不等式为成立假设当时成立，则时，所以只需证：即可，尝试进行等价变形：，所证不等式为：例3：设数列的前项和为，满足，且（1）求（2）求数列的通项公式解：（1）在中，时，有时，，另有，解得：（2）思路：由可得：，两式相减可得：，从递推公式很难直接求出通项公式。观察，可猜想，从而考虑“先猜再证”利用数学归纳法证明：证明：由猜想，下面用数学归纳法进行证明：（1）验证当时，符合题意（2）假设时，，则时，则所以，满足通项公式例4：在数列中，已知，且，求证：证明：用数学归纳法证明：当时，，命题成立假设时，命题成立，即，则时考虑，即时，均有例5：已知数列满足，当时，求证：数列的第项能被3整除证明：（数学归纳法）（1）当时，，能被3整除（2）假设当时，能被3整除，那么当时能被3整除，能被3整除能被3整除即时，命题成立对一切的，均能被3整除例6：设正整数数列满足：，且对于任何，由（1）求（2）求数列的通项公式解：（1）思路：虽然所给条件为不等式，但因为为正整数，所以依然可由不等式确定的值，可先解出范围，再求出满足的整数即可。由已知不等式得：当时，即解得：，则当时，即解得：，则综上：（2）思路：由可猜想，且条件为递推的不等式，刚好能体现与的联系。所以考虑利用数学归纳法证明证明：由，猜想，下面用数学归纳法证明的情况：验证：时，符合通项公式假设时，，则时，而因为时，，（均在时，取到1）所以时，，命题成立而均符合通项公式小炼有话说：（1）利用整数的离散性，在求整数的值时，不仅可用等式（方程）去解，也可用不等式先求出范围，再取范围内的整数，同样可以达到求值的目的（2）为什么对开始进行数学归纳法而不是从开始？因为在，中时，不能满足条件。所以也许一开始入手是从开始证明，但在证明过程中发现条件的对变量取值有所限制，则要进行适当的调整。例7：已知数列满足，其中常数（1）若，求的取值范围（2）若，求证：对任意的，都有解：（1）由已知可得：时或（2）思路：条件给出递推公式，故考虑利用的范围去推出的范围，可尝试数学归纳法解：（数学归纳法）当时，成立假设时，命题成立，即，则当时，，即时，命题成立所以时，均有例8：已知数列的前项和为，且（1）求（2）设满足：且，求证：解：（1）①②①②从第二项开始成等差数列令则，代入可得：时，（2）解：由（1）可得所证不等式为：，考虑使用数学归纳法：当时，假设时，命题成立，即，则时而所以时，命题成立时，例9：已知的三边长为有理数（1）求证：是有理数（2）求证：对任意的正整数，是有理数证明：（1）又，即是有理数（2）思路：题目条件很少，无法直接入手，所以考虑利用数学归纳法制造条件并