2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第53炼 求数列的通项公式含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第53炼求数列的通项公式含答案第53炼求数列的通项公式一、基础知识——求通项公式的方法1、累加（累乘法）（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式①等号右边为关于的表达式，且能够进行求和②的系数相同，且为作差的形式例：数列满足：，且，求解：累加可得：（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式例：已知数列满足：，且，求解：2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式（1）形如的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。例：数列中，，，求数列的通项公式思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出解：设即对比，可得是公比为的等比数列（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题例：在数列中，，解：是公差为2的等差数列小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如（其中为关于的表达式），可两边同时除以，。设，即，进而只要可进行求和，便可用累加的方法求出，进而求出。以（1）中的例题为例：设，则（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，进而可设，递推公式变为，转变为上面的类型求解例：已知在数列中，，且解：累加可得：（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式，将，进而可转化为上面所述类型进行求解例：已知数列中，，且，求解：设，则，且为公差是4的等差数列4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。例：已知数列各项均为正数，，求解：两式相减，可得：是公差为1的等差数列在中，令，可得5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列中，，，求数列的通项公式解：①②②①可得：是公比为的等比数列累加后可得：6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）例1：在数列中，，求数列的通项公式思路：观察递推公式中的特点，两边同时除以可得，进而可将视为一个整体，利用累加法即可得到的表达式，从而求出解：即则有累加可得：即例2：已知在数列中，，，则的通项公式为_________思路：在本题中很难直接消去，所以考虑用进行表示，求出之后再解出解：当时，，整理可得：为公差为2的等差数列点评：在同时存在的等式中，例3：数列满足，则_________思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即，两式相减可得：，从而可得在中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以答案：例4：已知数列满足：，且，则数列的通项公式为_________思路：观察到递推公式的分子只有，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：，从而找到同构特点，并设为辅助数列：，求出通项公式后即可解出解：设，则，而为公比是的等比数列即例5：已知数列为正项数列，且，求解：①②①②可得：，在已知等式中令，可得：③，满足上式④⑤两式相减可得：，为公差是2的等差数列，由③可解得：例6：已知数列的各项均为正数，且，求思路：所给为的关系，先会想到转为递推公式，，两式相减可得：，很难再往下进行。从而考虑化为的递推式：时，，从而为公差是1的等差数列，可求出，进而求出解：，当，有为公差是1的等差数列在中，令可得：可解得小炼有话说：在处理的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方向。本题虽然表面来看消去方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调转方向，去得到的式子，迂回一下再求出例7：已知数列满足，，求的通项公式解：是公差为的等差数列例8：设数列中，，则数列的通项公式为_______思路：题目中所给的是的递推公式，若要求得，则考虑以作为桥梁得到关于的递推公式：，代入可得：，所以可得为等比数列，且，从而可得：答案：例9：在数列中，，，求数列的通项解：例10：设数列满足：，且对于其中任意三个连续的项，都有：，求通项公式思路：由已知条件可得：，观察发现的系数和与相等，所以可将拆为和，从而与配对，将原递推公式转化为：，进而可将视为一个整体，设为，则符合累乘的特点。累乘后可得：，再进行累加即可得到通项公式解：设，即即思路二：本题还可以从递推公式中的“同构入手”，构造辅助数列，，此三项具备同构特点，故设，则递推公式变为：，所以为等差数列，其公差可由计算，从而得到通项公式以求得解：设，则递推公式变为：为等差数列，即小炼有话说：两个思路对比可发现，求数列的通项公式关键在于寻找合适的模型，抓住递推公式的特点构造出辅助数列，选取角度的不同也会导致运算复杂程度的差异第54炼数列求和问题数列求和问题是高考数列中的一个易考类型，在已知通项公式的前提下，要通过观察通项公式（或者项）的特点决定选择哪种方法进行求和。考查学生的观察能力与辨析能力。所以在复习的过程中要抓住每种求和方法相对应的通项公式特点，并在练习中熟悉解法一、基础知识：1、根据通项公式的特点求和：（1）等差数列求和公式：（2）等比数列求和公式：（3）错位相减法：通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法方法详解：以为例，设其前项和为①先将写成项和的形式②两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列，发现乘完公比后，对比原式项的次数，新等式的每项向后挪了一位。③然后两式相减：除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出即可所以对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多方法详解：以为例①裂项：考虑（这里），在裂项的过程中把握两点：一是所裂两项要具备“依序同构”的特点，比如这里的结构相同，且分母为相邻的两个数；二是可以先裂再调：先大胆的将分式裂成两项的差，在将结果通分求和与原式进行比较并调整（调整系数），比如本题中，在调整系数使之符合通项公式即可②求和：设前项和为，求和的关键在于确定剩下的项。通过观察可发现正项中没有消去，负项中没有消去。所以一般来说，裂开的项中有个正项，个负项，且由于消项的过程中是成对消掉。所以保留项中正负的个数应该相同。2、根据项的特点求和：如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，即：两式相加可得：二、典型例题例1：已知函数，求：思路：观察可发现头尾的自变量互为倒数，所以考虑其函数值的和是否具备特点。即，所以考虑第个与倒数第个放在一起求和，可用倒序相加法解：小炼有话说：此类问题要抓自变量之间的联系，并尝试发现其函数值的和是否有特点（常数或者与相关），本题求和的项就呈现出倒数关系。另外在求和过程中倒序相加的方法可以有效地避免项数的奇偶讨论。例2：设数列满足（1）求数列的通项公式（2）令，求数列的前项和解：（1）（2）思路：由（1）可得：，尽管整个通项公式不符合任何一种求和特征，但可以拆成，在求和的过程中分成三组分别求和，再汇总到一起。解：例3：已知数列满足，且对于，设的前项和为，则_________思路：原递推公式很难再有变化，考虑向后再写一个式子进行变形。，两式相减可得：，由可得：，为周期是3的数列，所以求和时可先求出一个周期中项的和，再看中含多少周期即可。解：①②①②得：为周期是3的数列在①中令解得：而答案：例4：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且（1）求数列与的通项公式（2）记，求证：解：（1）设的公差为，的公比为则即，解得：（2）思路：虽然所涉及数列通项公式不是“”形式，但观察到中的项具备“等差等比”的特点，所以考虑利用错位相减法求出，再证明等式即可解：①②②①所证恒等式左边右边即左边右边所以不等式得证例5：已知数列为等差数列，其前项和为，且，数列（1）求的通项公式（2）求数列的前项和解：（1）（2）思路：由（1）可得：，所以在求和时首先要考虑项数是否大于5，要进行分类讨论，其次当，求和可分成组分别求和再汇总解：当时，当时，例6：（2014，桐乡市校级期中）：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，（1）求数列的通项公式（2）若，求数列的前项和解：（1）时，时，符合上式为等比数列设的公比为，则而解得：或单调递增（2）思路：由（1）可得：，观察到分母为两项乘积，且具备“依序同构”的特点，所以联想到进行裂项相消，考虑，刚好为，所以直接裂项然后相消求和即可解：例7：已知等差数列的首项，公差，前项和为（1）若成等比数列，求数列的前项和（2）若对一切恒成立，求的取值范围（1）思路：先利用已知条件求出的通项公式，然后用错位相减法求和解：成等比数列，代入可得：由可得：①②①②（2）思路：虽然不知道的通项公式，但根据其等差数列特征可得：所以，从而可将不等式的左边通过裂项相消求和，然后根据不等式恒成立解的范围即可解：对一切均成立设，由可得：为增函数例8：已知数列，其中相邻的两个被隔开，第对之间有个，则该数列的前项的和为__________思路：本题求和的关键是要统计一共有多少个1，多少个2相加。那么首先应该确定第的位置，（即位于第几对1中的第几个2），可将1个与之后个划为一组，则第组数中含有个数。即，可估算出，所以即该数列的第项位于第组第10个数。可分析前48组中含有48个1，含有个，在第49组中有1个1，9个2，所以前项和为答案：2419小炼有话说：对于这种“规律性”（不含通项公式）的数列，首先要抓住此数列中数排列的规律，并根据规律确定出所求和的最后一项的位置。再将求和中的项进行合理分组使之可以进行求和，再汇总即可。例9：已知是数列的前项和，且（1）求证：数列为等比数列（2）设，求数列的前项和解：（1）①②①②可得：即为的等比数列（2）思路：若要求和，需要先求出的通项公式。所以先利用（1）构造等比数列求出，从而得到，对于，处理方式既可以将进行奇偶分类，进而分组求和，也可放入到通项公式中进行求和解：由（1）可得：令代入方法一：直接求和设小炼有话说：本题虽然可以直接求和，但是过程和结果相对形式比较复杂方法二：分组求和当为偶数时当为奇数时小炼有话说：本题在分组求和时要注意以下几点（1）相邻两项一组，如果项数为奇数，那么会留出一项，项数为偶数，那么刚好分组。所以要对项数进行奇偶的分类讨论（2）在项数为偶数的求和过程中要注意的取值变化不再是，而是所以求和时的公比和求和的项数会对应发生改变。（3）在项数为奇数的求和中可利用前面的结论，简化求和过程例10：已知等差数列的公差为，前项和为，且成等比数列（1）求的通项公式（2）令，求数列的的前项和解：（1）成等比数列即解得：（2）思路：由第（1）问可得：，考虑相邻项作和观察规律：为偶数时，，然后再进行求和即可解：为偶数时，为奇数时：综上所述：小炼有话说：本题还可以直接从入手：尽管裂开不是两项作差，但依靠在求和过程中也可达到相邻项相消的目的。进而根据项数的奇偶进行讨论求和。三、历年好题精选1、把等差数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数……，循环分为则第个括号内各数之和为（）A.B.C.D.2、数列满足，则的前60项和为（）A.B.C.D.3、（2016，山东青岛12月月考）设，则在中，正数的个数是（）A.B.C.D.4、（2016，长沙一中月考）已知数列是等差数列，数列是等比数列，公比为，数列中，，是数列的前项和。若（为正偶数），则的值为（）A.B.C.D.5、若数列满足，则数列的通项公式为____6、（2015，新课标II）设是数列的前项和，且，则____7、（2015，江苏）数列满足，且，则数列的前项和为_________8、在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且（1）求（2）设数列满足，求的前项和9、（2015，广东文）设数列的前项和为，已知，且当时，（1）求的值（2）证明：为等比数列（3）求数列的通项公式10、（2015，天津）已知数列满足，，且成等差数列（1）求的值和的通项公式（2）设，求数列的前项和11、（2014，湖南）已知数列满足（1）若是递增数列，且成等差数列，求的值（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式12、（2014，全国卷）等差数列的前项和为，已知为整数，且（1）求的通项公式（2）设，求数列的前项和13、（2015，山东）设数列的前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和.14、（2016，山东潍坊中学高三期末）在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，也成等差数列．（1）求证：是等比数列；（2）若，求数列的前项和．15、定义数列，且时，（1）当时，，求（2）若，求证：习题答案：1、答案：B解析：由前面几组可得，组中项个数的循环周期为3，因为，所以第50组数含有两个元素。可知在一个周期中将占有中的6项，所以16个周期共占有96项，从而第49个括号里为，第50个括号里含有