2025千题百炼-高考数学100个热点问题（二）：第39炼 传统不等式的解法含答案

2025千题百炼——高考数学100个热点问题（二）：第39炼传统不等式的解法含答案第39炼传统不等式的解法一、基础知识1、一元二次不等式：可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）①求出的根②在数轴上依次标出根③从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根④观察图像，寻找轴上方的部分寻找轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即（3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需同号即可，所以将分式不等式转化为（化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：①的解集与或的解集相同②的解集与的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如：，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可判断出：当同号时，（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与1的大小，规律如下：时，时，进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了（3）对于对数的两个补充①对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，②如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁例如：？某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解的范围二、典型例题：例1：解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）4-1解（1）4-1即与轴的交点为由图像可得满足的的范围为不等式的解集为（2）令，则可解得：作图观察可得：或不等式的解集为（3）令，则中，则与轴无公共点，即恒在轴上方，注：由（1）（2）我们发现，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发现这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀①让最高次项系数为正②解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：方程的根为不等式的解集为例2：解下列高次不等式：（1）（2）123（1）解：123则的根作图可得：或不等式的解集为（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解，可得且不等式的解集为小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而整个的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时的符号一定为正），当经过时，由正变负，而其余的式子符号未变，所以的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生改变，曲线也就跑到轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是在经历每一个根时，式子符号的交替变化。例3：解下列分式不等式：（1）（2）解：（1）不等式等价于不等式的解集为（2）不等式等价于解得：不等式的解集为例4：（1）（2）（3）分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解解：（1）或不等式的解集为（2）不等式的解集为（3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解：不等式的解集为例5：解不等式：（1）（2）解：（1）方法一：所解不等式可转化为方法二：观察到若要使得不等式成立，则，进而内部恒为正数，绝对值直接去掉，即只需解即可。解得不等式的解集为（2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一定是负数，所以直接可得：不等式的解集为小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法例6：解不等式：（1）（2）解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论令两个绝对值分别为零，解得：，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论①不等式变为②时，不等式变为时不等式均成立③不等式变为综上所述：不等式的解集为小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性（2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观察，所解不等式为，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。解：不等式的解集为例7：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）或不等式的解集为不等式的解集为（3）或不等式的解集为（4）或可解得：不等式的解集为例8：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（1）思路：，从而可将视为一个整体，则所解不等式可看做关于的二次不等式，解出的范围，再反求的范围即可解：令即不等式的解集为（2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：，从而选择一项进行变形（比如选择)，再将视为一个整体解不等式，解出的范围后进而求出的范围解：令不等式转化为：或，即或可解得：或（3）令不等式转化为：即不等式的解集为（4）思路：所解不等式等价于，本题可以考虑对的符号进行讨论，从而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现，从而所解不等式转化为：，将视为一个整体，先解出范围，进而解出的范围解：令，所解不等式转化为即即或不等式的解集为例9：已知不等式的解集为，则___，____思路：所解不等式，即，观察可得只要让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解。由已知可得此不等式的解集为，则为的两根，代入解得，再解得答案：小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而简化所解不等式的个数例10：已知不等式的解集为，则的取值范围是________思路：所给条件等价于的解集为，即的解集为，由此可得：解得：答案：第40炼利用函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：在单调递增，则(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设在上连续且单调递增，，则时，;时，(单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）（2）4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。那么问题便易于解决了。（二）利用函数性质与图像解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系。通常可作草图帮助观察。例如：的对称轴为，且在但增。则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合，不会影响结论），得到：距离越近，点的函数值越小。从而得到函数值与自变量的等价关系2、图像与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如，其中的图像均可作出。再由可知的图像在图像的下方。按图像找到符合条件的范围即可。二、典型例题：例1：定义在上的可导函数满足：，，则的解集为（）A.B.C.D.思路：本题并没有的解析式，所以只能考虑利用函数的单调性来解不等式。由条件可得，进而联想到有可能是通过导数的乘除运算法则所得，再结合所解不等式，发现，刚好与条件联系起来，故设，则在上单调递减。，所以的解集为答案：C小炼有话说：（1）在解题过程中目标要明确：既然不能用传统方法解不等式，则要靠函数单调性，进而目标为构造函数并求单调性，要确定单调性则要分析所构造函数的导函数的符号（2）此题构造的关键点有二：一是轮流求导的特点，进而联想到导数乘除法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”。所以解此类题目一定要让条件与结论“对上话”（3）体会条件的作用：提供零点以便配合单调性求解例2：函数的定义域为，，对任意的，有，则的解集是；思路：所解不等式化为，令，则由可得（这也是为何构造的原因），在上单调递增。考虑，答案：例3：设定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为_________思路：由可得原函数（注意由导函数反求原函数时要带个常数），再由可得，（看到函数解析式的反应：定义域？奇偶性？）显然是奇函数，且在单调递增。进而不等式可利用单调性解出的范围。，所以答案：小炼有话说：（1）本题尽管求出的的解析式，但由于靠解析式所解得不等式过于复杂，所以依然选择利用单调性（2）要掌握一些能直接判断单调性与奇偶性的方法，常见的判断方法如下：奇偶性：①奇+奇→奇②偶+偶→偶③奇×奇→偶④奇×偶→奇⑤偶×偶→偶单调性：①增+增→增②减+减→减③增×（-1）→减④1/增→减（仅在函数值恒正或恒负时成立）（3）本题求解有一个重要细节：由于定义在上，所以要保证均在上（4）要培养一个习惯：拿到函数，首先看定义域，其次看函数的三个性质是否有能直接判断的（尤其奇偶性），再根据条件分析。例4：函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（）A．B．C．D．思路：，令，则在单调递增，因为是奇函数，所以可判断为偶函数。另一方面，的解集与的解集相同，进而只需求出的解集。，由增函数可得时，，由对称性可知时，答案：D例5：若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是.思路：根据函数为偶函数，而与互为相反数的特点可化简所求不等式：，由偶函数与单调性作草图可得：距离轴约近，函数值越小，所以可得，解出的范围即可解：所解不等式等价于：为偶函数为偶函数，且上单增答案：小炼有话说：遇到单调性与对称轴已知的函数，可以作草图并得到距离对称轴远近与函数值的大小的等价关系。例6：已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为____________思路：考虑条件能够提供什么，为偶函数的图像关于轴对称的图像关于轴对称；，由轮流求导的特点联想到导数的乘除运算法则（极有可能是除法，则要猜想分母），观察所求不等式与条件的联系，而，进而找到联系。构造函数，则，得到在单调递增，所解不等式也变为求的解。考虑时的值，再利用单调性求解。，而，考虑，图像关于轴对称，故,由在单调递增可得的解集为答案：小炼有话说：（1）本题所给条件比较零散。而解题思路则是像一根线把各个条件与求解联系起来。此类题目在不知如何入手时不妨先将条件进行简单转化，看条件能提供什么，再与所求部分（或者是选择题中的选项）进行对照。从对照中往往就能够得知如何构造函数。（2）本题对条件的利用，以及猜想的解是一个难点。对于指对数运算，结果比较整齐时（尤其是），要想到一些特殊结果，比如等。例7：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.思路：此题一入手便发现需用函数单调性解不等式，观察条件：出现轮流求导，所解不等式中，均具备“”的形式，进而找到连结条件与所求的桥梁。下面对条件进行变形：(注意，不等式变号），令，则，故在上单调递减。所解不等式变为答案：C小炼有话说：此题在处理条件时也有另一个选择，即，但是这与所求不等式之间没有联系（不等式中没有出现的形式），所以此套方案舍弃，将仅仅用于判断符号。在数学题目中，条件就像树状图一样，一个条件可以引出很多种思路与想法。但是如何进行选取要借助其他条件与所求带来的暗示例8：（2015红桥一模）已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.思路：本题如果按照传统不等式解法，则要通过零点分段法去掉绝对值，再解不等式，过程较为复杂。分析，，每一段均可作出图像，而所解不等式在图像上是位于下方的部分。所以作出图像找到边界值：，解得，，解得：，所以满足的的范围是答案：B例9：已知，若同时满足条件：①或；②，则的取值范围是__________思路：本题如果用代数方法求解，则由于本身含参，在解含参不等式时涉及分类讨论较为复杂，同时对于条件①②，均可翻译为图像上的特点，①表示的图像在每一点处至少有一个在轴下方，②表示在中至少存在一个位置，分居轴两侧；再考虑到图像便于作出，所以可用数形结合求出的范围解：因为为常系数函数，先做出图像由图像可得：时，，故图像必为开口向下的抛物线（否则不满足条件①），可得，与轴有两个交点，结合条件①②可得，较小的根应小于，较大的根应小于1。故对进行分类讨论：或解得：答案：例10：定义在上的可导函数满足：，当时，，则不等式的解集为__________思路：不易入手时可先梳理条件与结论能提供什么：①所解不等式，令，可猜出，进而目标转向求的单调性。②（注：是复合函数，求导时要用复合函数求导法则：），想办法确定其符号③：两边求导可得④当时：此为用表示的一个条件，进而有可能将中抽象的表示出来由此发现，只要能确定当时与的关系，即可处理的符号，联系条件③当时，，，进而单调递减时，答案：小炼有话说：（1）在解决此类条件零碎的问题时，除了将所给条件和结论进行进一步的分析外，还要在做得过程中明确下一步需要做什么，需要得到什么。（2）在考试中本题也可利用特殊函数得到答案。由可构造一个符合条件的函数如“+奇函数”的形式。在根据进行调整。例如，然后求解不等式即可。（因为从题目上看可发现只要满足条件的函数均可使不等式的解集相同）三、历年好题精选1、已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.2、若关于的不等式有解，则实数的取值范围是_______3、（2014，庆安高三期中）设，则不等式的解集为（）A．B．C．D．4、（2016，北京西城高三期末）已知函数的部分图象如图所示，若不等式的解集为，则实数的值为____.5、设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6、设函数，则使得成立的的取值范围是（）A.B.C.D.7、（2015新课标II）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的范围是（）A.B.C.D.8、（2014，新课标全国卷II）已知偶函数在单调递减，，若，则的取值范围是_______9、（2014，浙江）设函数，若，则实数的取值范围是________10、（2016，重庆万州二中）已知定义在实数集的函数满足，且导函数，则不等式的解集为（）A.B.C.D.11、设偶函数满足，则不等式的解集为（）A.B.C.D.12、已知函数，则关于的不等式的解集是_______.13、设函数，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.14、设是定义在上的奇函数，在上有且，则不等式的解集为__________15、设函数在上存在导数，对任意的，有，且时，，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.16、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A.B.C.D.17、已知函数则不等式的解集是（） A． B． C． D．18、定义在上的函数满足：，且对于任意的,都有，则不等式的解集为__________________.习题答案：1、答案：C解析：由为偶函数可知关于轴对称，因为在上单调递减，所以结合对称性与单调性，数形结合可知距离越近的点，函数值越大。则，即，可解得：2、答案：解析：不等式变形为：，设结合图像可知：若不等式有解，则的图像有位于下方的部分，所以，解得3、答案：C解析：若，则，所以有若时，可得：解得：，所以综上所述：不等式的解集为4、答案：1解析：由图像可知：当的范围应该在，即不等式的解集为：，依题意