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第页2021年中国科学技术大学自主招生数学试卷（少年创新班）一、填空题（本大题共5小题）1、设a∈R，关于x的方程x4−4a−50x2、棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D3、若直线xa+yb=1(a>0,b>0)与曲线y=4、若x2+y2=5、一个小球在0，1，2，⋯，n这n+1个位置移动，小球向前向后移动一个单位的概率都为12．若在0处，则小球只能向前移动，若初始位置在0处，则首次移动到n的步数的期望为

二、解答题（本大题共4小题）6、在△ABC中，证明：37、对∀x，y∈R，有fx+y8、已知g0x=1，g1x=x，gn9、证明a为无理数当且仅当∀m∈N∗，∃1、【答案】75;【解析】设四个实数解为−x2，−x1，x1则有x2x1x1可知a>25有10x9x可得10a3所以a=75．2、【答案】16【解析】易知公共部分为正方体六个面中心所围成的几何体，如下图所示：可知V=13、【答案】9;【解析】当相切时，有ba=2所以a+b=a+b2+b24、【答案】163【解析】x，y，z应该是正数，构造如下边长为4的等边△ABC，满足OA=y，OB=x，OC=z，∠AOB=π2，则可知2xy+xz+35、【答案】n2【解析】设首次从k到n的步数期望为ak，则有a所以ak−a又小球在0处，只能向前移动到1，则有a0所以a0−an=6、【答案】证明见解析．;【解析】方法一:3=⩽==2−1−其中t=4−2方法二:由嵌入不等式有x2令yz=34，xz=12，yx=32，则有所以327、【答案】fx=0或;【解析】取x=π2，y=0，有取x=0，则有1−fπ（Ⅰ）若fy=0，对任意y∈R（Ⅱ）若fy不恒为0，有f取x=π2，有对任意y∈R均成立，可得f综上可知fx=0或8、【答案】证明见解析，x=22;【解析】由2n−1可得gn整理得gn+1则由gn所以gn又g0x，g1x符合gnx为记fnx=gn所以有fn取x=22cos⁡θf1由数学归纳法可知，fn由sin⁡n+1θ=0所以θ=πn+1，2πn+1，⋯，nπ又fnx为n次多项式，fn故可知fnx=0的n所以gnx=09、【答案】证明见解析．;【解析】必要性，假设a为有理数，设a=pq，p∈Z，q∈记np=sq+r，s∈Z，r=0，1，⋯

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