第七节抛物线课件高三数学一轮复习

第七节抛物线1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问

题中的应用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.3.了解抛物线的简单应用.目录CONTENTS123知识体系构建课时跟踪检测考点分类突破PART1知识体系构建必备知识系统梳理基础重落实课前自修

1.抛物线

y

＝

ax

2的准线方程是

y

＝2，则

a

＝（

）A.

B.

－

C.8D.

－8

2.过抛物线

y

2＝4

x

的焦点的直线

l

交抛物线于

P

（

x

1，

y

1），

Q

（

x2，

y

2）两点，如果

x

1＋

x

2＝6，则｜

PQ

｜＝（

）A.9B.8C.7D.6解析：

抛物线

y

2＝4

x

的焦点为

F

（1，0），准线方程为

x

＝－1.

根据题意可得，｜

PQ

｜＝｜

PF

｜＋｜

QF

｜＝

x

1＋1＋

x

2＋1＝

x

1

＋

x

2＋2＝8.3.焦点在

y

轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为

⁠

⁠.解析：设方程为

x

2＝2

my

（

m

≠0），由焦点到准线的距离为5，

知｜

m

｜＝5，

m

＝±5，所以满足条件的抛物线的标准方程为

x

2＝

10

y

或

x

2＝－10

y

.x

2＝

10

y

或

x

2＝－10

y

4.顶点在原点，且过点

P

（－2，3）的抛物线的标准方程是

⁠

⁠.

y

2＝－

1.与抛物线焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为θ的直线

AB

与抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）交于

A

，

B

两点，

F

为抛物线的焦点，设

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）.则有

（3）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2

p

；

（5）以弦

AB

为直径的圆与准线相切；以

AF

或

BF

为直径的圆与

y

轴相切.2.若

A

，

B

为抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）上两点，且

OA

⊥

OB

，则直线

AB

过定点（2

p

，0）.

1.直线

l

过抛物线

C

：

y

2＝12

x

的焦点，且与抛物线

C

交于

A

，

B

两

点，若弦

AB

的长为16，则直线

l

的倾斜角α＝

⁠.

PART2考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练抛物线的定义及应用考向1

求轨迹方程【例1】已知动圆

P

与定圆

C

：（

x

－2）2＋

y

2＝1相外切，又与定

直线

l

：

x

＝－1相切，那么动圆的圆心

P

的轨迹方程是（

）A.

y

2＝4

x

B.

y

2＝－4

x

C.

y

2＝8

x

D.

y

2＝－8

x

解题技法求轨迹问题的两种方法（1）直接法：按照动点适合条件直接代入求方程；（2）定义法：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有

关的轨迹是否为抛物线.考向2

最值问题【例2】若抛物线

y

2＝4

x

的准线为

l

，

P

是抛物线上任意一点，则

P

到准线

l

的距离与

P

到直线3

x

＋4

y

＋7＝0的距离之和的最小值是

（

）A.2B.

C.

D.3

解题技法与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造

出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使

问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与

直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.

1.动圆过点（1，0），且与直线

x

＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方

程为

⁠.解析：设动圆的圆心坐标为（

x

，

y

），则圆心到点（1，0）的距

离与到直线

x

＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心

的轨迹方程为

y

2＝4

x

.y

2＝4

x

2.（2024·天门模拟）若在抛物线

y

2＝－4

x

上存在一点

P

，使其到焦

点

F

的距离与到点

A

（－2，1）的距离之和最小，则该点的坐标

为

⁠.

3.已知抛物线

x

2＝4

y

上有一条长为6的动弦

AB

，则弦

AB

的中点到

x

轴的最短距离为

⁠.

2抛物线的标准方程与几何性质【例3】

（1）已知

F

为抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点，过

F

作垂直于

x

轴的直线交抛物线于

M

，

N

两点，以

MN

为直径的圆交

y

轴

于

C

，

D

两点，且｜

CD

｜＝3，则抛物线方程为（

）A.

y

2＝2

x

B.

y

2＝2

x

C.

y

2＝4

x

D.

y

2＝6

x

（2）（2021·新高考Ⅰ卷14题）已知

O

为坐标原点，抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点为

F

，

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

PQ

⊥

OP

.

若｜

FQ

｜＝6，则

C

的准线方程为

⁠

⁠.x

解题技法1.求抛物线标准方程的方法（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数

p

），那么

只需求出

p

即可；（2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在

x

轴上

的抛物线的标准方程可统一设为

y

2＝

ax

（

a

≠0）；焦点在

y

轴上的抛物线的标准方程可设为

x

2＝

ay

（

a

≠0），

a

的正负

由题设来定，这样就减少了不必要的讨论.2.抛物线性质的应用技巧（1）利用抛物线方程确定其焦点、准线时，关键是将抛物线方程

化成标准方程；（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.

1.已知

A

为抛物线

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）上一点，点

A

到

C

的焦点的

距离为12，到

y

轴的距离为9，则

p

＝（

）A.2B.3C.6D.9

直线与抛物线的位置关系

A.

p

＝2B.｜

MN

｜＝

C.以

MN

为直径的圆与

l

相切D.△

OMN

为等腰三角形

解题技法求解直线与抛物线综合问题的方法（1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位

置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、

中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点

差法”以及定义的灵活应用；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦

点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式｜

AB

｜＝

x

1＋

x

2＋

p

（焦点在

x

轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式.

x

＋2

y

－3＝0

2.在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线Γ：

x

2＝8

y

的焦点为

F

，过点F'

（0，－2）的直线

l

与抛物线Γ交于

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）两

点（其中0＜

x

1＜

x

2），连接

BF

并延长交抛物线Γ于点

C

，记直线

l

的斜率为

k

，直线CF'的斜率为k'，则

k

＋k'＝

⁠.

0PART3课时跟踪检测关键能力分层施练素养重提升课后练习1.（2024·泸州一模）抛物线

C

：

y

2＝4

x

的焦点为

F

，点

P

是

C

上一

点，若｜

PF

｜＝5，则点

P

到

y

轴的距离为（

）A.4B.3C.2D.1解析：

根据题意，点

F

的坐标为（1，0），故｜

PF

｜＝

xP

＋1

＝5，即

xP

＝4，即点

P

到

y

轴的距离为4.故选A.12345678910111213141516171819202122232425262728

A.

B.

C.

D.2

3.（2024·南昌联考）已知抛物线

E

：

x

2＝4

y

，圆

C

：

x

2＋（

y

－3）2

＝1，

P

为

E

上一点，

Q

为

C

上一点，则｜

PQ

｜的最小值为（

）A.2B.2

－1C.2

D.3

4.（2024·黄冈模拟）中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁

史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱

桥，当水面离拱顶2m时，水面宽8m.若水面下降1m，则水面宽度

为（

）A.2

mB.4

mC.4

mD.12m

5.（多选）已知点

O

为坐标原点，直线

y

＝

x

－1与抛物线

C

：

y

2＝4

x

相交于

A

，

B

两点，则（

）A.｜

AB

｜＝8B.

OA

⊥

OB

C.△

AOB

的面积为2

D.线段

AB

的中点到直线

x

＝0的距离为2

6.（多选）已知抛物线

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦点

F

到准线的距离为

4，直线

l

过点

F

且与抛物线交于

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2）两

点，若

M

（

m

，2）是线段

AB

的中点，则下列结论正确的是（

）A.

p

＝4B.抛物线方程为

y

2＝16

x

C.直线

l

的方程为

y

＝2

x

－4D.｜

AB

｜＝10

7.（2024·天津高考12题）过原点

O

的一条直线与圆

C

：（

x

＋2）2＋

y

2＝3相切，交曲线

y

2＝2

px

（

p

＞0）于点

P

，若｜

OP

｜＝8，则

p

的值为

⁠.

6

8.已知直线

l

经过抛物线

y

2＝6

x

的焦点

F

，且与抛物线相交于

A

，

B

两点.（1）若直线

l

的倾斜角为60°，求｜

AB

｜的值；

（2）若｜

AB

｜＝9，求线段

AB