理论力学(郝桐生)第三版第4单元课件

Theoryof

Mechanics

理论(lǐlùn)力学第四章空间力系和重心共八十七页2第四章空间(kōngjiān)力系和重心第1节空间汇交力系第2节力对点的矩和力对轴的矩第3节空间力偶第4节空间任意力系向一点(yīdiǎn)的简化

主矢和主矩第5节空间力系的平衡方程第6节重心共八十七页3第1节空间(kōngjiān)汇交力系一、

力在空间直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)轴上的投影1.直接投影法Fx=Fcos

Fy

=Fcos

Fz

=Fcos

cos2

+cos2

+cos2

=1参见动画：空间力在正交轴上的投影共八十七页4

先将力投影到对应的坐标面上(miànshànɡ)，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。

2.二次投影(tóuyǐng)法Fx=Fsin

cos

Fy

=Fsin

sin

Fz

=Fcos

Fxy=Fsin

参见动画：二次投影法共八十七页5

三棱柱(léngzhù)底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。

例题例题1

空间力系参见(cānjiàn)动画：例题1(1)共八十七页6

利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面(píngmiàn)上，然后再分别向x，y，z轴投影。

解：

空间(kōngjiān)力系

例题例题1Fxy

=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy

=Fcos30osin45oFz

=Fsin30o参见动画：例题1(2)共八十七页7例题2

例题(lìtí)

如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角)

β和压力(yālì)角α，试求力Fn沿x，y

和z

轴的分力。

空间力系共八十七页8例题2

例题(lìtí)

运动演示

空间(kōngjiān)力系参见动画：圆柱斜齿轮受力分析共八十七页9例题2

例题(lìtí)将力Fn向z轴和Oxy平面(píngmiàn)投影解：

空间力系共八十七页10例题2

例题(lìtí)沿各轴的分力(fēnlì)为将力Fxy向x，y轴投影

空间力系共八十七页11二、空间(kōngjiān)汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力等于各分力的矢量(shǐliàng)和，合力的作用线通过汇交点。1、空间汇交力系的合力合力FR的大小为:合力FR的方向余弦为:共八十七页12例题3

例题(lìtí)

在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小(dàxiǎo)和方向。由表得：解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015－510kNFz341－2kN

空间力系共八十七页13例题3

例题(lìtí)所以(suǒyǐ)合力的大小为合力的方向余弦为合力FR

与x，y，z

轴间夹角

空间力系共八十七页14空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影(tóuyǐng)的代数和分别等于零。2、空间(kōngjiān)汇交力系的平衡条件即空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零。

称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程共八十七页15例题4

例题(lìtí)

如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别(fēnbié)系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。

空间力系参见动画：例题4共八十七页16例题4

例题(lìtí)1.取杆AB与重物(zhònɡwù)为研究对象，受力分析如图。解：xzy30oαABDGCEFzy30oαABGEFF1FA其侧视图为

空间力系xzy30oαABDGCEFF1F2FA共八十七页17例题4

例题(lìtí)3.联立求解(qiújiě)。2.列平衡方程。

空间力系xzy30oαABDGCEFF1F2FAzy30oαABGEFF1FA共八十七页18第2节力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩的矢量(shǐliàng)表示矢量(shǐliàng)的模：矢量的方位：和力矩作用面的法线方向相同矢量的指向：由右手螺旋法则确定力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。力矩矢参见动画：空间力对点的矩共八十七页19力矩矢不可(bùkě)任意移动为定位矢量。共八十七页20二、

力对轴的矩

力对轴之矩：是使物体(wùtǐ)绕轴转动效应的度量。共八十七页21

动画力对轴的矩参见(cānjiàn)动画：力对轴的矩(1)共八十七页22力对轴的矩

力对轴的矩是一个(yīɡè)代数量，其绝对值等于该力在垂直该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴交点的矩。其正负号如下确定：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之为负。

动画右手(yòushǒu)螺旋法则：拇指指向与z轴一致为正，反之为负。1、定义参见动画：力对轴的矩(2)共八十七页23力对轴的矩2、力对轴的矩等于零的情形：力和轴平行；力的作用(zuòyòng)线与轴相交。

动画当力与轴在同一(tóngyī)平面时，力对该轴的矩等于零。参见动画：力对轴的矩等于零共八十七页243、力对轴的矩之解析(jiěxī)表达式如力F在三个坐标轴上的投影分别(fēnbié)为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则参见动画：力对轴的矩解析表达式共八十七页25三、力对点的矩与力对通过(tōngguò)该点的轴的矩的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于(děngyú)力对于该轴的矩。又由于所以力对点O的矩为：力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。共八十七页26例题5

空间(kōngjiān)力系

例题(lìtí)

手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x，y和z三轴的矩。参见动画：例题5共八十七页27例题5应用(yìngyòng)合力矩定理求解。力F

沿坐标轴的投影(tóuyǐng)分别为：

由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解：

空间力系方法1

例题共八十七页28例题5应用力对轴的矩之解析(jiěxī)表达式求解。因为力在坐标轴上的投影(tóuyǐng)分别为：力作用点D的坐标为：

空间力系方法2

例题则共八十七页29在轴AB的手柄BC的一端(yīduān)作用着力F，试求这力对轴AB的矩。已知AB=20cm，BC=18cm，F=50N，且α=45°，β=60°。xzyβαABCFx1y1

例题(lìtí)

空间力系例题6共八十七页30例题6xzyβαABCF

Fx1y1解：

力F对AB的矩等于这力在平面(píngmiàn)Bxy上的投影F'对点B的矩，即

例题(lìtí)

空间力系共八十七页31第3节空间(kōngjiān)力偶1、力偶矩以矢量(shǐliàng)表示力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。共八十七页32力偶矩矢共八十七页33作用在同一刚体(gāngtǐ)上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果；可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，只要(zhǐyào)力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果不变。力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。二、空间力偶等效定理共八十七页34任意个空间分布的力偶可合成为一个(yīɡè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。三、空间(kōngjiān)力偶系的合成与平衡条件即：合力偶矩矢的大小和方向余弦1、空间力偶系的合成共八十七页35例题7

例题(lìtí)

工件如图所示，它的四个面上(miànshànɡ)同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。

空间基本力系共八十七页36例题7

例题(lìtí)将作用在四个面上(miànshànɡ)的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦解：A

空间基本力系参见动画：空间力偶系的合成共八十七页372、空间(kōngjiān)力偶系的平衡条件空间力偶系平衡的必要(bìyào)和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即：空间力偶系的平衡方程空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。共八十七页38

图示的三角柱刚体是正方体的一半(yībàn)。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F

1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F

2

）的矩M2=20N·m；力偶（F3，F

3）的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例题11

例题(lìtí)xzyOF1F2F3

空间基本力系共八十七页391.画出各力偶矩矢。例题11

例题(lìtí)2.合力偶矩矢M的投影(tóuyǐng)。解：

空间基本力系参见动画：例题11共八十七页403.合力偶矩矢M的大小(dàxiǎo)和方向。4.为使这个刚体平衡(pínghéng)，需加一力偶，其力偶矩矢为M4=－M

。xzy45°OM145°M2M3例题11

例题

空间基本力系共八十七页41第4节空间(kōngjiān)任意力系向一点的简化․主矢和主矩1、空间任意力系向一点(yīdiǎn)的简化参见动画：力系向点简化共八十七页42i=1，2，

n共八十七页43空间任意力系向一点O简化，可得一力和一力偶。这个力的大小和方向等于(děngyú)该力系的主矢，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢等于(děngyú)该力系对简化中心的主矩。主矢与简化(jiǎnhuà)中心的位置无关，主矩一般与简化(jiǎnhuà)中心的位置有关。共八十七页44—俯仰(fǔyǎng)力矩飞机(fēijī)仰头—偏航力矩飞机转弯—滚转力矩飞机绕x轴滚转—侧向力飞机侧移—有效升力飞机上升—有效推进力飞机向前飞行空间力系简化的实际意义参见动画：空间力系简化的实际意义共八十七页452、空间任意力系的简化结果(jiēguǒ)分析（1）若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢等于原力系合力矢，合力通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

（3）若 此时分三种情况讨论。②即：①

既不平行(píngxíng)也不垂直时③共八十七页46ORMdF=¢r合力作用线距简化(jiǎnhuà)中心为d可进一步简化为一合力。①若②若——为力螺旋的情形（又移动(yídòng)又转动）力螺旋中心轴过简化中心共八十七页47

动画力螺旋实例(shílì)第4章空间(kōngjiān)任意力系参见动画：用改锥拧螺钉时施加的力螺旋参见动画：钻头钻孔时施加的力螺旋共八十七页48时，空间力系为平衡力系当力螺旋中心(zhōngxīn)轴距简化中心(zhōngxīn)为当既不平行也不垂直时③（4）若拧螺丝(luósī)炮弹出膛时炮弹螺线共八十七页49第5节空间力系的平衡(pínghéng)方程空间任意(rènyì)力系平衡的必要和充分条件是：该力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零。1.空间任意力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程2.空间约束类型举例P88表4-1共八十七页50

球铰链

动画

空间(kōngjiān)约束及其约束力参见(cānjiàn)动画：球铰约束结构以及约束力与示意简图参见动画：带有销子的夹板共八十七页51

空间(kōngjiān)约束及其约束力

动画参见(cānjiàn)动画：铁轨参见动画：万向接头共八十七页52

空间(kōngjiān)约束及其约束力

动画参见(cānjiàn)动画：导轨参见动画：导向轴承共八十七页533.解题步骤、技巧与注意问题：

1)解题步骤：①选研究对象(与平面的相同)②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数4.空间力系平衡(pínghéng)问题举例2)解题技巧：

①用取矩轴代替投影(tóuyǐng)轴，解题常常方便。②一般从整体—>局部的研究方法。共八十七页54例题12

水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别(fēnbié)是r1=0.4m，r2=0.2m.套在C轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3400N，F2=2000N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角

=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。

空间(kōngjiān)力系

例题共八十七页55例题12

以整个系统为研究对象，建立(jiànlì)如图坐标系Oxyz，画出系统的受力图。

解：

为了看清(kànqīnɡ)胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。

空间力系

例题共八十七页56例题12

下面(xiàmian)以对x轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。

力FAx和FBx平行于轴

x，力F2和F1通过(tōngguò)轴

x。它们对轴x的矩均等于零。

力FAz和FBz对轴x

的矩分别为－FAz×0.25m和FBz×

1.25m。

力F3和F4可分解为沿轴x和沿轴z的两个分量，其中沿轴x的分量对轴x的矩为零。所以力F3和F4对轴x的矩等于－（F3+F4）cos30o

×0.75m

空间力系

例题共八十七页57例题12

系统受空间任意(rènyì)力系的作用，可写出六个平衡方程。又已知F3=2F4，故利用(lìyòng)以上方程可以解出所有未知量。共八十七页58例题12

如将坐标轴建立在点A，则平衡方程(fāngchéng)更简单。又已知F3=2F4，故利用(lìyòng)以上方程可以解出所有未知量。共八十七页59

例题例题12

空间力系将空间(kōngjiān)力系问题转化为平面问题求解1.以系统为研究(yánjiū)对象2.受力分析如图示3.整个系统的受力图向三个坐标平面投影，可得到三个平面平衡力系：共八十七页604.整个系统的受力图(lìtú)向平面Oxz投影，可得到一个平面平衡力系：F3=2F4

F3=5600N

F4=2800N

例题例题12

空间力系共八十七页615.整个(zhěnggè)系统的受力图向平面Oyz投影，可得到一个平面平衡力系：

FAz=-2075N

FBz=5750N

例题例题12

空间力系共八十七页626.整个系统(xìtǒng)的受力图向平面Oxz投影，可得到一个平面平衡力系：

FBx=-2800N

FAx=-1400N

例题例题12

空间力系共八十七页63

例题例题13

空间力系

已知:

RC=100mm,RD=50mm,Px=466N,Py=352N,Pz=1400N

求：平衡(pínghéng)时(匀速转动)力Q=？(Q力作用在C轮的最低点）和轴承A,B的约束力？共八十七页64

例题例题13

空间力系解：①选研究(yánjiū)对象

③选坐标(zuòbiāo)列方程②作受力图共八十七页65

例题例题13

空间力系方法(二):将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡(pínghéng)问题来求解。共八十七页66

例题例题13

空间力系1.空间力系投影到坐标平面.主要(zhǔyào)是求：共八十七页67

例题例题13

空间力系２.空间力系投影到坐标平面.主要(zhǔyào)是求：共八十七页68

例题例题13

空间力系3.空间(kōngjiān)力系投影到坐标平面.主要(zhǔyào)是求：共八十七页69

主矢F'R≠0，主矩MO≠0，若主矢F'R垂直于主矩MO，则原空间(kōngjiān)任意力系合成为一个力FR。共八十七页70

主矢F'R≠0，主矩MO≠0，若主矢F'R与主矩MO既不平行也不垂直，则原空间任意(rènyì)力系合成为一个力螺旋。共八十七页71共八十七页72第6节重心(zhòngxīn)

空间平行力系，当它有合力(hélì)时，合力(hélì)的作用点C

就是此空间平行力系的中心。一、空间平行力系的中心由合力矩定理：

物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。

共八十七页73共八十七页74二、重心坐标公式(gōngshì)重心就是(jiùshì)平行力系的中心。1．重心坐标的一般公式2．均质物体的重心坐标公式这时的重心称为体积的形心共八十七页753．薄壳的重心(zhòngxīn)均质物体的重心就是(jiùshì)物体的几何中心，通常也称形心。4．均质等截面细杆的重心这时的重心称为面积的重心这时的重心称为线段的重心共八十七页76三、物体(wùtǐ)重心的求法1．简单几何(jǐhé)形状物体的重心对称性:矩形,圆查表表4-2P952．用组合法求物体的重心组合物体由简单几何图形的物体组合而成，而这些物体的重心是已知的，利用重心坐标公式即可求出组合形物体的重心。若在物体内切去一部分，要求剩余部分物体的重心，可应用分割法，只是切去部分的面积（或体积）应取负值。（1）分割法（2）负面积法（负体积法）共八十七页773．用实验法求物体(wùtǐ)的重心对于形状复杂不易用公式计算的物体，工程中还采用(cǎiyòng)实验方法来测定复杂形状物体的重心（1）悬挂法两直线相交于点C即为重心

图a中左右两部分的重量是否一定相等？共八十七页78（2）称重(chēnɡzhònɡ)法则有整理(zhěnglǐ)后，得若汽车左右不对称，如何测出重心距左（或右）轮的距离？共八十七页79

例题例题14

空间力系解：由于对称(duìchèn)关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段求半径(bànjìng)为R，顶角为2

的均质圆弧的重心。O共八十七页80

例题例题14

空间力系解：方法(fāngfǎ)１：利用积分来求重心；又：求半径为R，顶角(dǐnɡjiǎo)为2

的均质忘形面积的重心。方法２：利用刚才所求弧长重心的结果：即：O求半径为弧长的重心，共八十七页81图示为Z形钢的截面,图中尺寸单位(dānwèi)为cm。求Z形截面的重心位置。将图形截面分割