李建军-半导体器件模拟及数值分析第六章 有限元法模拟

第六章有限元法哈尔滨工业大学(威海)微电子中心(zhōngxīn)王新胜共一百二十四页§6-1基本概念共一百二十四页

有限元法(FiniteElementMethod)，又译为有限元素法，是离散数值分析方法之一。是现在公认的一个有效的用途广泛(guǎngfàn)的数值分析工具，它能应用于几乎所有的连续介质问题和场问题。70年代，有限元法在半导体器件模拟领域中得到了发展，并且自那以后，研究它在器件模拟中的应用，超过了有限插分法。

有限元法不象有限差法那样把求解区域看作是网格点的排列，而是把求解区域看作由许多小的互相连接的子区域(称为元素)所构成。对某一问题，其有限元法模型给出基本方程(fāngchéng)的分片近似。

有限元法的基本思想是：用一组离散元素集合体来代替求解区域，解析地模拟或逼近求解区域。因为这些元素可按各种不同的方式组合在一起，所以能用来表示极其复杂的形状。基本概念共一百二十四页现在把求解区域分成很多元素，并用每个元素内假设的近似函数来表示(biǎoshì)未知的场变量，那么，通过有限元素离散化过程便把问题简化为有限个未知数的问题。近似函数（有时称为插值函数）则由称之为节或节点的指定点上的场变量值来确定。

节点通常选在元素的边界上，相邻的元素由节点连接在一起；除边界节点外，元素也可能有一些内部节点。基本概念那么有限元法的实质是什么呢？在任何维数的连续介质问题中，场变量（无论它是压力、温度、位移

、应力或者某些其它量）是物体(wùtǐ)或求解区域内每个点的函数，因此这是一个具有无限个未知数的问题。共一百二十四页

场变量的节点值和元素的插值函数完全确定了元素内部场变量的特性。一个问题用有限元素表示(biǎoshì)后，场变量的节点值变成了新的未知数，一旦求出这些未知数，则插值函数便确定了整个元素集合体的场变量。

基本概念显然，解的性质(xìngzhì)和近似程度不但取决于所采用的元素的大小和数目，而且还取决于所选择的插值函数。插值函数的选择不是任意的，通常选取的函数，要使场变量或其导数在通过相邻元素的边界时是连续的；同时插值函数必须是针对每个元素来定义的。

有限元法的一个重要特点是把各个单独的元素集合在一起表示整个问题之前，能够为单独元素的解建立公式，这使得有限元法不同于其他的近似数值方法。共一百二十四页有限元法的另一个优点是建立各单独元素特性公式(gōngshì)的途径的多样性。一般来讲，得到元素特性的方法有四种：直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法。各种方法的特点概括如下：基本概念

直接法：来源于结构分析的直接刚度法，应用于比较简单的问题(wèntí)，易于掌握。

变分法：依靠变分计算，涉及到泛函的极值问题，变分法既适用于形状简单的元素又适用于形状的复杂的元素。

加权余数法：这种推导元素特性的方法，完全建立在数学知识上，从问题的基本方程出发，在推导元素特性时不依赖于泛函或者变分原理。共一百二十四页

能量平衡法：取决于系统的热平衡或机械能的平衡。象加权余数法一样(yīyàng)不需要应用变分法原理。因为极大地扩大了有限元素法可能应用的范围。基本概念不论(bùlùn)用哪种方法求解元素特性，采用有限元法求解连续介质问题，总是按照一定步骤进行的，基本上可分成以下五个步骤：

1.连续介质离散化把连续介质或求解区域划分成很多元素。有各种不同形式的元素可供采用，并且在同一个求解区域中可以应用不同形式的元素。

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2.选择插值函数指定每个元素上的节点，选择插值函数的类型以表示每个元素上场变量的变化。通常是选择多项式作为场变量的插值函数，因为多项式易于积分(jīfēn)和微分。场变量及其导数的大小在节点上可能是未知的。基本概念3.求出元素特性有限元素模型一经建立（亦即，只要选择(xuǎnzé)好元素和它们的插值函数），就可准备确定表示各个元素特性的矩阵方程，可以应用上面提到的直接法、变分法、加权余数法和能量平衡法四种方法中的任一种。所采用的方法完全取决于问题的性质。共一百二十四页基本概念

系统矩阵方程组包括所有的节点，其形式和一个单独元素的方程组相同。在准备求解系统方程组以前，还要考虑(kǎolǜ)到问题的边界条件，并对系统方程组加以修正。

4.集合元素(yuánsù)特性以求得系统方程组要求出由元素网格构成的模型所表示的整个系统的特性，必须将表示元素状态的矩阵方程组加以合并，形成表示整个求解区域或系统的矩阵方程组。5.求解系统方程组用有限元方法得到的系统方程组可能是线性的或是非线性的，选用适当的求解方法，求解这组联立方程，即可求得场变量在未知节点上的值。

由上所述，建立有限元方程的方法有多种，此处将着重介绍其中应用最广泛的加权余数法。共一百二十四页基本概念共一百二十四页§6-2连续介质离散(lísàn)化及插值函数共一百二十四页连续介质离散(lísàn)化及插值函数

6.2.1连续介质离散(lísàn)化如上所述，有限元法的基本概念是把求解区域分为有限个数目的子区域，这些子区域称之为元素。这些元素只在求解区域内的节点处和元素的边界上互相连接。

元素的节点是元素的一部分，这样求解区域就被离散了，并且表示为许多元素的一个组合体。有限元素的边界常常是直线或平面。所以，如果求解区域有曲线或曲面边界的话，就可被一系列直线段或平面近似地表示出来。有限元素网格的数学解释就是空间的再分割。共一百二十四页

6.2.2元素和插值函数(hánshù)概述

除了用直接法建立有限元方程(fāngchéng)外，用其他三种方法建立元素特性方程(fāngchéng)都需要选择每个元素上的插值函数。插值函数不是任意选取的，它应满足如下要求：

(1).在元素的交界面（边界）处，场变量及其任一阶偏导数(直至比在有限元积分方程中出现的最高阶偏导数少一阶为止)都必须连续。在有限元素法中，求解区域的元素网格一旦确定，则在每个元素上的未知场变量的特性就由连续函数近似地表达。这些连续函数用场变量的节点值以及其直到某阶导数的节点值表示。定义在每个有限元素上的函数称为插值函数。整个求解区域上插值函数的集合提供场变量的一个分片近似。连续介质离散化及插值函数共一百二十四页(2).在极限情况(qíngkuàng)下当元素的尺寸缩小为零时，的全部均匀状态及其偏导数(直至在有限元积分方程中出现的最高阶的偏导数)都能用来表示。

这些要求由菲利帕(Felippa)、克劳夫给出，并为奥利维拉(Oliverira)所证明。前一个要求称为协调性要求，第二个要求称为完备性要求。插值函数(hánshù)满足第一个要求的元素称为协调元素或保续元素；满足第二个要求的元素称为完备元素。采用以下的定义和记号表达场变量在元素交界面上连续性的程度。如果场变量在元素交界面上是连续的就说有连续；此外，若一阶导数也是连续的，就说有连续；若二阶导数也是连续的，就说有连续等等。

6.2.2元素和插值函数概述连续介质离散化及插值函数共一百二十四页由此可见，当对所要解决的问题选用合适的元素类型时，必须包括元素的形状、节点的数目和类型、节点变量(biànliàng)的类型和插值函数的类型，这些特性中只要缺少一项，对元素的描述就是不完整的。虽然可以设想许多类型的函数都可以作为插值函数，但是只有多项式得到了广泛的应用。原因是多项式的数学运算较为容易，可以毫无困难地进行积分和微分。

以下将本着上述原则，讨论在半导体器件模拟中常用的元素类型和插值函数。

6.2.2元素(yuánsù)和插值函数概述连续介质离散化及插值函数构造具有连续性的元素和插值函数并不特别困难，但需要具有高阶连续性时，困难将迅速增加。对于要求连续性的问题，可以构造出无限个合适的元素，但通常要从这多种元素中选用类型最简单的元素，以避免过大的计算工作量。

共一百二十四页

6.2.3一维元素(yuánsù)及其插值函数最简单的元素是沿x轴的直线(zhíxiàn)线段，叫做线元素。用线元素的节点值和节点坐标可以唯一地表示场变量在元素上的线性变化。元素12外节点外节点元素12内节点3123456

图6-1一维线元素连续介质离散化及插值函数共一百二十四页元素(yuánsù)12外节点(jiédiǎn)外节点x1x2x1x2x1x2N1(x)N2(x)(a)(b)(c)图6-2场变量在一维元素上的线性表示(a)一维直线元素,(b)在元素(e)上的线性变化,(c)的线性插值函数

6.2.3一维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数11共一百二十四页N1(x)和N2(x)称为(chēnɡwéi)插值函数。(6.2.1)

6.2.3一维元素(yuánsù)及其插值函数连续介质离散化及插值函数x1x2(6.2.3)(6.2.2)共一百二十四页

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数

图6-3二为元素(yuánsù)(a)三节点三角形(b)矩形(c)六节点三角形(d)十节点三角形(e)梯形

(a)(b)(c)

(d)(e)连续介质离散化及插值函数共一百二十四页在半导体器件模拟中常采用的二维元素(yuánsù)是三节点三角形元素。根据区域离散化的形式，可以允许在每个元素上按线性变化，如图6-4。与元素(e)相联系的的三个节点值的平面由下述方程描述。图6-4分片的线性求解曲面通过的三节点值的平面

用此方程可在每个节点上计算的节点值。++=),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxbbbj(6.2.4)++=++=++=),(),(),()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)()(3)(2)(1)(kekeeekjejeeejieieeeiyxyxyxyxyxyxbbbjbbbjbbbj(6.2.5)

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数连续介质离散化及插值函数共一百二十四页从而(cóngér)求得用元素节点的坐标和的节点值来表示的常数D-+-+-=D-+-+-=D-+-+-=2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyxjjjbjjjbjjjb(6.2.6)[顶点(dǐngdiǎn)为i,j,k的三角形的面积]

6.2.4二维元素及其插值函数连续介质离散化及插值函数共一百二十四页把方程(fāngchéng)(6.2.6)代入方程(fāngchéng)(6.2.4)，

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数连续介质离散化及插值函数D-+-+-=D-+-+-=D-+-+-=2)()()(2)()()(2)()()()(3)(2)(1ijkkijjkiejikikjkjiekjjikijikjkikjiexxxxxxyyyyyyyxyxxyyxxyyxjjjbjjjbjjjb++=),()(3)(2)(1)(eeeeyxyxbbbj(6.2.7)(6.2.8)整理各项，有aiajakbibjbkcickcj共一百二十四页Nl(e)就是三节点三角形元素的线性插值函数。(6.2.7)(6.2.8)(6.2.9)(6.2.10)把方程(fāngchéng)(6.2.6)代入方程(fāngchéng)(6.2.4)，整理各项，有

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数连续介质离散化及插值函数BACK共一百二十四页某一三角形元素e，顶点坐标分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求i,j,k节点(jiédiǎn)处的插值函数。由(6.2.8)得

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数连续介质离散化及插值函数共一百二十四页

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数某一三角形元素e，顶点(dǐngdiǎn)坐标分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求i,j,k节点处的插值函数。由(6.2.8)得连续介质离散化及插值函数共一百二十四页

6.2.4二维元素(yuánsù)及其插值函数某一三角形元素e，顶点坐标(zuòbiāo)分别为i(0,0),j(1,0),k(1/2,1)，求i,j,k节点处的插值函数。由(6.2.8)得连续介质离散化及插值函数共一百二十四页

6.2.5.三维元素(yuánsù)连续介质离散(lísàn)化及插值函数共一百二十四页§6-3加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法

第一步是假定有关(yǒuguān)场变量的一般函数性质，以某种方式近似地满足给定的微分方程和边界条件，把这种近似值代入原来的微分方程和边界条件中，一般来讲，所得结果会出现某种误差，称为余数，这种余数在整个求解区域上按某种平均意义要求为零。

第二步是求解由第一步所得的方程(组)，从而将一般的函数形式化为某种特定的函数，于是成为所求的近似解。为了说明问题方便，我们以一个微分方程来加以说明。设在以曲面为界的区域D中由下述微分方程决定

£()-f=0(6.3.1)加权余数法是求解线性和非线性偏微分方程近似解的一项技术。加权余数法基本上包括两个步骤。共一百二十四页加权余数(yúshù)法£()-f=0(6.3.1)符号£是微分算符，函数f为独立变量的已知函数，并且假定在上给出了适当(shìdàng)的边界条件。应用加权函数法有下述两步。首先，用近似地表示未知的精确解，可表示为插值函数的一个组合，即~~~(6.3.2)

式中Ni是假定的近似函数(即插值函数)，Ci或是未知参数或是一个独立变量的未知函数，这m个函数Ni通常要满足整体边界条件。共一百二十四页当代入方程(6.3.1)时，未必能满足方程，即

£()-f0

或表示为£()-f=R式中R是用近似(jìnsì)表示时所产生的余数或误差。加权余数法是在整个求解区域上，通过使误差R为微小的方法，来定出m个未知数Ci，其做法是做出误差的加权平均值，使它在求解区域上为零。因此，可选择m个线性无关的加权函数Wi，并且认为，若~~~~加权余数(yúshù)法(6.3.3)则在某种意义上(6.3.4)共一百二十四页方程(6.3.4)中表示的误差分布原理的形式与加权函数的选择有关。一旦指定了加权函数，方程(6.3.4)就表示出求Ci的m个方程，它们或者是代数方程，或者是常微分方程，于是第二步是解方程(6.3.4)求Ci。通过方程(6.3.2)可得到(dédào)未知场变量的近似表示。可以证明，对于许多线性问题，甚至某些非线性问题，当时，(6.3.4)~加权余数(yúshù)法

由于可采用的加权函数或误差分布原理有多种选择方式，因而就有多种加权余数技术。最经常用来推导有限元方程的误差分布原理称为伽辽金准则，或伽辽金法。根据伽辽金法所选的加权函数与用来表示的近似函数相同，即Wi=Ni,共一百二十四页因此(yīncǐ)，伽辽金法要求(6.3.5)加权余数(yúshù)法

上述讨论是假定在整个求解区域上进行的。由于方程(6.3.1)对求解区域中的任意一点都成立，因此，对于由点集所定义的整个区域中的任何子区域或元素也是成立的。所以，可集中讨论单独一个元素，确定一个类似于方程(6.3.2)的局部近似，并且每次只对一个元素有效，这样，场变量的有限元素表示就变得可能了。可将函数Ni视为定义在元素上的插值函数，而Ci就是待定参数，它可以是场变量或者导数的节点值。于是，根据伽辽金法，可列出支配一个元素性质的方程(6.3.6)£()-f=0(6.3.1)~(6.3.2)共一百二十四页与前面(qiánmian)一样，式中上标(e)限于一个元素范围，且

f(e)为定义(dìngyì)在元素(e)上的强迫函数；(6.3.6)

对于整个集合体的每个元素，有象方程(6.3.6)那样的一组方程，由元素方程集合成系统方程之前，应要求所选择的近似函数Ni在集合过程中必须保证元素间的连续性。前面说过，选择插值函数要保证在元素边界上的连续性，以及直至比最高阶导数少一阶的的各阶偏导数的连续性。加权余数法r为指定于元素上的未知参数的数目。共一百二十四页避免这种困境的常用方法是改变方程(6.3.6)的形式，对方程(6.3.6)的积分表达式进行分部积分，可以得到包含较低阶导数的表达式，从而可以利用较低阶的元素间的连续性的近似(jìnsì)函数。当分部积分可能时，这便提供了一种方便的方法。引进了在边界的某些部分必须满足的自然边界条件。虽然含有自然边界条件的边界项出现在每个元素方程中，但是在集合元素方程时，只有边界元素才给出非零的贡献。在集合过程之后，才引入固定的边界条件。加权余数(yúshù)法共一百二十四页下面举例说明有限元法解微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的过程这是一个一维问题，边界只有首位两个离散点。对于这类问题的边界条件的处理，是让首尾两个元素的近似函数在相应的点取边界条件规定值，这样，边界条件就自动满足(mǎnzú)了。有限元法解题的步骤，首先是对微分方程的定义域进行离散化。如图6-5所示。加权余数法共一百二十四页下面举例说明有限元法解微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)的过程1234

x1=0x2x3x4=1元素(yuánsù)(1)(2)(3)节点图6-5区域离散化加权余数法

可把定义域划分成3个区域，即3个元素，共有4个节点，节点1和节点4就是边界上的节点，其对应的值就是边界条件规定值。这3个元素的大小即长度相等，均为1/3。共一百二十四页(6.3.7)加权余数(yúshù)法应用伽辽金法，对元素e，加权余数(yúshù)方程为1234

x1=0x2x3x4=1元素(1)(2)(3)节点图6-5区域离散化共一百二十四页加权余数(yúshù)法应用(yìngyòng)伽辽金法，对元素e，加权余数方程为其中xl和xl+1分别为元素的两个节点坐标。如果Ni采用线性插值函数，首先碰到其在元素交界处二阶导数取不定值问题。为此对方程(6.3.7)进行分部积分，得(6.3.7)共一百二十四页(6.3.8)加权余数(yúshù)法共一百二十四页首先，对于元素1，根据线性插值函数(hánshù)的定义，可得插值函数(hánshù)(6.3.8)对于每一元素，下面(xiàmian)给出方程(6.3.8)的具体形式而，其中分别为节点1及节点2处待求函数值。12131,,=-=-=hhxxNhxx2N加权余数法共一百二十四页(6.3.8)加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页(6.3.8)12131,,=-=-=hhxxNhxx2N元素(yuánsù)1加权余数(yúshù)法共一百二十四页(6.3.8)元素(yuánsù)112131,,=-=-=hhxxNhxx2N加权余数(yúshù)法代入共一百二十四页于是得元素(yuánsù)1中的有限元方程为加权余数(yúshù)法矩阵形式共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页232231,,12=-=--=hhxxNhxxN元素(yuánsù)加权余数(yúshù)法共一百二十四页232231,,12=-=--=hhxxNhxxN元素(yuánsù)加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法于是得元素(yuánsù)2中的有限元方程为共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法上述方程有4个未知数，由此可见集合元素方程构成系统(xìtǒng)方程时，内部元素边界无需考虑，只有边界元素的边界条件需要考虑。共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页加权余数(yúshù)法该方程写成矩阵(jǔzhèn)形式为其中[k]为系数矩阵，为节点变量矩阵，[f]为方程右边的项。由上例可以看出有限元方法解微分方程，主要工作式计算[k]和[f]。系数矩阵[k]是一三对角线矩阵，可以用追赶法求解，计算起来并不困难。如以klm表示系数矩阵元，则归纳本例，klm计算式为M为系统节点总数具体到由i,j两节点组成的元素，系数矩阵的矩阵元为BACK共一百二十四页加权余数(yúshù)法共一百二十四页§6-4一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)前一节介绍了用加权余数法建立有限元方程，从本节起，将介绍有限元法在半导体器件模拟中的具体(jùtǐ)应用。首先从比较简单的一维Poisson方程开始，然后再介绍二维器件的有限元模拟法。共一百二十四页为已知值（初值）(6.4.1)(6.4.2)(6.4.3)(6.4.4)(6.4.5)一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页将(6.4.4)和(6.4.5)代入(6.4.2)，整理(zhěnglǐ)得(6.4.6)(6.4.7)一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页求解区间(qūjiān)离散化后，对元素e应用伽辽金法则，得加权余数方程一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)121,-=-=hxxNhxx2N共一百二十四页一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)121,-=-=hxxNhxx2N共一百二十四页一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页00m为系统(xìtǒng)节点数一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页由上述推导可以看出，用有限元法求解线性缓变结的电势分布，得到的线性方程组的系数矩阵也是三角线矩阵，同样(tóngyàng)可以用追赶法求解。此外，在迭代过程中，的初值及边界条件的处理与有限差分法求解式相同。

以上介绍了用有限元法解一维非线性Poisson方程，可以看出，解一维的微分方程，有限元法与有限差分法相比没有什么优越性，相反，建立有限元方程的数学步骤可能更为复杂。有限元法的优势在于解复杂边界的实际问题，这恰恰是有限差分法所不能及的。所以有限元法的优点只有在多维复杂在边界的模拟中才有可能体现出来。一维Poisson方程(fāngchéng)的有限元方程(fāngchéng)共一百二十四页§6-5有限元法二维模拟(mónǐ)共一百二十四页为了便于说明问题，以二维Poisson方程(fāngchéng)为例说明求解过程。同时，假设Poisson方程是线性的，即(6.5.1)设求解区域为D，则加权余数方程为(6.5.2)

r为元素的节点数。有限元法二维模拟(mónǐ)分部积分共一百二十四页有限元法二维模拟(mónǐ)为浮动边界，nx,ny为单位法线方向矢量。(6.5.3)共一百二十四页有限元法二维模拟(mónǐ)共一百二十四页分部积分时，注意二维器件的边界条件中分成两部分；一部分是电极区，即有金属(jīnshǔ)层覆盖的区域，其电位是固定的，解题时只要把固定值代入即可，同一维情况一样，解题过程中可以暂时作为未知数保留在方程中；另一部分是非电极区，即浮动边界，这些边界的电位是不固定的，但在这些边界上法线方向的梯度为零。这样式(6.5.3)变为(6.5.4)有限元法二维模拟(mónǐ)为浮动边界，nx,ny为单位法线方向矢量。(6.5.3)共一百二十四页,其(6.5.4)式为有限元法二维模拟(mónǐ)(6.5.5)展开(6.5.5)式(即分别(fēnbié)取l=i,j,k)，并写成矩阵形式GOGO共一百二十四页有限元法二维模拟(mónǐ)共一百二十四页有限元法二维模拟(mónǐ)将插值函数(hánshù)代入共一百二十四页1234756

h假设(jiǎshè)器件区域的离散如图所示有限元法二维模拟(mónǐ)0,0h,00,h0,-h共一百二十四页(6.2.8)对于元素(yuánsù)1，节点为1(0,0),2(h,0),6(h,h)，由式(6.2.8)得有限元法二维模拟(mónǐ)共一百二十四页采用同样的计算步骤，可得其余元素(yuánsù)的有限元方程如下：元素(yuánsù)2，节点为6(h,h),3(0,h),1(0,0)元素3，节点为4(-h,h),1(0,0),3(0,h)有限元法二维模拟共一百二十四页采用同样的计算步骤，可得其余元素的有限元方程(fāngchéng)如下：元素(yuánsù)4，节点为1(0,0),4(-h,0),7(-h,-h)元素5，节点为7(-h,-h),5(0,-h),1(0,0)有限元法二维模拟共一百二十四页采用同样的计算步骤，可得其余元素的有限元方程(fāngchéng)如下：元素(yuánsù)6，节点为2(h,0),1(0,0),5(0,-h)有限元法二维模拟共一百二十四页如果把这6个元素的集合看成是一个系统，则系统组装(zǔzhuānɡ)后的有限元方程为有限元法二维模拟(mónǐ)共一百二十四页§6-6MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析1.基本(jīběn)方程共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析2.归一化共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析2.归一化共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析2.归一化设得共一百二十四页归一化的基本(jīběn)方程MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析2.归一化共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析对于MOS器件，上述过程(guòchéng)可做下列近似忽略产生复合项Gn=Gp=0,Un=Up=0仅沟道载流子形成电流

n沟道器件Jp=0p沟道器件Jn=0同时，稳态时3.边界条件以n沟道MOS器件为例，在稳态条件下BACK共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析

yxMOS器件的近似(jìnsì)待解域和各边界ABEGCVBDHFVSVGVD

1

23.边界条件共一百二十四页()()rpndivgraddivgradyeyyy:0:expexp201绝缘体区半导体区W=WG--F-F=MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析3.边界条件共一百二十四页对于(duìyú)Poisson方程ABEGCVBDHFVSVGVD

1

2如右图所示的结构，不同(bùtónɡ)边界上的边界条件为固定边界（AB+CD+EG+HF)间断边界（GH)，电位移连续浮动边界（AC+BD)是边界法线单位向量MOS器件的二维稳态分析共一百二十四页

对于(duìyú)电流连续性方程ABEGCVBDHFVSVGVD

1

2浮动边界（EC+FD+GH)MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析上述方程中待解函数为3.边界条件电子费米势指数项在边界处的给定值固定边界（CD+EG+HF)共一百二十四页4.有限元方程(fāngchéng)建立

待解区域上全部网格均由三角形元素(yuánsù)组成，这样可在待解区域上选用线性插值函数Ni(x,y)(i=1,2,…,N)，N是区域内网各节点的总数，于是n沟道MOS器件的未知函数和可以表示为MOS器件的二维稳态分析共一百二十四页4.有限元方程(fāngchéng)建立其中(qízhōng)

这是一个具有间断介质系数的方程，其有限元方程可由加权余数法导出，记余数或误差为MOS器件的二维稳态分析共一百二十四页4.有限元方程(fāngchéng)建立MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页4.有限元方程(fāngchéng)建立并代入下式JnMOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析GO共一百二十四页4.有限元方程(fāngchéng)建立上述方程(fāngchéng)与下面的方程(fāngchéng)连立可解出MOS器件的二维稳态分析共一百二十四页5.有限元方程(fāngchéng)的解法MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页5.有限元方程(fāngchéng)的解法MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页5.有限元方程(fāngchéng)的解法MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页形成(xíngchéng)初值

(0),n(0),p(0)

建立(jiànlì)和求解A方程组

开始结束YesNo||(k)||<

1

||(k)||<

2

修正

n建立和求解B方程组

nYes修正

No内循环外循环建立和求解A方程组

YesMOS器件的二维稳态分析共一百二十四页源区节点上，

(0)=VS漏区节点上，

(0)=VD衬底节点上，

(0)=VB对n沟MOS器件，p(0)是常数，p＝exp(VB)

n(0)是通过把(0)代入B方程(fāngchéng)求解得到6.初值MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析共一百二十四页7.单元(dānyuán)网格划分MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析

下图中类型1是基本形式的单元，类型2用于从上至下网格变疏，类型3用于从下至上网格变疏，类型4用于从左至右网格变疏，类型5则用于从由右至左网格变疏。类型1类型2类型3类型4类型5

合理地进行网格的划分对方程组阶数的降低和保证求解结果的精度有很大的好处。此处待解区域上全部网格由三角形单元组成。网格划分的基本原则是在待解变量变化陡峭的区域网格应该密一些，在待解变量变化缓慢的区域网格应该稀一些。共一百二十四页7.单元网格(wǎnɡɡé)划分MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析

Y方向变疏X方向变疏共一百二十四页采用上述方法(fāngfǎ)，对三种不同沟道长度的样品计算器漏电流IDS随栅电压VG的变化值件，三个样品均为n沟道MOS器件。沟道长度分别为L=2.07,3.25,9.28m;W=15m；

栅氧化层厚度为tox=250A;

漏源结深为xj=0.7m；衬底惨杂浓度为NB=21015cm-3；

漏和源扩散区的表面浓度为NS=1020cm-3MOS器件(qìjiàn)的二维稳态分析8.计算结果与实验结果比较共一百二十四页左图给出了L=2.07m,W=15m的样品1在VDS=3V，VB=-1V和0V情况下IDS随栅电压VG的变化，右图给出了三种沟道长度的样品在VDS=3V，VB=0V情况下IDS随栅电压VG的变化。可以看出测量值和实验值在误差(wùchā)范围内得到了复合。同时由右图可以明显地看到沟道长度减小阈值电压下降的短沟道效应。

VG(V)

VDS=3VL=2.07m

VB=0VVB=-1V

VG(V)

VDS=3VL=2.07m

L=3.25m

L=9.28m

样品1在不同衬底偏压下IDS随VG变化的测量值与计算(jìsuàn)值(曲线为测量值为计算(jìsuàn)值)三种不同沟道长度样品的IDS随VG变化的测量值与计算值(曲线为测量值为计算值)GaAsFET的有限元两维数值分析共一百二十四页GaAsFET的有限元两维数值(shùzí)分析§6-7GaAsFET的有限元二维分析(fēnxī)共一百二十四页目前GaAsFET日益超小型化方向发展(fāzhǎn)。而短沟器件中二维效应很显著，要得到短栅器件的精确的物理图像，只有通过严格地解联立形式的二维Poisson方程和电流连续方程。正如前面所说，要得到上述偏微分方程的解析解是非常困难的，在许多情况下是不可能的，唯一的办法是借助于电子计算机作二维数值分析。GaAsFET的有限元两维数值(shùzí)分析

砷化镓场效应器件，即GaAsFET，是近二十年来发展最快的微波半导体器件，其应用范围也不断扩大，从微波低噪声器件发展到微波功率器件，从微波集成电路发展到千兆赫的高速逻辑电路。这就要求对GaAsFET器件内部的物理过程作一番深入的研究分析，搞清其物理机制，从而进一步改进提高器件性能并探索新器件。共一百二十四页

一、GaAsFET的物理模型、基本方程(fāngchéng)和边界条件1、物理模型

GaAsFET的基本结构如下图所示，这里作如下假设：GaAsFET的有限元两维数值(shùzí)分析

SGD

LGSLGLGDVDSVGS有源层高阻衬底1)只考虑多数载流子(即电子)，略去少子，也不考虑产生—复合效应；2)假定爱因斯坦关系成立，且扩散系数Dn和载流子漂移速度|v|均是电场强度|E|的函数。共一百二十四页2、基本(jīběn)方程GaAsFET的有限元两维数值(shùzí)分析

一、GaAsFET的物理模型、基本方程和边界条件共一百二十四页设源漏电极均为理想欧姆接触，栅电极为理想的整流接触，器件各面除电极外无电流通过，源电极接地。

1)以和n为基本(jīběn)变量源极，=0，n＝Nd栅极，=VG-Vbi，n=Ndexp(VG-Vbi)漏极，=VD，n=Nd其余各面上，,n的法向导数为零，即3、边界条件为边界法向量单位(dānwèi)矢量。VG,VD为外加栅、漏电压，Vbi为栅自建电位。GaAsFET的有限元两维数值分析

一、GaAsFET的物理模型、基本方程和边界条件共一百二十四页2)以和

n为基本变量(biànliàng)源极，=0，n

＝Nd栅极，=VG-Vbi，n

＝Nd漏极，=VD，n

＝Ndexp(-VD)其余各面上，和

n的法向导数为零GaAsFET的有限元两维数值(shùzí)分析

一、GaAsFET的物理模型、基本方程和边界条件3、边界条件共一百二十四页1、半导体方程(fāngchéng)的有限元形式

二、GaAsFET的有限元数值(shùzí)分析方法1).以和n为基本变量

APoisson方程GaAsFET的有限元两维数值分析设所处理的区域为，插值函数为Ni(x,y),N为网格总数。,n可近似表示为共一百二十四页

上式是一个以为未知数的N