3.2.1双曲线及其标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性

第三章圆锥曲线的方程双曲线及其标准方程人教A版

数学

选择性必修第一册课程标准1.了解双曲线的定义.2.掌握双曲线的几何图形与标准方程.3.会求双曲线的标准方程.基础落实·必备知识全过关知识点1双曲线的定义1.定义:一般地,我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于

(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.

此条件不可或缺这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.非零常数

名师点睛若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点M的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|MF1|与|MF2|的大小.(1)若|MF1|>|MF2|,则|MF1|-|MF2|>0,点M的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|MF1|<|MF2|,则|MF2|-|MF1|>0,点M的轨迹是靠近定点F1的那一支.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

)(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(

)(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)(4)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系与椭圆中a,b,c之间的关系相同.(

)××××2.把双曲线定义中的“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或将定义中的非零常数改为零,结果如何?提示

①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在;③若为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.3.[人教B版教材例题]已知F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2,求动点P的轨迹方程.知识点2双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程(a>0,b>0)

(a>0,b>0)几何图形

焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)

a,b,c的关系c2=a2+b2

此关系蕴含①c>a,c>b;②可知二求一

F1(0,-c),F2(0,c)名师点睛两种双曲线

(a>0,b>0)的相同点:它们的形状、大小都相同,都有a>0,b>0,a2+b2=c2;不同点:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.过关自诊1.如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置?提示

“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.2.[2023陕西渭南期末]已知两定点F1(5,0),F2(-5,0),曲线C上的点P到F1,F2的距离之差的绝对值是8,则曲线C的方程为(

)B解析

根据双曲线的定义知,P的轨迹是以F1(5,0),F2(-5,0)为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为

.故选B.3.[北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆

的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.重难探究·能力素养全提升探究点一双曲线定义的应用(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)若点P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.思路分析

(1)直接利用定义求解.(2)在△F1PF2中利用余弦定理求|PF1|·|PF2|.解

(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6.解得|MF2|=10或|MF2|=22.规律方法

求双曲线中的焦点三角形△PF1F2面积S的方法

变式训练1已知双曲线

的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.解在双曲线的方程中,a=3,b=4,则c=5.设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0).由双曲线的定义可知,|m-n|=2a=6,两边平方,得m2+n2-2mn=36.又∠F1PF2=90°,∴由勾股定理,得m2+n2=|F1F2|2=(2c)2=100.探究点二求双曲线的标准方程【例2】

根据下列条件,求双曲线的标准方程:

(3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.∵点P,Q在双曲线上,规律方法

待定系数法求双曲线的标准方程的步骤(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);(3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.变式训练2求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上;(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6).探究点三双曲线标准方程的应用(1)若该方程表示双曲线,求实数k的取值范围;(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数k的取值范围.思路分析

根据双曲线方程的特征建立不等式(组)求解.若该方程表示双曲线,则有(4+k)(k-1)>0,解得k>1或k<-4,故实数k的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).规律方法

方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程

=1,当mn<0时表示双曲线,进一步,当m>0,n<0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程

=1,当mn>0时表示双曲线,且当m>0,n>0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时表示焦点在y轴上的双曲线.(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.变式训练3(1)在方程mx2-my2=3n中,若mn<0,则该方程表示(

)A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线D(2)若方程x2sinα-y2cosα=1(0≤α<π)表示双曲线,则α的取值范围是

.

探究点四双曲线的实际生活应用【例4】

[人教B版教材习题]相距1400m的A,B两个观察站都听到了一声巨响,且在A处听到的时间比在B处听到的时间早4s.已知当时的声速是340m/s,发出巨响的点与A,B都在水平面上,求发出巨响的点所在曲线的方程.解

以线段AB的中点为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略),设发出巨响的点为P.由题意可知|PB|-|PA|=340×4=1

360,易知点P在以A,B为焦点的双曲线上,即2a=1

360,2c=1

400,解得a=680,c=700,所以b2=27

600.规律方法

利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).变式训练4如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东30°方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2km,则曲线PQ的轨迹方程是

;现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物,那么这两条公路MB,MC的路程之和最短是

km.

解析

如图所示,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.则|DA|-|DB|=2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故2c=4,c=2,2a=2,a=1,b2=c2-a2=4-1=3,本节要点归纳1.知识清单:(1)双曲线的定义及应用;(2)双曲线的标准方程及其推导过程;(3)双曲线在实际生活中的应用.2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、转化化归法.3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练AB123456789101112131415162.[探究点三]若方程E:表示焦点在y轴上的双曲线,则实数m的取值范围为(

)A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,2) D.(1,+∞)A12345678910111213141516C123456789101112131415164.[探究点一]已知双曲线

上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(

)A.3或7 B.6或14 C.3 D.7A123456789101112131415165.[探究点四]许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径AB=20米,上底直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为(

)B12345678910111213141516(-1,+∞)(-∞,-5)∪(-5,-1)123456789101112131415167.[探究点二]焦点在x轴上的双曲线经过点P(4,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为

.

1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516B级必备知识基础练9.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(

)A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线 D.圆B12345678910111213141516D12345678910111213141516BCD1234567891011121314151612345678910111213141516BC123456789101112131415161234567891011121314151614.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为

.

解析

设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.∴点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.又2c=8,∴c=4.∴b2=c