8.5.3平面与平面平行课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.3.会证明平面与平面平行的性质定理.4.能够应用平面与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

平面与平面平行的判定定理

文字语言如果一个平面内的两条

直线与另一个平面

,那么这两个平面平行

图形语言

符号语言a⊂β,b⊂β,

,a∥α,b∥α⇒β∥α

作用证明两个平面

相交

平行

a∩b=P

平行

名师点睛1.定理中,要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字,否则条件不充分,结论不成立.2.定理体现了化归的数学思想,证明面面平行只需证明两组线面平行.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)一个平面内有两条平行直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(2)一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)(3)一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)××√2.一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,这两个平面平行吗?提示

平行.由线面平行的判定定理,这两条相交直线都平行于另一个平面,再根据面面平行的判定定理可得两平面平行.3.[苏教版教材例题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面C'DB∥平面AB'D'.证明

由题意可知AB∥CD,AB=CD,CD∥C'D',CD=C'D',所以AB∥C'D',AB=C'D'.所以四边形ABC'D'是平行四边形,所以AD'∥BC'.因为AD'⊄平面C'BD,BC'⊂平面C'BD,所以AD'∥平面C'BD.同理可证AB'∥平面C'BD.又AB'∩AD'=A,所以平面C'DB∥平面AB'D'.知识点2

平面与平面平行的性质定理

文字语言两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线

图形语言

符号语言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒

作用证明两条直线

平行

a∥b平行

名师点睛1.定理成立的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面都相交.2.定理的实质:面面平行⇒线线平行,体现了转化思想与判定定理交替使用,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化.3.面面平行还有如下的性质:两个平面平行,一个平面内的直线平行于另一平面.可作为证明直线与平面平行的依据.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面α∥平面β,平面α∩平面γ=直线a,平面β∩平面γ=直线b⇒a∥b.(

)(2)平面α∥平面β,直线a⊂α,直线b⊂β⇒a∥b.(

)(3)若α∥β,β∥γ,则α∥γ.(

)2.[北师大版教材习题]已知平面α和平面β平行,若两直线m,n分别在平面α,β内,则m,n的关系不可能是(

)

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面√×√B解析

直线m,n不可能相交.假设m∩n=A,则A∈α,A∈β,这与α∥β矛盾.直线m,n可以平行,也可以异面.故选B.3.如果平面α∥β,直线l⊂α,那么l∥β吗?提示

平行.重难探究·能力素养全提升探究点一两个平面平行的判定【例1】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点.求证:(1)E,F,D,B四点共面;(2)平面MAN∥平面EFDB.证明

(1)连接B1D1.∵E,F分别是B1C1和C1D1的中点,∴EF∥B1D1.又BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,D,B四点共面.(2)由题意知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,∴MN∥平面EFDB,连接MF.∵点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,∴MFAD.∴四边形ADFM是平行四边形.∴AM∥DF.∵AM⊄平面EFDB,DF⊂平面EFDB,∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN=M,∴平面MAN∥平面EFDB.变式探究本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN∥平面C1BD.证明

连接AB1.∵P,M分别是AA1,A1B1的中点,∴PM∥AB1.又AB1∥C1D,∴PM∥C1D.又PM⊄平面C1BD,C1D⊂平面C1BD,∴PM∥平面C1BD.同理MN∥平面C1BD.又PM∩MN=M,∴平面PMN∥平面C1BD.规律方法

证明两个平面平行的方法证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:探究点二面面平行性质定理的应用【例2】

如图,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D.(1)求证:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.(1)证明

∵PB∩PD=P,∴直线PB和PD确定一个平面γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解

由(1)得AC∥BD,规律方法

证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行线的传递性:平行于同一条直线的两条直线平行.变式训练1[北师大版教材习题]求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.证明

如图,平面α∥平面β,AC⊂α,BD⊂β,AB∥CD.因为AB∥CD,所以A,B,D,C四点共面.又α∥β,平面ABDC∩α=AC,平面ABDC∩β=BD,由面面平行的性质定理,得AC∥BD.又AB∥CD,所以四边形ABDC为平行四边形,所以AB=CD.探究点三线面平行、面面平行判定定理的综合【例3】

在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM∥平面AEC?并证明你的结论.解

当F是棱PC的中点时,平面BFM∥平面AEC.证明如下,取PC的中点F,连接BF,BM,MF.∵M是PE的中点,∴FM∥CE.∵FM⊄平面AEC,CE⊂平面AEC,∴FM∥平面AEC.由EM=PE=ED,得E为MD的中点,连接BD,如图所示,设BD∩AC=O,则O为BD的中点.连接OE,则BM∥OE.∵BM⊄平面AEC,OE⊂平面AEC,∴BM∥平面AEC.∵FM⊂平面BFM,BM⊂平面BFM,FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.规律方法

探索型问题的类型及解法探索型问题是具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,当点M在

时,有MN∥平面B1BDD1.

点F,H的连线上

解析点M在F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1∥平面BDD1B1,连接NH,则NH∥平面BDD1B1.∵NH∩NN1=N,∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.∵MN⊂平面NN1FH,∴MN∥平面B1BDD1.即点M在点F,H的连线上时,有MN∥平面B1BDD1.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面与平面平行的判定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:平面与平面平行的条件不充分导致错误.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516A级必备知识基础练1.(多选题)[探究点一]设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(

)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αCD123456789101112131415162.[探究点一]若一个平面α内的两条直线a,b分别平行于另一个平面β内的两条直线c,d,则平面α与β的位置关系是(

)A.一定平行

B.一定相交C.平行或相交

D.以上判断都不对C解析

平面α内的两条直线a,b分别平行于平面β内的两条直线c,d,若直线a,b相交且这两条直线平行于平面β,则可得这两个平面平行;若直线a,b平行,则平面α与β可能相交也可能平行.故选C.123456789101112131415163.[探究点二]如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是底面A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面AA1C1C,则动点M的轨迹是(

)A.平面

B.直线C.线段,但只含1个端点

D.圆C解析

∵平面BDM∥平面AA1C1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面AA1C1C∩平面A1B1C1=A1C1,∴DM∥A1C1,过点D作DE∥A1C1交B1C1于点E(图略),则点M的轨迹是线段DE(不包括点D).123456789101112131415164.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有(

)A.BD1∥GHB.BD∥EFC.平面EFGH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1D123456789101112131415165.(多选题)[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,下列四个说法正确的是(

)A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D1AC123456789101112131415166.[探究点一]一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点,点P1,P2,P3,P4折起后重合为点P,在此几何体中,给出下面五个结论:①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.其中正确结论的序号是

.

①②③④

解析

把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.123456789101112131415167.[探究点二]如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则

=

.

123456789101112131415168.[探究点一]如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)GH∥平面ABC;(2)平面EFA1∥平面BCHG.12345678910111213141516证明

(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,所以GH∥B1C1.又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.因为GH⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.所以A1E∥BG.因为EF∥BC,EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.因为A1E∥BG,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.又因为EF,A1E⊂平面EFA1,且EF∩A1E=E,所以平面EFA1∥平面BCHG.123456789101112131415169.[探究点一]已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.证明

在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,∴MQ∥AD.同理NQ∥BP.而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.123456789101112131415161234567891011121314151610.[探究点三]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?12345678910111213141516解

当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.12345678910111213141516B级关键能力提升练11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为(

)C1234567891011121314151612.(多选题)正方体的平面展开图如图所示,在这个正方体中,下列结论正确的有(

)A.BM∥平面ADEB.CN∥平面AFBC.平面BDM∥平面AFND.平面BDE∥平面NCFABCD12345678910111213141516解析

展开图可以折成如图①所示的正方体.在正方体中,连接AN,如图②所示.∵AB∥MN,且AB=MN,∴四边形ABMN是平行四边形.∴BM∥AN.∴BM∥平面ADE.同理可证CN∥平面AFB,∴A,B正确.①

②

如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,∴C,D正确.③

123456789101112131415161234567891011121314151613.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则(

)A.BF∥平面ACGDB.CF∥平面ABEDC.BC∥FGD.平面ABED∥平面CGFA1234567891011121314151614.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,且PG=λGD,则λ=

,ED与AF相交于点H,则GH=

.

11234567891011121314151615.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:(1)GE∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H.12345678910111213141516证明

(1)取B1