10.1.3古典概型课件高一下学期数学人教A版

第十章概率10.1.3古典概型人教A版

数学

必修第二册课程标准1.了解随机事件概率的含义及表示.2.理解古典概型的特点和概率公式.3.了解古典概型的一般求解思路和策略.基础落实·必备知识全过关知识点1

随机事件的概率对随机事件

的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用

表示.

过关自诊判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)概率就是用一个数值来衡量随机事件发生可能性的大小.(

)(2)抛掷一枚硬币,正面向上的概率为0.5.(

)发生可能性大小

P(A)√√知识点2

古典概型1.有限性:样本空间的样本点只有有限个;

缺一不可

2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.名师点睛1.由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征,所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验,而只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.2.在古典概型中,每个基本事件发生的可能性都相等,称这些基本事件为等可能基本事件.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(

)(2)古典概型中样本点只有有限个.(

)(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(

)2.若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个,则该试验是古典概型吗?√√√提示

不一定是,还要看每个样本点发生的可能性是否相等,若相等才是,否则不是.知识点3

古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==

.

注意与后面将要学习的概率与频率的关系式进行区分其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.名师点睛求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.过关自诊1.在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中,任取三条,这三条线段能构成三角形的概率为(

)C解析

从四条线段中任意取三条,共有:(1

cm,2

cm,3

cm),(1

cm,2

cm,4

cm),(1

cm,3

cm,4

cm),(2

cm,3

cm,4

cm),四种情况,其中三条线段能构成三角形只有(2

cm,3

cm,4

cm)一种情况,故能构成三角形的概率为

.2.[苏教版教材例题]一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球、2个黑球,“从中一次摸出2个球,结果都是白球”记为事件A,求P(A).解

分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,样本点(1,2)表示“摸到1,2号球”(余类推),则样本空间Ω为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},A={(1,2),(1,3),(2,3)}.因此,P(A)=.3.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生准备在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他采取如下策略:先不上第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆,那么你能得出王先生能乘上上等车的概率吗?重难探究·能力素养全提升探究点一古典概型的判断【例1】

袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作是一个样本点,以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?(2)若按球的颜色为样本点,有多少个样本点?以这些样本点建立概率模型,该模型是不是古典概型?解

(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色,因此共有3个样本点,分别记为A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红球”.显然这三个样本点出现的可能性不相等,所以以颜色为样本点的概率模型不是古典概型.规律方法

1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:(1)样本点个数有限,但非等可能.(2)样本点个数无限,但等可能.(3)样本点个数无限,也不等可能.变式训练1下列问题中是古典概型的是(

)A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率B.掷一颗质地不均匀的骰子,求出现1点的概率C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率D.同时掷两颗骰子,求向上的点数之和是5的概率D解析

A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的个数是无数多个;D项中样本点的发生是等可能的,且是有限个.探究点二古典概型的概率计算角度1

简单的古典概型问题【例2】

从1,2,3,4,5这5个数字中任取三个不同的数字,求下列事件的概率:(1)事件A={三个数字中不含1和5};(2)事件B={三个数字中含1或5}.解

这个试验样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以样本点总数n=10.(1)因为事件A={(2,3,4)},所以事件A包含的样本点数m=1.(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},所以事件B包含的样本点数m=9.规律方法

1.求解古典概型“四步法”2.列举出样本点的各种情况是核心,常用方法除列表法、树形图外还可以借用坐标系来表示二维或三维问题.变式训练2[北师大版教材习题]连续抛掷一枚均匀的骰子2次,试求下列事件的概率:(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3;(2)第一次掷出的点数比第二次的大;(3)2次掷出的点数均为偶数.解

两次掷出的点数互不影响,可用列举法写出样本空间:Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点,每个样本点出现的可能性相同.(1)设事件A=“第一次掷出的点数恰好比第二次的大3”,则A={(4,1),(5,2),(6,3)},共含有3个样本点,所以(2)设事件B=“第一次掷出的点数比第二次的大”,则B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含15个样本点,所以(3)设事件C=“2次掷出的点数均为偶数”,则C={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)},共包含9个样本点,角度2

古典概型中的“放回”与“不放回”问题【例3】

从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?解

(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成,这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个样本点组成,(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},共9个样本点.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个样本点组成,所以P(B)=.规律方法

关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.变式训练3从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(

)D解析

根据题意,不妨用(x,y)表示两次抽取得到的样本点,其中x代表第一次抽取的数字,y代表第二次抽取的数字.故所有抽取的可能有如下25种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下10种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),根据古典概型的概率计算公式可得,该事件的概率故选D.探究点三古典概型与统计相结合【例4】

某甜品公司开发了一款甜品,现邀请甲、乙两地部分顾客进行试吃,并收集顾客对该产品的意见以及评分,所得数据统计如图所示.(1)试通过计算比较甲、乙两地顾客评分平均数的大小(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若按照分层随机抽样的方法从甲地分数在[40,80)的顾客中抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求恰有1人的分数在[40,60)的概率.解

(1)甲地顾客评分的平均数为30×0.1+50×0.3+70×0.4+90×0.2=64;乙地顾客评分的平均数为30×0.3+50×0.2+70×0.4+90×0.1=56.故甲地顾客评分的平均数大于乙地.(2)依题意,分数在[40,60)的抽取3人,记为a,b,c,分数在[60,80)的抽取4人,记为A,B,C,D.则任取2人,所有的情况为(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,c),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共21种.其中满足条件的为(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),共12种.故所求概率规律方法

概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.变式训练4从某校高二年级800名男生中随机抽取50名测量其身高(单位:cm,被测学生的身高全部在155cm到195cm之间),将测量结果按如下方式分成8组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],绘制成的频率分布直方图如图所示,若从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名,记他们的身高分别为x,y,则|x-y|≤5的概率为(

)A解析

由频率分布直方图,可知身高在[180,185)的人数为0.016×5×50=4,分别记为a,b,c,d;身高在[190,195)的人数为0.008×5×50=2,分别记为A,B,设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点,M=“从身高位于第六组和第八组的男生中随机抽取2名”,若x,y∈[180,185],则M={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)},共6种情况;若x,y∈[190,195],则M={AB},共1种情况;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),则M={(a,A),(b,A),(c,A),(d,A),(a,B),(b,B),(c,B),(d,B)},共8种情况.所以样本点的总数为6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的样本点数为6+1=7,故P(|x-y|≤5)=.本节要点归纳1.知识清单:(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.(3)古典概型与统计相结合.2.方法归纳:列举法、树状图法.3.常见误区:列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏.成果验收·课堂达标检测12345678910111213141516171819A级必备知识基础练1.[探究点一]下列试验是古典概型的是(

)A.种下一粒大豆观察它是否发芽B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况D.某人射击中靶或不中靶C解析

只有C具有古典概型两个特征.123456789101112131415161718192.[探究点二]在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(

)A解析

从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率123456789101112131415161718193.[探究点二]从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)B解析

从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率123456789101112131415161718194.[探究点二·2023云南曲靖平罗模拟]算盘起源于中国,是中国传统的计算工具.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横一梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为(

)图1图2B123456789101112131415161718195.[探究点二]将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面朝上的概率是

.

解析

试验共有8个基本结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个,故所求的概率是

.123456789101112131415161718196.[探究点二]在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是

.

123456789101112131415161718197.[探究点二]甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.解

(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,所以选出的2名教师性别相同的概率为12345678910111213141516171819(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819B级关键能力提升练8.某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是(

)D123456789101112131415161718199.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(

)D解析

不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为

.1234567891011121314151617181910.某考试方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为(

)B1234567891011121314151617181911.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为(

)C1234567891011121314151617181912.(多选题)下列试验是古典概型的是(

)A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率BD1234567891011121314151617181913.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(

)A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16ACD12345678910111213141516171819解析

记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率

,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为

,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.1234567891011121314151617181914.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是

.

1234567891011121314151617181915.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213),若a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为

.

解析

a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为1234567891011121314151617181916.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为

.

解析

从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的概率是

.若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是

.

解析