结构动力学-单自由度振动1

DynamicsofStructuresProf.LanheWuShijiazhuangTiedaoUniv.共四十九页第二章单自由度体系(tǐxì)的振动本章重点：建立结构振动微分方程的几种方法无阻尼单自由度系统自由振动特性及规律有阻尼单自由度系统自由振动特性及规律等效刚度和等效质量(zhìliàng)的概念单自由度系统受迫振动的特性本章难点：建立结构振动微分方程的几种方法求解固有频率的能量法结构动位移和动内力的计算共四十九页§2.1运动(yùndòng)方程的建立一、利用(lìyòng)D’Alembert原理1.刚度法m运动方程惯性力m形式上的平衡方程刚度系数y(t)mF(t)1取质体为研究对象，实质是质体的动平衡方程共四十九页刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向(zhènɡxiànɡ)加惯性力；2.求系统发生位移y时的恢复力；3.令惯性力、恢复力和体系外力之和为零。2.柔度法mF(t)y(t)取弹性结构为研究对象，将系统的位移y看作是由惯性力和系统外力(wàilì)共同产生的。实质是弹性元件的协调方程。F(t)y(t)柔度系数共四十九页二、Lagrange方程(fāngchéng)mF(t)y(t)代入Lagrange方程(fāngchéng)同样可得三、Hamilton原理共四十九页由分部积分(jīfēn)并考虑到y的变分在积分的上下限为零,得到故由并考虑(kǎolǜ)到y变分的任意性,有共四十九页例.列出运动(yùndòng)微分方程mEIlEIl1解.用刚度(ɡānɡdù)法例

建立图示体系的运动方程m2mlllkAy(t)2y(t)3y(t)共四十九页mEIl/2EIl/2例.列出运动(yùndòng)微分方程解.仍用刚度(ɡānɡdù)法所以有此时干扰力与惯性力不在同一直线上,不能直接列出动平衡方程.可采用附加链杆并令其反力为零的办法其中实际上是把荷载等效到了质体上共四十九页例、列运动(yùndòng)微分方程解.mEIlEIl=1l用柔度法整理(zhěnglǐ)得共四十九页=1lmEIlEIl/2l/21l/4例、列运动(yùndòng)微分方程解.用柔度法代入得整理(zhěnglǐ)共四十九页解:用柔度法整理(zhěnglǐ)得mEIl/2l/2例、设简支梁支座有竖向位移,列运动微分方程质点处除有刚体位移之外,还会产生变形位移设变形位移为用刚度(ɡānɡdù)法共四十九页llEIm例

建立图示体系(tǐxì)的运动方程AB用刚度(ɡānɡdù)法思考：请你用柔度法建立该结构动力学方程。共四十九页￭10.3.5

共四十九页￭10.3.7

共四十九页￭10.3.8

共四十九页以质量块的静力平衡位置为坐标原点建立坐标系,为振动时的位移参量,为弹簧的静变形。重力(zhònglì)的影响所有的无阻尼(zǔní)单自由度系统均可以简化为下图所示的弹簧质量系统共四十九页考虑质量(zhìliàng)块的平衡，利用动静法或Newton第二定律有于是，系统(xìtǒng)的动力平衡方程为可以看到：如果以静力平衡位置为坐标原点,所建立的动力平衡方程与重力没有任何关系。系统的位移实际上只是有一个平移而已。共四十九页§2.2无阻尼系统的自由(zìyóu)振动静平衡位置m获得初位移y

m获得初速度自由(zìyóu)振动产生原因：体系在初始时刻受到外界的激励。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1.它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2.它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：求解运动方程、计算自振频率、周期共四十九页一.运动(yùndòng)方程及其解系统的动力(dònglì)平衡方程为引入参数上述微分方程可以写成如下的标准形式其通解为其中，和为待定常数。设在初始时刻，质点的初始位移和速度分别为将初始条件代入系统位移和速度表达式,可以确定有关系数共四十九页于是方程(fāngchéng)满足上面初始条件的解为其中(qízhōng)在得到位移之后,便可以轻松得到系统的速度和加速度等其它物理量,此处略去.振幅初相位可以看到,系统的运动规律为简谐振动.其位移时程曲线为共四十九页二.周期(zhōuqī)和频率由式及上面的曲线可见:位移方程是一个(yīɡè)周期函数。共四十九页工程中常使用工程频率，它与固有周期和固有频率的关系为周期(zhōuqī)为其中(qízhōng)圆频率(角频率)频率和周期的讨论:1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比；3.是结构动力特性的重要数量标志。共四十九页三.自振频率和周期(zhōuqī)的计算(1)利用(lìyòng)计算公式(2)利用机械能守恒便可求得利用能量法可以求出复杂系统的等效质量和等效刚度.即选定广义坐标之后写出系统的动能和势能,整理之后必然可以写为其中和即为系统的等效质量和等效刚度。共四十九页等效(děnɡxiào)质量等效(děnɡxiào)刚度有时也可以直接利用这个定义求出等效质量和等效刚度再利用公式求固有频率(3)利用振动规律位移与惯性力同频同步幅值方程共四十九页例.求图示体系的自振频率(pínlǜ)和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:共四十九页例.求图示体系(tǐxì)的自振频率.=1解:mEIllm/2EIEIll例.质点重W,求体系(tǐxì)的频率.解:EIkl1k共四十九页￭10.4.5

共四十九页￭10.4.6

共四十九页￭10.4.7

共四十九页IIEI1=

mhk例.计算(jìsuàn)图示刚架的频率。由截面(jiémiàn)平衡例.求图示体系的自振频率.解:mlmmlllkk1.能量法共四十九页也可以求等效质量(zhìliàng)和等效刚度求等效质量和等效刚度(ɡānɡdù)时,还可以利用定义A令角加速度等于1,各质点会产生如图所示的惯性力,由平衡条件得共四十九页令角位移等于(děngyú)1,各弹簧会产生如图所示的弹性力,由平衡条件得A2.列幅值方程(fāngchéng)A共四十九页例题：图示一质量均匀分布、长度为、弹性系数为的弹簧带有质量为的质点，弹簧材料的线密度为，试求该系统自由振动的基频，并计算弹簧的等效质量。整个系统(xìtǒng)的总动能为为弹簧的总质量解：假定弹簧(tánhuáng)的变形与离固定点的距离成正比设弹簧端点处的位移为则振动时点处的位移为得到弹簧的总动能为共四十九页弹簧的势能与弹簧的质量(zhìliàng)无关，仍为导出考虑弹簧质量(zhìliàng)的系统固有频率为1θ例、求图示结构的自振圆频率。解法1：求刚度klhmI→∞EIBAC1h解法2：求柔度共四十九页对于静定结构(jiégòu)一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便.§2.3有阻尼(zǔní)系统的自由振动一.阻尼与阻尼力阻尼:使振动衰减的作用.产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力.c-----阻尼系数粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。共四十九页各项除以，写成标准形式其中(qízhōng)其中为无阻尼系统的固有频率二.阻尼(zǔní)自由振动

1.运动方程及其解振幅衰减系数令称为阻尼比动力学方程可写为标准形式共四十九页代入动力学方程(fāngchéng)，导出本征方程(fāngchéng)为(1)欠阻尼状态方程(fāngchéng)的通解为阻尼振动的固有频率其中，和为待定常数，由初始条件确定共四十九页或其中(qízhōng)则有阻尼振动(zǔnízhèndònɡ)的周期其中，为无阻尼振动的周期，显然有共四十九页由于阻尼作用引起的能量消耗，系统转变为振幅不断递减的衰减(shuāijiǎn)振动。系统响应的位移时程曲线见右图相邻两个(liǎnɡɡè)振幅的比值为常数，称作缩减系数，记为tx低阻尼x-t曲线实际计算时常利用对数减缩代替减缩系数或阻尼比共四十九页过若干个周期后的振幅减缩(jiǎnsuō)系数为

测得若干周期后的振幅(zhènfú),然后用上式可求得系数,并进而求得阻尼比和阻尼系数EI=∞m例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。9.8kN共四十九页解：=wxk2=wxmc2=wwxm22例:

对图示体系作自由振动(zhèndòng)试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.2cm求:阻尼比,刚度系数,无阻尼周期,重量(zhòngliàng),阻尼系数,若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少共四十九页3.无阻尼(zǔní)周期4.重量(zhòngliàng)5.阻尼系数6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比为多少2.刚度系数解:1.阻尼比共四十九页(2)为过阻尼状态由此可见,此时系统(xìtǒng)的运动规律为:共四十九页(3)为过临界状态由此可见,此时(cǐshí)系统的响应仍然为:其响应的曲线(qūxiàn)与过临界时类似.共四十九页此时的阻尼(zǔní)系数称作临界阻尼(zǔní)系数.由于(yóuyú)及故除粘性阻尼外，系统还存在其它类型的阻尼，工程中常将这类非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼，使前面对粘性阻尼的分析结果有更广的适用范围。等效的原则是令非粘性阻尼在一个周期内耗散的能量与等效粘性阻尼在同一个周期内耗散的能量相等.

三.等效粘性阻尼

系统在作简谐振动时，粘性阻尼在一个周期内耗散的能量可以近似地利用无阻尼振动规律。共四十九页讨论(tǎolùn)以下几种非粘性阻尼：（1）干摩擦(mócā)阻尼干摩擦阻尼遵循库伦定律干摩擦系数共四十九页（2）平方(píngfāng)阻尼在低粘度流体中以较大速度运动的物体，阻力(zǔlì)接近于与速度的平方成正比，与运动方向相