2022届北京市第四中学高三下学期阶段性测试一数学试题解析版

2022届北京市第四中学高三下学期阶段性测试（一）数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再按照集合间的基本关系和运算判断即可.【详解】，，A错误；，B错误；，C错误，D正确.故选：D.2．角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据终边上的点可求得，利用两角和差的正切公式可求得结果.【详解】角的终边过点，，.故选：B.3．已知数列满足：，，，那么使成立的的最大值为A．4 B．5 C．24 D．25【答案】C【分析】由题意知an2为首项为1，公差为1的等差数列，由此可知an=，再结合题设条件解不等式即可得出答案．【详解】由题意an+12﹣an2=1，∴an2为首项为1，公差为1的等差数列，∴an2=1+（n﹣1）×1=n，又an＞0，则an=，由an＜5得＜5，∴n＜25．那么使an＜5成立的n的最大值为24．故选C．点睛：本题考查数列的性质和应用，考查了不等式的解法，解题时要注意整体数学思想的应用．4．若函数f（x）是奇函数，当时，，则（

）A．2 B．-2 C． D．【答案】C【分析】根据奇函数的性质转化后求解【详解】由奇函数得，而得故选：C5．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：因为复数，对应的向量分别是，，则复数，因此点位于第二象限，选B6．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.【详解】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.故选：A.7．在中，是的中点，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】根据向量的运算得到设BC=x,

,代入上式得到结果为.故答案为：A。点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用；向量的点积运算。解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。8．已知，，点在圆上运动，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两点间距离公式可求得，利用圆的性质可确定到直线距离的最大值，根据可得结果.【详解】由圆方程知其圆心，半径；由，知：直线，即；；则圆心到直线的距离，到直线距离的最大值为，.故选：B.9．设，则“是第一象限角”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】充分性：若是第一象限角，则,,可得，必要性：若，不是第三象限角，，，则是第一象限角，“是第一象限角”是“”的充分必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过任意角的三角函数主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.10．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半（即）；如果n是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定.现在请你研究：如果对正整数n（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n的所有不同值的个数为（

）A．4 B．6 C．32 D．128【答案】B【分析】根据科拉茨的猜想从反推的所有可能取值.【详解】2所以不同值的个数为.故选：B二、填空题11．命题“,”的否定是__________.【答案】【分析】全称命题的否定，为特称命题，结论要否定.【详解】将全称命题化为特称命题，将结论否定：.【点睛】本题考查全称命题的否定，只否定结论，全称量词变为存在量词.12．若的展开式的二项式系数和为32，则展开式中的系数为_________.【答案】【解析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.【详解】依题意的展开式的二项式系数和为，所以，即.二项式展开式的通项公式为.令，所以的系数为.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式展开式的有关计算，属于基础题.13．能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为__________.【答案】【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．14．在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③点在曲线上；④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．【详解】动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，所以，即.若，则，即，故，以为中心的双曲线的一支；若，则，即，故或，所以函数的图象如图所示所以曲线C关于直线对称，②正确；又，所以点在曲线上，③正确；在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】本题考查求曲线的轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，本题解题关键是正确作出函数图象，是一道中档题．三、双空题15．已知双曲线，则W的实轴长为___________；若W的上顶点恰好是抛物线V的焦点，则V的标准方程是___________.【答案】

6

【分析】根据标准方程可求实轴长及上顶点，从而可求抛物线的方程.【详解】因为双曲线，故实半轴长为3，故实轴长为6，而上顶点坐标为，故V的标准方程为，故答案为：6，.四、解答题16．已知满足___________，且，，求的值及的面积.从这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.条件①；条件②；条件③注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】不可以选择②作为补充条件；若选①或③，，.【分析】若选①，利用两角和差正弦公式可求得，由正弦定理得到，利用三角形面积公式求得结果；若选②，由余弦定理构造方程知三角形无解，不合题意；若选③，利用正弦定理和已知等式可构造方程求得和，利用两角和差正弦公式求得，由三角形面积公式可求得结果.【详解】若选①：，；；由正弦定理得：，.若选②：由余弦定理得：，方程无解，即不存在满足题意的；则不可以选择②作为补充条件；若选③：由正弦定理得：，又，，即；，，，则；，；；.17．在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下，根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.寿命（天）频数频率[100，200）200.10[200，300）30a[300，400）700.35[400，500）b0.15[500，600）500.25合计200(1)根据频率分布表中的数据，写出a，b的值：(2)某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用.若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）根据频率之和、频数之和求得.（2）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.【详解】(1)，.(2)X的所有取值为0，1，2，3.由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为，从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验，，所以，所以随机变量X的分布列为：0123所以X的数学期望.18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，F是PB中点，E为BC上一点.(1)求证：AF⊥平面PBC；(2)当BE为何值时，二面角为;(3)求三棱锥P—ACF的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）通过证明来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，设，以二面角的余弦值列方程，从而求得，也即的值.（3）根据椎体体积计算方法，计算出三棱锥的体积.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD．所以,因为ABCD是矩形，所以,因为,所以BC⊥平面PAB.因为AF平面PAB，所以.因为，F是PB中点，所以,因为,所以AF⊥平面PBC．(2)因为PA⊥平面ABCD，所以.又，所以以A为坐标原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设，则P（0，0，1），D（，0，0），E（a，1，0），F（0，，）所以,设平面的法向量为，则，故可设，平面的法向量为，由于二面角的大小为，所以，解得.(3).19．已知a为实数，函数(1)当时，求曲线在点（1，f（1））处的切线的方程：(2)当时，求函数f（x）的极小值点；(3)当时，试判断函数f（x）的零点个数，并说明理由.【答案】(1)(2)极小值点(3)函数f（x）的零点个数为2，理由见解析【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）利用导数研究函数的单调区间，由此求得的极小值点.（3）对的单调区间进行判断，结合零点存在性定理判断出的零点的个数.【详解】(1)当时，，设曲线在点（1，f（1））处的切线的方程为，因为，所以，又，所以切线方程为，即.(2)当时，，故，令，故，f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：0极小值所以f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数f（x）有且仅有一个极小值点.(3)函数f（x）的零点个数为2，理由如下：（1）当时，.由于，所以，故函数f（x）在区间（0，a]上单调递减，，所以函数f（x）在区间（0，a]上有且仅有一个零点：（2）当时，，故，令，得，，，故，因此恒有，所以函数f（x）在区间（a，+∞）上单调递增.又，所以函数f（x）在区间（a，+∞）上有且仅有一个零点.综上，函数f（x）的零点个数为2.【点睛】利用导数求得曲线切线方程有关问题，关键点要把握住切点和斜率.利用导数研究函数的零点，可以结合零点存在性定理来进行判断.20．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点(1)求椭圆的方程：(2)是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论.【答案】(1)；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据短轴长和离心率可求得，由此可得椭圆方程；（2）设与椭圆方程联立得韦达定理的形式，由，结合韦达定理可知，由此可知不存在满足题意的实数.【详解】(1)，；又，；椭圆的方程为：；(2)由（1）知：，；设直线，，，由得：，；，，；，，即与永远不相等，不存在实数，使直线平行于直线21．对于项数为的有穷正整数数列，记，即为，，……中的最大值，称数列{}为数列{}的“创新数列”.比如1，3，2，5，5的“创新数列”为1，3，3，5，5.(1)若数列的“创新数列”{}为1，2，3，4，4，写出所有可能的数列；(2)设数列{}为数列的“创新数列”，满足，求证：(3)设数列{}为数列的“创新数列”，数列{bn}中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.【答案】(1)所有可能的数列{}为：1，2，3，4，1；1，2，3，4，2；1，2，3，4，3；1，2，3，4，4(2)