2020-2021学年重庆市七校高一下学期期末联考数学试题解析版

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat16页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2020-2021学年重庆市七校高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】计算可得，即可得复平面内与复数对应的点坐标，即可得答案.【详解】由题意得，在复平面内与复数对应的点为（-1,3），在第二象限，故选：B2．大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为，，…，，其均值和方差分别为和，若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用平均数的定义以及方差的含义进行分析求解即可．【详解】每位员工的月工资增加200元，所以平均值也增加200元，由于员工工资的波动性并没有发生变化，即方差不变．所以这位员工下个月工资的均值和方差分别为；故选：D3．某校高一(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对立事件的概率公式以及相互独立事件同时发生的概率乘法公式即可求出．【详解】设事件“甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球”，所以．故选：D．4．在圆O中弦AB的长度为8，则=（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】根据垂径定理以及平面向量数量积的定义即可求出．【详解】．故选：D5．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的加减法运算即可.【详解】如图，因为E为AB的中点，F为DC上靠近C点处的三等分点，所以,故选：A6．已知两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（）A．若，，，则B．若，，则C．若，且，则D．若，那么【答案】B【分析】根据线面垂直，线面平行，线线平行的有关定理结论即可判断．【详解】对A，因为，，所以，又，所以，A正确；对B，若，，则不一定成立，有可能斜交，B错误；对C，若，根据线面平行的性质定理，则存在平面，满足，，使得，同理可得，存在平面，满足，，使得，所以，即有，再根据线面平行的性质定理即可得，所以，（当出现或与重合，显然成立），C正确；对D，根据面面平行的定义，若，那么，D正确．故选：B．7．已知在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，且，若M是的中点，则异面直线A1M与AD所成角的余弦值为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据异面直线所成角的定义即可求出．【详解】如图所示：因为，所以异面直线A1M与AD所成角为（或其补角）．在中，，，所以．故选：C．8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立二、多选题9．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）A．事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件D．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件【答案】AC【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案【详解】对于A，事件“至多一次击中”包含“一次击中”和“两次均未击中“，与事件“两次均击中”是对立事件，故A正确；对于B，事件“第一次击中”与事件“第二次击中”可以同时发生，故B不正确；对于C，事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，故D错误.故选：AC10．下列结论正确的是（）A．在中，是充要条件B．在中，，则为等腰三角形C．在中，，则为等腰三角形D．在中，，且，则为正三角形【答案】ABD【分析】利用正弦定理及三角恒等变换即可作出判断.【详解】对于A，，故A正确；对于B，由，可得，∴，即，∴，故B正确；对于C，由可得，即，∴或，即为等腰或直角三角形，故C错误；对于D，由可得，．又，，．，，即，故此三角形是等边三角形，故D正确.故选：ABD.11．正方体中，E为棱CC1的中点，则下列说法正确的是（）A．DC平面AD1EB．⊥平面AD1EC．直线AE与平面所成的正切值为D．平面AD1E截正方体所得截面为等腰梯形【答案】CD【分析】利用线面平行的定义可判断A；利用线面垂直的判定定理可判断B；作出线面角，在三角形中求解即可判断C；根据两条平行线确定一个平面即可判断D.【详解】对于A，根据题意可得，因为与平面AD1E相交，则与平面AD1E也相交，故A不正确；对于B，由正方体的性质可知平面，所以，又⊥，所以平面，若⊥平面AD1E，则平面平面，与平面平面矛盾，故B不正确；对于C，取的中点，连接，,则四边形为平行四边形，所以，又平面，所以为直线与平面所成的角，等于AE与平面所成的角，设正方体的边长为，则，，所以，故C正确；对于D，取的中点，连接，则，所以，且，所以四边形为等腰梯形，即平面AD1E截正方体所得截面为等腰梯形，故D正确；故选：CD.【点睛】本题考查了线、面之间的位置关系、线面角以及正方体的截面形状，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.12．关于复数下列说法正确的是（）A． B．若则C．若为纯虚数，则 D．【答案】BCD【分析】根据复数的乘法运算，可判断A的正误；根据求模公式，代入计算，可判断B的正误；根据纯虚数的概念，可判断C的正误，根据基本不等式，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：，故A错误；对于B：，因为，所以，即，故B正确；对于C：，若为纯虚数，则，所以，故C正确；对于D：，当且仅当时等号成立，所以，故D正确.故选：BCD三、填空题13．已知i是虚数单位，则_______．【答案】【分析】根据复数的除法运算即可.【详解】,故答案为：14．为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人．在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本，则应从O型血中抽取的人数为_____．【答案】40【分析】直接根据其所占比例求解即可.【详解】因为在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人，即O型血的人数占，所以应从O型血中抽取的人数为故答案为：4015．若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=，，则球O的表面积____【答案】【分析】由正弦定理求出外接圆半径，再根据球的截面圆的性质求解.【详解】如图所示，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，，所以所在平面截所得的圆的半径为,因为平面，，所以由球的对称性知，球心到平面的距离，所以球的半径为，所以的表面积为.故答案为：16．在中，已知，且，则面积的最大值为___【答案】2【分析】利用解析法，建立平面直角坐标系，设，，，由题意可得到，求出的范围，即可得到面积的最大值．【详解】如图所示：建立平面直角坐标系，设，，，由化简可得，，所以，故面积为，即面积的最大值为2．故答案为：2．四、解答题17．已知.（1）求与的夹角；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）将展开，根据平面向量的数量积的定义即可求出；（2）根据平面向量模的计算公式即可求出．【详解】（1），，∴，又，∴，∴向量与的夹角.（2）因为，所以．18．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角A的值；（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据诱导公式，二倍角公式即可求出；（2）由可得，再由正弦定理角化边可得，即可求出，然后根据余弦定理求出，即得到△ABC的周长．【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为，所以，即.因为，所以，因为，所以.（2）由，可得.因为，所以，解得由余弦定理得，，所以周长为.19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为4的菱形，平面ABCD，，E是BC中点，若H为的中点.（1）求证：平面；（2）求E点到平面PAB的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，则HM为中位线，进而可得且，所以四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证.（2）利用等体积法，分别求得各个长度，代入公式，即可求得答案.【详解】（1）取的中点，连接，因为H为的中点，且M为PA的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，所以平面.（2）设E点到平面PAB的距离为h，由等体积法可得，因为平面ABCD，所以为三棱锥P-ABE的高，因为菱形ABCD，且，所以AB=AC，又E为BC中点，所以，所以，所以，解得故E点到平面PAB的距离为.20．我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.【答案】（1）直方图见解析，66.8；（2）73；（3）.【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，即可求出内的频率，从而补全频率分布直方图，再根据平均数等于各小矩形的面积乘以各组中值的和，即可求出；（2）先判断第65百分数在内，根据百分位数公式即可求出；（3）先根据分层抽样确定第5，6组人数，再根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】（1）由图可得分数在内的频率为，，所以频率分布直方图如下：所以本次考试成绩的平均数约为.（2）由题可知第65百分数应该在内，所以第65百分数=，（3）第5组人数为，第6组人数为被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，；成绩在内的3人，分别记为，，；则从这7人中随机抽取2人的情况为：，，，共21种；被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，，，共15种.故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为.21．如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；（2）在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，M是的中点.【分析】（1）在中，易证，作于点，根据平面平面，得到，再由，得到平面，进而得到，然后由，得到平面即可.（2）存在点M，当M是的中点，二面角的大小为45°，由（1）知平面，取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，证明是二面角的平面角即可.【详解】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；（2）如图所示：存在点M，当M是的中点，二面角的大小为45°.证明如下：由（1）知平面，且，，又因为是的中点，同理可得：BM=，取BD的中点为O，DC的中点为E，连接MO，EM，OE，因为，所以是二面角的平面角，又因为，.22．在中，角所对的边分别为，若且（1）当时，求面积的最小值；（2）若的面积不小于，求的取值范围.【答案】