理论力学-课件第9章

第9章

动量定理本章内容

1质点的动量定理

2质点系的动量定理

3质心运动定理

4变质量质点的运动微分方程第一节质点的动量定理

质点运动的强弱，不但与它的质量有关，而且还与它的速度有关，为此我们定义动量来表征质点的运动量，即把质点的质量与速度矢量的乘积（

）称为质点的动量。动量是矢量，它的方向与速度方向一致。在国际单位制中，动量的单位是

。把力与其作用时间的乘积称为力的冲量。冲量也是矢量，用

表示，单位是

或

。冲量的单位与动量相同。对于常力

来讲，若作用时间为

，则力

在时间间隔

内的冲量为（9-1）若作用力为变力，可以把时间间隔t分成若干极短时间间隔dt，在这些极短的时间间隔内，力

可以看做常力，则在dt时间内，力的元冲量为在时间间隔

内，力的冲量为（9-2）将上式在直角坐标轴投影，可得（9-3）设质点的质量为m，作用在质点上的力为F，根据质点动力学基本方程，有假设m为常量，则上式可以写成（9-4）式（9-4）就是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间的导数等于作用在该质点上的力。式（9-4）又可改写为（9-5）若质点在初始时刻（

）的速度为

，在t时刻的速度为

，则将式（9-5）从0到t积分得或（9-6a）（9-6b）当质点上作用有n个力时，前面公式中的力

表示的是合力。式（9-6a）就是质点的动量定理的积分形式，即质点的动量在某一时间间隔内的改变等于质点上的作用力在同一时间内的冲量。将式（9-6a）在直角坐标轴上投影，可得（9-7）若作用在质点上的力F恒等于零，则由式（9-6a）得（9-8）若作用力在质点上的力

在某一轴上的投影恒等于零。例如，在x轴上

，则由式（9-7）得（9-9）式（9-8）和式（9-9）给出了质点动量守恒定律，即若作用在质点上的力恒等于零，则该质点的动量保持不变，若作用在质点上的力在某一轴上的投影恒等于零，则质点的动量在该轴上的投影保持不变。例9-1物体A的质量为5kg，在水平面上以2m/s的速度撞击一质量为10kg的物体B。撞击后，A沿着直线弹回，历时

停住，如图9-1所示。设A，B与水平面间的动摩擦系数为1/3，求B被撞击后运动的时间。图9-1解根据质点的动量定理有（a）先以A为研究对象，设撞击前A的速度为

，撞击后历时3s停止，A的速度变为零。在此时间内，A在水平方向上受到的冲量有：B对它的冲量

和摩擦力的冲量

，而摩擦力

。再以B为研究对象，B原来静止，设撞击后历时

秒后停止，这段时间内B的动量变化为零，而作用的冲量有：A对它的冲量和摩擦力的冲量

，而

，于是有（b）将式（a）、（b）相加得即得第二节

质点系的动量定理若质点系由

质点组成，则该质点系的动量为（9-10）式中：

——第i个质点的质量；

——第i个质点速度。在质点系中，各质点所受的力可分为外力和内力。内力是质点系内各质点间的相互作用力，用

表示；外力是质点系以外的物体作用于质点系内质点上的力，用

表示。设质点系中任一质点

所受外力合力为

，所受内力合力为

。根据质点的动量定理，可见质点系中每一质点有将上述n个方程相加得所有内力的矢量和恒等于零，即

，则上式化为（9-11a）或（9-11b）式（9-11a）、（9-11b）就是质点系动量定理的微分形式，即质点系的动量对于时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和，即外力的主矢。将上式在直角坐标轴上投影得（9-12）将式（9-11a）两边均乘以dt，并在时间间隔0到t内积分得（9-13a）则式（9-13a）可写成（9-13b）将式（9-13b）在直角坐标轴上的投影，得如果质点系不受外力作用或作用于质点系的所有外力的矢量和恒等于零，即

，则由式（9-13b）得上式就是质点系的动量守恒定律，即如果作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，则该质点系的动量保持不变。如果作用在质点系上的外力在某一轴上的投影的代数和恒等于零，则质点系的动量在该轴上的投影保持不变，设

，则例9-2有一质量为kg的小车，车上有一装着沙子的箱子，沙子与箱子的总质量为kg，小车与沙箱以速度km/h，在光滑水平面上做匀速直线运动。现在一质量为kg的物体A铅直向下落入沙箱中，如图9-2（a）所示，求此后小车的速度。若A物落入后，沙箱在小车上滑动

后才与车面相对静止，求车面与箱底相互作用的摩擦力的平均值。图9-2（a）解（1）先取小车、沙箱和物体A组成的系统为研究对象。（2）受力分析。系统受力如图9-2（a）所示，这些外力均沿铅垂方向，所以作用在系统上的外力在水平方向的投影始终为零。故系统的动量在水平方向守恒。（3）运动分析。设重物落入小车后，小车最后的速度为

，此时小车的动量为

；重物落入前，小车的动量为

。（4）根据动量守恒，可得解得当重物落入箱中的瞬时，箱子的速度先减慢，箱子与车面之间有一个相对滑动的阶段。若设此时间内车面与箱底之间作用的平均摩擦力为

，取小车为研究对象，受力如图9-2（b）所示，根据动量定理的投影式有图9-2（b）解得*管道中流体的动压力计算设有一不可压缩的理想流体，在变截面曲管中做定常流动，如图9-3所示。流体的密度为

，流体在某截面的流量为Q，求管壁所受的动压力。图9-3取管道中AB和CD任意两个截面间的流体作为质点系来研究。设经过dt时间后ABCD内的流体流至

，则流体的动量变化为以

和

分别表示在截面AB和CD处的流速，则在

时间间隔内流体的动量变化为即设作用于流体上的外力有重力W、管壁约束力

和作用在截面AB与CD上的相邻流体压力

和

。根据质点系的动量定理有将管壁约束力

分成两部分：一部分为流体动量不变化时引起的管壁约束力，用

表示，有

。一部分为由于流体的动量变化所引起的管壁约束力，即动压力，用

表示，则（9-15）在平面问题中，动压力

写成投影形式，即例9-3

垂直于薄板的水柱流经薄板时，被薄板截成两部分，如图9-4所示。一部分的流量L/s，而另一部分偏离

角，忽略水重和摩擦，试确定

角和薄板给水柱的作用力。（设水柱的速度m/s，总流量L/s。）图9-4解水柱的动量变化率，即根据动量定理，得（a）（b）由式（b），得求得

代入式（a），得第三节

质心运动定理设质点系由n个质点组成，如图9-5所示，质点系中任一质点

的质量为

，其位置矢径为

，整个质点系的质量为

。质点系质心C点的坐标由下式确定或写成矢量形式,,（9-17）（9-18）图9-5则质心的速度为或（9-19）将式（9-19）代入式（9-11a），得因为

，

为质心运动的加速度，则（9-20）式（9-20）就是质心运动定理，即质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。将（9-20）写成投影形式为（9-21）例9-4如图9-6所示为一电机，电机的定子质量为

，转子的质量为

。由于制造上的误差，转子的质心偏离中心轴

的偏心距为

。转子以匀角速度

绕

轴转动。试求：图9-6（1）若电机的外壳用螺杆固定在地面上，求电机所受的约束力。（2）若不用螺杆固定，问当转速多大时，电机会跳离地面（设定子的质心在

轴上）。解（1）取电机为研究对象。（2）受力分析。电机受力如图9-6所示，其中

，

分别为电机定子和转子的重力。（3）运动分析。取电机轴心

为原点，

轴为水平向右，

轴竖直向上，则定子的质心坐标

和

，以及转子的质心坐标

和

为,,因此，电机质心坐标C的坐标为则质心的加速度为（4）根据质心运动定理有解得电机所受到的约束力为从上式可得出

的最小值为电机如不用螺杆固定，则其跳起地面的条件

，即解得

当电机的转子的转速超过

时，电机会跳离地面。例9-5如图9-7所示的曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度

绕

轴转动。开始时，曲柄

水平向右。已知曲柄重

，滑块A重

，滑杆重

。曲柄的重心在

的中点，

。滑杆的重心在点

，而

。

试求：（1）机构质心的运动方程。（2）作用在

点的最大水平力。图9-7解（1）取曲柄、滑块和滑杆组成的系统为研究对象。（2）受力分析。系统受力如图9-7所示。图9-7（3）运动分析。取

点为坐标原点，

轴水平向右为正，

轴铅垂向上为正，则质点系的质心坐标为式中，

分别是曲柄质心、滑块和滑杆的质心坐标，且有则

从上式可以求出（4）由质心运动定理得所以从质心运动定理可以看出：如果作用在质点系上的所有外力的矢量和恒等于零，则质心做匀速直线运动或静止，即式（9-20）中

，则有如果作用在质点系上的所有外力在某轴上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在该轴上的投影保持不变。例如，

，则由式（9-21）中的第一式得若初始时，

，则得

由质心的定义可得，在

时，质心的

坐标为在以后任何瞬时，质心的

坐标为由

得即如果令

，则（9-22）例9-6在光滑轨道上有一小车，长为

，重量为

。有一重为

的人站在小车

端，开始时人与车都静止，如图9-8所示。若令此人从A端走到B端，求小车后退的距离s。图9-8解（1）取人与小车组成的质点系为研究对象。（2）受力分析。由题意可知质点系所受外力在水平方向的投影等于零。（3）运动分析。开始时，系统处于静止。当人从A端走到B端时，小车和人的

坐标改变量为（4）根据式（9-22）得即解得,第四节

变质量质点的运动微分方程设质点在时刻t时质量为m，速度为

，在时刻

时，有微小质量

加入，这时质点的质量变为

，速度为

，微小质量

在时刻t时的速度为

。在

时间间隔内，这两部分所受到的外力主矢为

，如图9-9所示。图9-9对于质点

和

组成的质点系，在t时刻的动量为在

时的动量为根据动量定理得即将上式展开，并略去高阶小量

，得记

，即

在时刻t时，质点

对于质点m的相对速度，则上式可改写成（9-23）令则式（9-23）改写成（9-24）式（9-24）就是变质量质点的运动微分方程。式中的

具有力的单位，当

时，

与

同向；当

时，

与

反向。通常称

为火箭的反推力，并写成例9-7如图9-10所示为一火箭垂直于地面向上发射时的情况。已知其初速度为

，初始时质量为

。经过时间

后，燃料烧完，火箭质量为

，