5测量误差的基本知识

建筑工程测量普通高等教育“十一五”国家级规划教材郭玉珍制作周建郑审核教育部高职高专规划教材第五章测量误差的基本知识第一节测量误差及其分类第二节偶然误差的特性第三节衡量精度的标准第四节算术平均值及其观测值的中误差第五节误差传播定律测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存在误差，比如：1、对同一量多次观测，其观测值不相同。2、观测值之和不等于理论值： 三角形α+β+γ≠180°

闭合水准∑h≠0 第一节测量误差及其分类一、测量误差产生的原因等精度观测：观测条件相同的各次观测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1.仪器误差2.人为误差3.外界条件的影响观测条件错误：因测错、读错、算错造成的错误。二、观测类型1.直接观测与间接观测2.独立观测与相关观测3.必要观测与多余观测4.等精度观测与不等精度观测二、测量误差的分类

在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下特性：误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。

1.系统误差—

误差的大小、符号相同或按

一定的规律变化。

例：钢尺—尺长、温度、倾斜改正水准仪—i角经纬仪—c角、i角

注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。

消除和削弱的方法:

（1）校正仪器；（2）观测值加改正数；（3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。

2、偶然误差定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果误差的大小及符号都没有表现出一致性的倾向，表面上看没有任何规律。例瞄准目标的照准误差；读数的估读误差等。偶然误差是不可避免的。消减方法：采用多余观测结果的算术平均值作为最后观测结果。误差处理的原则：1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵消和削弱。3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。真误差观测值与理论值之差 第二节偶然误差的特性③绝对值相等的正、负误差出现的机会相等，可相互抵消；④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即：

①在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度;（有界性）②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会要多；（密集性、区间性）（抵偿性）精度：又称精密度，指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的离散程度。评定精度的标准中误差容许误差相对误差第三节衡量精度的标准一、中误差

定义在相同条件下，对某量（真值为X）进行n次独立观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2，……，Δn，则中误差m的定义为：式中

定义由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。二、容许误差（极限误差）

测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即Δ容=2m或Δ容=3m。极限误差的作用：区别误差和错误的界限。相对误差K是中误差的绝对值m

与相应观测值D

之比，通常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:三、相对误差

一般情况

:角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。 第四节算术平均值及其观测值的中误差一、算术平均值观测条件相同，对真值为X的某量观测了n次，观测值为l1,l2....ln,该量的算术平均值为：相应的真误差为Δ1,Δ2...Δn上式两端相加，并除以n,得根据偶然误差的抵消性，即可得出：x=X当观测次数趋于无限时，算术平均值趋近于该量的真值。通常总是把有限次观测值的算术平均值称为该量的最可靠值或最或然值

三、算术平均值中误差的计算公式

根据算术平均值和线性函数，得出算术平均值中误差的计算公式为:

由此可知，算术平均值的精度比观测值的精度提高了倍。例如等精度观测了某段距离五次，各次观测值列于表中。试求该段距离的观测值的中误差及算术平均值的中误差。观测次数观测值l(m)改正数v(mm)vv计算1148.641-141962148.628-113148.635-8644148.610+172895148.621+636Σ743.1350586算术平均值及其中误差在的下对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为l１、l２、…、ln，观测值的真值为X，则观测值的真误差为：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，将等式两边取和并除以观测次数n,得：

[Δ]/n＝[l]/n-X

式中［l］/n称为算术平均值，习惯上以x表示；当观测次数n无限增大时，根据偶然误差的第四特性，式中［Δ］/n趋于零。于是有：x=X。

第五节误差传播定律

误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。函数形式倍数函数和差函数线性函数一般函数一、线性函数（一）倍数函数设有函数

Z=kx式中：x为独立观测值，

Z为观测值x的函数。

x真误差为△x，

Z产生相应的真误差△z，

设x值观测了n次，则

△Z=k△xn

上式两端平方，求其总和，并除以n得：由中误差的定义得：或结论：倍数函数的中误差=倍数×观测值中误差倍数函数

例：在1：500的图上，量得某两点间的距离d=123.4mm，d的量测中误差md=±0.2mm。试求实地两点间的距离D及其中误差mD。解：D=500×123.4mm=61.7m

mD=500×(0.2mm)=±0.1m

所以D=61.7m±0.1m （二）和差函数设有函数

Z=x±y式中：x和y均为独立观测值，Z为观测值x和y的函数。x真误差为△x，y真误差为△yZ产生相应的真误差△z，设x、y观测了n次，则

△Z=△xn+△yn上式两端平方，求其总和，并除以n得：根据偶然误差的抵消性和中误差定义，得结论：和差函数的中误差=各个观测值中误差平方和的平方根和差函数例:分段丈量一直线上两段距离AB、BC，丈量结果及其中误差为：AB=180.15m±0.01m，

BC=200.18m±0.13m。试求全长AC及其中误差。

解：AC=180.15m+200.18m=380.33m （三）一般线性函数设有线性函数式中x1,x2,....xn为独立观测值；k1,k2...kn为常数，式中m1,m2,....,mn分别是x1,x2,....xn观测值的中误差设非线性函数的一般式为：式中：为独立观测值；