定稿考研数学公式大全资料

高等数学公式篇

•平方关系：sina=tana*cosa

sirT2(a)+cos-2(a)=1cosa=cota*sina

tan/'2(a)+l=secA2(a)tana=sina*seca

cot^2(a)+l=csc"'2(a)cota=cosa*csca

・倒数关系：seca=tana*csca

tanacota=lcsca=seca*cota

sinacsca=l

cosaseca=l

•积的关系:

直角三角形ABC中，角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，

・三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p))=cosacosp-sinasinp>

cos(a-p>)=cosacosp)+sinasinp>

sin(a±p>)=sinacosp)±cosa-sinp)

tan(a+p>)=(tana+tan(!>)/(l-tanatanp))

tan(a-p>)=(tana-tanp))/(l+tanatan|3)

•三角和的三角函数：

sin(a+p>+Y)=sinacosp)coSY+cosasinp>coSY+cosacos|5sinY-sinasinp>sinY

cos(a+p>+Y)=cosacosp)coSY-cosasinp>sinY-sinacos(!>sinY-sinasinp>-coSY

tan(a+p)+Y)=(tana+tanp>+tanY-tanatanp>tanY)/(l-+anatanp>-tanptanY-tanYt

ana)

•辅助角公式：

Asina+Bcosa=(A/'2+B/'2)/'(l/2)sin(a+t),其中

sint二厂(1/2)

cost=A/(A2BM厂(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(A/'2+B/'2)A(l/2)cos(a-t),tant=A/B

•倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cos/v2(a)-sin/'2(a)=2cos/'2(a)-l=l-2sin/'2(a)

tan(2a)=2tana/[l-tanA2(a)]

•三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sirT3(a)

cos(3a)=4cos/'3(a)-3cosa

•半角公式：

sin(a/2)=±/((l-cosa)/2)

cos(a/2)=±/((l+cosa)/2)

tan(a/2)=±/((l-cosa)/(l+cosa))=sina/(l+cosa)=(l-cosa)/sina

•降嘉公式•和差化积公式:

sin/'2(a)=(l-cos(2a))/2=versin(2a)/2sina+sinp)=2sin[(a+p))/2]cos[(a-P))/2]

cosA2(a)=(l+cos(2a))/2=covers(2a)/2sina-sinp>=2cos[(a+p))/2]sin[(a-p))/2]

tanA2(a)=(l-cos(2a))/(l+cos(2a))cosa+cosp)=2cos[(a+P))/2]cos[(a-P>)/2]

・万能公式：cosa-cosp)=-2sin[(a+P))/2]sin[(a-P))/2]

sina=2tan(a/2)/[l+tanA2(a/2)]•推导公式

cosa=[l-tanA2(a/2)]/[l+tan/'2(a/2)]tana+cota=2/sin2a

tana=2tan(a/2)/[l-tan/'2(a/2)]tana-cota=-2cot2a

•积化和差公式：l+cos2a=2cos/'2a

sinacosp>=(l/2)[sin(a+p))+sin(a-p))]1-cos2a=2sirT2a

cosa-sinp>=(l/2)[sin(a+p))-sin(a-p))]l+sina=(sina/2+cosa/2)/'2

cosacos|5=(l/2)[cos(a+|5)+cos(a-P>)]

sina-sinp)=-(l/2)[cos(a+p))-cos(a-p))]

・其他:

sina+sin(a+2Tr/n)+sin(a+27T*2/n)+sin(a+2Tr*3/n)+……+sin[a+2Tr*(n-l)/n]=0

cosa+cos(a+2TT/n)+cos(a+2TT*2/n)+cos(a+2Tr*3/n)+…+cos[a+2Tr*(n-l)/n]=0

以及

sirT2(a)+sin-2(a-2TT/3)+sirT2(a+2TT/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sinatan(2kn+a)=tana

cos(2kir+a)=cosacot(2kn+a)=cota

公式二：

设a为任意角，Ti+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:

sin(n+a)=­sinatan(n+a)=tana

cos(n+a)=­cosacot(n+a)=cota

公式三:

任意角a与-a的三角函数值之间的关系:

sin(—a)=—sinatan(—a)=­tana

cos(—a)=cosacot(—a)=—cota

公式四:

利用公式二和公式三可以得到TT-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(7T—a)=sinatan(TT—a)=­tana

cos(TT—a)=­cosacot(n—a)=­cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2ir-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(2n—a)=­sinatan(2TT—a)=—tana

cos(2TT—a)=cosacot(2n—a)=­cota

公式六:

TT/2士a及3n/2±a与a的三角函数值之间的关系:

sin(ir/2+a)=cosacos(3n/2+a)=sina

cos(ir/2+a)=­sinatan(3n/2+a)=­cota

tan(n/2+a)=—cotacot(3n/2+a)=­tana

cot(jr/2+a)=­tanasin(3n/2—a)=­cosa

sin(n/2—a)=cosacos(3TT/2—a)=­sina

cos(TT/2—a)=sinatan(3TT/2—a)=cota

tan(TT/2—a)=cotacot(3n/2—a)=tana

cot(TT/2—a)=tana(以上k£Z)

sin(3TT/2+C()=­cosa

部分高等内容

•高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：

错误!未找到引用源。

泰勒展开有无穷级数：

错误!未找到引用源。

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

・三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y";y=y"",有通解Q,可证明

Q二Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数一一双曲函数，其拥有很

多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

aO'30'45'60'90%

sina01/2/2/2/3/21

cosa1/3/2/2/21/20

tana0Z3/31Z3None

cotaNoneJ31/3/30

(tgx\=sec2x(arcsine)二=1.2

f

(ctgx)=-CSCX1

(arccosx),

(seexy=secx-tgxVl-X,：2

(cscxY=-esex-etgx1

(arctgx\=

(axy=ax]na1+x2

1

(logX)-(arcctgxY-

axlna1+x2

JZgxdr=-In|cos'+Cdx-Jsec2xdx-tgx-\-C

cos2x

Jctgxdx=]n\smx|+C

dx=jesc2xdx--ctgx+C

Jsecxcbc=ln|secx+Zg'+Csin2x

jsecx•=secx+C

Jcscxdx=ln|cscx-ctgj(\+C

jcscx-ctgxdx=-cscx+C

dx

-arctg-+C

~a2+x2~aa

\axdx=—^C

dxx-aJIn。

~2二—In+C

x-a2ax+aIs/udx=chx+C

dx交W+c

—Inchxdx=shx+C

~a2-x2~2aa-x

dx==ln(x+yjx2±a2)+C

=arcsin—+C

aa2

兀

2

jsinz,xdx=Jcos"xdx

ln-2

00n

.________________2________

[\lx2+a2dx=-Vx2+6Z2d----ln(x+y/x2+tz2)+C

J22

2

22-Q"22

jylx-adx-y[x^-a-----Inx+y/x-a+C

2

2

-2Cl•X厂

-xH-----arcsin—4-C

2a

导数公式:

基本积分表:

三角函数的有理式积分:

错误!未找到引用源。

一些初等函数:两个重要极限:

1.sin九1

双曲正弦:$/a="—''lim------=1

2.30X

双曲余弦:c/tr=e'+e'lim(1+4)'=e=2.718281828459045...

2Z8X

双曲正切:=西=”士

chxex+e"

arshx=ln(x+^x1+1)

arclvc=±ln(x+Vx2-1)

,1i1+x

artnx=—1n-----

21—x

,和差角公式:•和差化积公式:

sin«+sinft=2sina+^cos—~~—

sin(a±尸)=sinacos/?±cosasin§

22

cos@±0=coscucos^午sinasinQ

sintz-sin(3-2cos^—^-sin——

22

1+fga,tg(3

八ca+Ba-。

cosa+cos/?=2cos------cos------

,,0、ctga-ctg/3+1

ctg(a±0二八22

ctgp±ctgano.a+0-a-0

coscr-cosp=2sin------sin------

22

三角函数公式:

•诱导公式：

sincos+9ctg

角A

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

•倍角公式:

sin2a=2sinacos。

cos2。=2cos2=l-2sin2a=cos2ctr-sin2asin3a=3sina-4sin'a

ctg2a-lcos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a

2ctga3tga-tg3a

吆3a

2tga1—3fg2a

tg2a-

1-fg2a

•半角公式:

错误!未找到引用源。

•正弦定