最小二乘法课程设计

最小二乘法（1）第15页共15页1、前言1、1背景介绍最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。1、2问题引入为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题：(1)假设已知一组二维数据（），（i=1,2,3···n），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假设为多项式形式f(x)=）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？(2)若拟合模型为非多项式形式，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。1、3内容简介本文主要介绍最小二乘法及其实现方法，通过对其原理的阐述，并以实例的形式说明了如何使用MATLAB函数求解拟合问题。利用算例中的已知二维数据，进行曲线拟合。具体内容如下：(1)最小二乘法的概念(2)最小二乘法的原理及实现方法(3)最小二乘法的应用(4)具体实例的求解2、最小二乘法的概念在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（）（i=1,2,3···m）中寻找自变量x与y之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（），而只要求在给定上误差=F（）（i=1,2,3···m）按某种标准最小。若记=,就是要求向量的范数最小。如果用最大范数，计算上困难较大，通常就采用Euclid范数作为误差度量的标准。关于最小二乘法的一般提法是：对于给定的一组数据（）(i=0,1,…m)要求在函数空间Φ=span{}中找一个函数S*(x)，使加权的误差平方和=最小，其中，是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（）在实验中所占数据的比重。我们说，S(x)=(n<m)这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说就是曲线拟合的最小二乘法。注意这里的，是线性无关的。在研究两个变量之间的关系时，可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立经验方程。为了通过试验数据来估计参数的值，可以采用许多统计方法，而最小二乘法是目前最常用、最基本的。3、最小二乘法的原理及实现方法3、1最小二乘法的原理简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近（在古汉语中“平方”称为“二乘”），“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小.例如，对于回归模型y=S(x),若（）（i=1,2,3···m）为收集到的观测数据，则应该用来估计，这里是（）（i=1,2,3···m）的估计值。它们之间距离的平方和就是。进而最小二乘估计量就是使===(*)达到最小值的参数。从计算的角度看，最小二乘法与插值法类似，都是处理数据的算法.但从创设的思想看，二者却有本质的不同。前者寻求一条曲线，使其与观测数据“最接近”，目的是代表观测数据的趋势；后者则是使曲线严格通过给定的观测数据，其目的是通过来自函数模型的数据来近似刻画该函数.在观测数据带有测量误差的情况下，就会使得这些观测数据偏离函数曲线，结果使得与观测数据保持一致的插值法不如最小二乘法得到的曲线更符合客观实际.3、2最小二乘法的实现方法3、2、1一般的最小二乘曲线拟合给定一组测量数据{（），i=0,1,2,…,m}，基于最小二乘原理，求得变量x和y之间的函数关系f(x,A),使它最佳地逼近已知数据。其中A=（）是一些待定参数。为了是问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的都考虑为加权平方和，即=其中，是[a,b]上的权函数，它表示反应数据（）在实验中所占数据的比重。选择参数A使得加权平方和最小，即求满足(**)的f*(x)。要使（**）最小，它转换为求多元函数的极小点问题。由求多远函数极值的必要条件，有若记，则可改写为（***）此方程成为法方程。它也可以写成矩阵形式由于，线性无关，故,方程组（***）存在唯一解（i=1,2,3···n）,从而得到函数f(x)的最小二乘法解为可以证明，这样得到的对于任何多项式形式的，都有故确实所求最小二乘解。以上法方程是一种实现方法，对于多项式拟合，我们还可以这样求。设f(x,A)=,由最小二乘法确定其系数，假设每个数据点的权为1，令最小，则有：（j=0,1,2,…n）即：得方程组：此方程称为多项式拟合的法方程。令X=Y=A=则得：XA=Y,从而A=3、2、2其他情况的最小二乘法拟合某些情况的非多项式拟合可化为一般情况下的最小二乘法。在这种情况下，我们可通过变数变换将其化为线性模型。利用最小二乘线性拟合确定其系数，再利用逆变换给出原问题的曲线拟合函数。例1：双曲线1/y=a+(b/x)(a>0)(图1)我们可令则得，从而利用最小二乘法进行线性拟合求出a,b。例2：倒指数曲线（图2）为了确定a,b，对上式两端取对数，得lny=lna+b/x.我们令Y=lny,A=lna,X=1/x,则由（）计算出（）,从而求出Y=A+Bx,进而求出。例3：曲线（图3）我们对方程取对数，得lny=lna+bx令Y=lny,A=lna,则原问题转化为解Y=A+Bx的线性问题。除此之外，S型曲线，，以及对数曲线等。这些曲线模型都可通过线性拟合来求得。:图1：1/y=a+(b/x)(a>0)图2：图34、数值实验4、1问题提出下面，我们研究这样一个算例：已知如下表格，怎样利用最小二乘法求出拟合曲线？123451.52.53.55.07.54、2问题分析光从这些杂乱无章的数据是无从入手的。于是我们采取以下方法来分析：（1）画出散点图（图4），该过程可利用MATLAB（后面会详细介绍），其具体程序可见附录中的程序1。图4：已知算例数据的散点图(2)利用散点图、已积累的函数曲线形状的知识和试验数据，我们可揣测已知的二维数据可用函数拟合。4.3数学模型4.3.1模型的建立根据问题分析，我们建立回归模型。然后把非线性多项式拟合模型转换为线性问题。我们对方程取对数，得lny=lna+bx令Y=lny,A=lna,则原问题转化为解Y=A+bx的线性问题。即有取对数，并令取对数，并令Y=lny,A=lna,Y=A+bx这样的话，问题则转换为已经以下数据，求A,b的问题。123451.52.53.55.07.50.4054651180.9162907311.2527629681.6094379122.0149030214.3.2模型首先，我们来简单地了解一下MATLAB这个软件。MATLAB是三大数学软件之一，功能强大、简单易学、编程效率高，其拟合解法在解方程和求函数极值问题上是一种有效求解方法。在这里，值得一提的是MATLAB最优化工具箱提供了提供了多项式函数拟合的语句a=polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多项式的最高阶数，xdata,ydata为将要拟合的数据，它是用数组的方式输入。输出参数a为拟合多项式的系数。多项式x处的拟合值y可用下面程序计算：y=ployval(a,x)于是，我们通过MATLAB编程（具体见附录中的程序2）得出以下结果：a=0.39120.066250.2798即有Y=0.0662x+0.03912转换为原拟合函数，则为4.3.3模型由模型求解，我们得出了已知数据的拟合函数为：在这里我们简单讨论一下最小二乘法的拟合效果。由附录程序2，我们得出=e1==50.2798换个角度，我们从图像（附录程序2中的图六）上来分析，虽然没有经过已知数据标记的所有点，但是已经极力逼近，必通过检验有达到最小。综上所述，通过最小二乘法，该算例的拟合函数为，并且有：min=50.27985、总结最小二乘法是指使因变量估计值与实测值间的相对误差平方和为最小。在研究两个变量之间的关系时，我们可以用回归分析的方法进行分析。当确定了描述两个变量之间的回归模型后，就可以使用最小二乘法估计模型中的参数，进而建立数学模型，然后通过MATLAB求解模型。通过本文实例模型（非多项式形式）的求解，我们学会了怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据。如何巧妙地运用最小二乘法解决数据拟合问题，这不仅对我们在今后的学习有一定的帮助，而且在生产实践、科学实验中也起到了一定的作用。

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附录程序1：clear;clc;x=[12345];y=[1.52.53.55.07.5];plot(x,y,'ro');%用圆圈标记（）图5：已知算例数据的散点图程序二：clear;clc;x=[12345];y=[1.52.53.55.07.5];Y=log(y);a=polyfit(x,Y,1)%求一次拟合多项式的系数Y1=polyval(a,x);%求的一次拟合多项式值e=Y1-y;e1=sum(e.*e);