3.2.2 函数的奇偶性（原卷版）

.2.2函数的奇偶性知识点一判断函数的奇偶性【【解题思路】判断函数的奇偶性，一般有以下两种方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．【例1】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【变式】1．（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（

）A．是奇函数， B．是奇函数，C．是偶函数， D．是偶函数，2.（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)知识点二根据奇偶性补充图像【【解题思路】巧用奇、偶函数的图象求解问题奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．【例2】（22-23高一上·天津南开·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分(1)请画出函数当时的图象；(2)写出函数的解析式，值域，增区间．【变式】1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，.(1)求，的值；(2)求出当时，的解析式；(3)请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域.2．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

(1)求当时，的解析式；(2)如图，请补出函数的完整图象，根据图象直接写出函数的单调递增区间．知识点三根据奇偶性求参数【【解题思路】利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数．(2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．【例3-1】（22-23高一上·广东湛江·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【例3-2】（23-24高一上·辽宁阜新·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．2【例3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知为奇函数，则（

）A． B．2 C．1 D．【例3-4】（2024内蒙古赤峰·期中）若函数为偶函数，则实数．【变式】1．（23-24高一上·山西长治·期末）若为奇函数，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．22．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．3 D．23．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．4．（2024高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则.知识点四根据奇偶性求解析式【【解题思路】用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．【例4-1】（23-24·陕西西安）定义在上的奇函数，当时，，则解析式是.【例4-2】（23-24福建漳州）若函数是偶函数，且当时，，则当时，.【变式】1．（22-23广东阳江）已知函数的图象关于原点对称，且当时，，那么当时，.2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在R上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为．4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数对一切实数都满足，且当时，，则．重难点一奇偶性与单调性解不等式【【解题思路】函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．3.利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式．(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域【例5-1】（23-24高一上·北京东城·期末）奇函数在区间上单调递增，且其图象经过点，则不等式的解集为（）A． B． C． D．【例5-2】（23-24高一上·北京·期中）已知函数是偶函数，若在上单调递增，，则的解集为（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·北京·期中）若定义在上的奇函数在上是增函数，又，则的解集为（

）A．或 B．或C．或 D．或2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·江西·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5（22-23高一上·北京·阶段练习）若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．重难点二奇偶性与单调性比较大小【【解题思路】比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．【例6】（22-23高一上·湖南邵阳·期末）已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高一上·新疆喀什·期末）若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（）A． B．C． D．2．（22-23高一上·海南儋州·期末）（多选）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·北京东城·期中）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则的从小到大的顺序为.重难点三奇偶性与单调性求最值【例7-1】（23-24高一上·湖南株洲·期中）若奇函数在区间上单调递增且有最大值，则函数在区间上（

）A．单调递增且最小值为 B．单调递增且最大值为C．单调递减且最小值为 D．单调递减且最大值为【例7-2】（23-24高一上·福建三明·期中）已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（

）A． B． C． D．【例7-3】（23-24高一上·北京·期中）已知函数，且，则．【变式】1．（23-24高一上·北京·期中）如果奇函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（

）A．减函数且最小值是－4 B．减函数且最大值是－4C．增函数且最小值是－4 D．增函数且最大值是－42．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知是定义在R上的奇函数，设函数的最大值为M，最小值为m，则（

）A．2 B．4 C．8 D．163．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数，若，则.4．（23-24高三上·安徽安庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则．5．（2024高一·全国·专题练习）已知，则=6．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数，若，则．单选题1．（23-24高一下·安徽合肥·期末）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（

）A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．3．（22-23高一上·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（

）A．1 B．3 C． D．4．（22-23高一上·天津·期末）已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．5．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知是定义在上的偶函数，对任意，且，都有，，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．6．（22-23高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．7．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若函数为偶函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．或8．（22-23高三上·山西运城·期中）已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，且，都有，则的大小关系是（

）A． B．C． D．多选题9．（23-24高一上·湖南株洲·期末）已知函数，则（

）A．的定义域为 B．的值域为RC．为增函数 D．的图象关于坐标原点对称10．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的定义域为B．是偶函数C．的值域为D．11．（23-24高一上·陕西汉中·期末）对于函数，下面几个结论中错误的是（

）A．函数是奇函数 B．函数是偶函数C．函数的值域为 D．函数在上是减函数填空题12．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若，则．13．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数是偶函数，则．14．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数，且满足，则实数的取值范围是．解答题15．（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)16．（23-24高一上·重庆永川·期中）已知函数．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(3)求函数在上的最大值和最小