3.1 函数的概念及表示（解析版）

.1函数的概念及表示知识点一函数的概念【【解题思路】1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法（1）任取一条垂直于x轴的直线l；（2）在定义域内平行移动直线l；（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2判断一个对应关系是否为函数的方法【例1-1】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）下图中可表示函数的图象是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B.故选：B.【例1-2】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,故选:C.【例1-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能；对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能；对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能；对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能.故选：C【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）（多选）下列图象中，表示函数关系的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，由图象可看出，表示函数关系的有AD；BC项的对应关系中，均出现了一个对应两个值的情况，不符合函数的定义，不是函数．故选：AD．2．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）（多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【解析】图①中能看到函数的值域不是集合B的子集，不符合函数定义：图②和③中，从集合A到集合B存在一对多的对应关系，不符合函数的定义：图④符合函数的定义.故选：ABC3．（23-24高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】AC【解析】对于A中，集合，，可得为多对一对应，所以是函数关系，符合题意；对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意；对于C中，集合，，可得为多对一对应，所以是函数关系，符合题意；对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意.故选：AC.4．（23-24高一上·重庆·阶段练习）（多选）下列对应关系是从到的函数的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】AD【解析】根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素．对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确；对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误；对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误；对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确；故选：AD知识点二区间的表示【【解题思路】用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．【例2-1】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．用区间可表示为 B．用区间可表示为C．用集合可表示为 D．用集合可表示为【答案】D【解析】对于A，用区间可表示为，错误；对于B，用区间可表示为，错误；对于C，用集合可表示为，错误；对于D，用集合可表示为，正确；故选：D【例2-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若为一确定区间，则的取值范围为.【答案】【解析】由题意，，解得.故答案为：【变式】1．（22-23高一·全国·课堂例题）用区间表示下列数集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【解析】；；且；；.故答案为：；；；；.2．（2024湖北）已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为．【答案】(－1，＋∞)【解析】由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．故答案为：(－1，＋∞)知识点三函数的定义域【【解题思路】1.具体函数的定义域（1）分式：分母不等于零（2）根式：根式是偶次根式。根号内的式子不小于零（3）0次方：一个数的0次方等于1，这个数不能为02.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；（2）若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．口诀：对应法则不变，括号内等范围3.求函数定义域应注意的问题（1）不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；（2）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．【例3-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）要使函数有意义，需满足，解得，所以的定义域为．（2）要使函数有意义，需满足解得．所以函数的定义域为．（3）要使函数有意义，需满足，解得．所以函数的定义域为．【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：①；②.（2）函数的定义域是，求函数的定义域.【答案】（1）①；②；（2）【解析】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为.②由已知，得，解得，故的定义域为.（2）先求的定义域：因为的定义域是，所以，所以，即的定义域是.再求的定义域：因为，解得，所以的定义域是.【例3-3】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，则函数的定义域是，故选：C.【变式】1．（23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（

）A．{且} B．{且}C． D．{且}【答案】D【解析】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D.2．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域是．【答案】且【解析】要使函数有意义，只需，解得：且.故答案为：且3．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为．【答案】【解析】对于函数，有，解得，故函数的定义域为函数的定义域为.故答案为：.4．（2024高一·全国·专题练习）已知的定义域为，则的定义域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为的定义域为，即，则，所以，所以的定义域为.故选：C.5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，由，有，即函数的定义域为，令，解得，函数的定义域为.故选：C6．（23-24辽宁·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，要使有意义，则，解得，所以函数的定义域为．故选：D．知识点四相等函数【【解题思路】判断两个函数为同一函数（1）定义域、对应关系两者中都相同时，为同一个函数（2）在化简解析式时，必须是等价变形.【例4-1】（2024浙江·学业考试）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．与【答案】C【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误；对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确；对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：C.【例4-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A.【变式】1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数与的定义域均为R，可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；对B，，故B错误；对C，的定义域为，故C错误；对D，，故D正确.故选：D3．（23-24高一下·山东淄博·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BD【解析】对A：对的定义域为，则，故与不是同一函数，故A错误；对B：，，故与是同一函数，故B正确；对C：定义域为，即，定义域为，即或，故与不是同一函数，故C错误；对D：与定义域与对应关系都相同，故与是同一函数，故D正确.故选：BD.4．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）（多选）下列各组函数表示同一函数的是（）A．与 B．与C．与 D．与【答案】BCD【解析】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，故A错误；对于B，函数，，故B正确；对于C，函数，，故C正确；对于D，函数，，故D正确.故选：BCD.知识点五函数的表示方法【【解题思路】函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系【例5-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的部分与的对应关系如下表：则（

）0123432100A． B． C． D．3【答案】D【解析】由图表可知，，所以，故选：D【例5-2】（23-24高一上·山东·期中）下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（

）（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B；故选：D【变式】1．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数分别由下表给出：则的值是（

）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】C【解析】由表可知：，则.故选：C.2．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（

）．123230

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由图可知，，由表格可知，故选：B.3．（23-24山东济南·阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】当小明在弧上运动时，与点的距离相等，所以AB选项错误.当小明在半径上运动时，与点的距离减小，当小明在半径上运动时，与点的距离增大，所以C选项错误，D选项正确.故选：D知识点六分段函数【例6-1】（23-24陕西西安·期中）设．(1)求的值；(2)若，求t值.【答案】(1)0(2)或或【解析】（1）.（2）当时，，∴；当时，，解得：；当时，，∴，综上所述：或或．【例6-2】（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数.(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；【答案】(1)，(2)函数的简图见解析.(3)【解析】（1）由，∴，.（2）简图如图所示：（3）简图可知函数的值域为【变式】1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数(1)求；(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）函数，则，所以.（2）函数，由可得或或，解得或或，所以a的取值范围是.2．（23-24高一上·陕西汉中·期中）已知函数.(1)求，的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.【答案】(1)，(2)作图见解析【解析】（1）由已知可得，，.（2）在坐标系中描点，，，，，作出的简图3．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

(1)写出函数的解析式、定义域和值域；(2)求，的值．【答案】(1)，定义域为，值域为；(2)，.【解析】1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为，将点代入解析式可得，即；当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为，由图象可知其顶点为且过点，所以，即，则，结合图象，所以的定义域为，值域为；（2）由上可知，，即，.重难点一函数的解析式【【解题思路】1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有两种方法：(1)换元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围.(2)配凑法：即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.3.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式.【例7】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是一次函数，且，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式；（4）已知，求的表达式．【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）【解析】（1）设．∵，，解得或，∴或．（2）令则．∵，∴．（3）令，，则，即．∵，∴，∴．（4）∵，①∴．②得，∴．【变式】1．（23-24高一上·湖北·期中）已知，则函数的解析式为（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】C【解析】设（），则，，所以（），故选：C.2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若函数，则．【答案】（）【解析】函数，令，则，所以则函数化为所以（）.故答案为：（）.3．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则．【答案】【解析】对于函数，有，又因为，故.故答案为：.4．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式；（2）已知，求的表达式；（3）已知，求的表达式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）设，∵，∴．又∵，∴．整理得．由恒等式的性质知上式中对应项系数相等，∴，解得∴所求函数的表达式为．（2）令，则．∴，∴所求函数的表达式为．（3）在原式中用替换，得，于是有，消去，得．∴所求函数的表达式为．重难点二作函数图像【例8】（23-24广东深圳）作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)．(4)(5)，（6）【答案】图象见解析【解析】（1），∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图．（2），先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图．（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示．（4）画出一次函数的图象，取上的一段；画出二次函数的图象，取上的一段；画出一次函数的图象，取上的一段，如图所示．

（5）先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把轴下方的部分翻折到轴上方，并截取在区间上的部分，如图所示．

（6）由，可得函数图象如下图，【变式】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列函数的草图．(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）【答案】答案见解析【解析】（1）列表：011描点，连线：

（2）列表：01233003描点，连线：

（3）列表：01101描点，连线：

（4）列表：1221描点，连线得第一象限内的图象，并作出其关于原点对称的曲线，如图．

（5）由题意得，其图象可由的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，即：

（6）由题意得，分段作出二次函数图象，则图象为：（7）由题意知，结合二次函数性质，函数图象如下：单选题1.（203·江苏扬州）下列对应是集合到集合的函数的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.故选：A．2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数，则（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】A【解析】依题意，，所以.故选：A3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数的定义域为，所以，，所以的定义域为，对于函数，由，得，所以函数的定义域为.故选：C4．（22-23高一上·山东·期中）已知函数，若，则（

）A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或【答案】A【解析】函数，则，当，即时，，解得，无解，当，即时，，解得，则，所以.故选：A5．（2023·山东）下列每组中的函数是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.6．（22-23高一上·浙江·期中）已知，则说法不正确的是（

）A． B．C． D．当，【答案】B【解析】因为，所以，即，故A正确；所以，，故B错误；所以，故C正确；当时，，所以，故D正确.故选：B.7．（2024·北京）函数的值域为（

）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【解析】设题中函数为，则，当时，；当时，视其为关于x的二次方程，判别式，综上，故值域为．故选：C.8．（2023·高一课时练习）已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函数的定义域为A，值域为B，所以当时，；当时，；当时，；当时，；所以，又，所以若，解得或，因为，所以.此时，所以，则；若，又，所以不成立.综上，.故选：D.多选题9．（2023·云南）下列四个图象中，是函数图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【解析】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD10．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A.，定义域都为R，故表示同一函数；B.，故不是同一函数；C.，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数；D.，的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数，故选：AC11．（2023-2024·高一课时练习）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（

）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．当0≤x≤30时，y与x的关系式为D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为【答案】BCD【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），则，故y与x的关系式为，故D正确．故选：BCD填空题12．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是（填序号）．①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．【答案】②【解析】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确；若函数,定义域为，但值域为，故②错误，定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确，由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确，故答案为：②13．（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数，则当函数值时，.【答案】或或.【解析】当时，，，所以，当时，，，所以；当时，，，所以，综上，或或.故答案为：或或.14．（23-24高一上·湖北荆州·阶段练习）已知函数和分别由下表给出，则，若，则实数的取值集合为.1234514916252345613245【答案】【解析】根据表格可得，，所以，.根据表格可得，当时，满足，此时；当时，满足，此时；当时，满足，此时.综上可得，实数的取值集合为.故答案为：；.解答题15．（23-24高一上·江西赣州·期末）设函数．(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；(2)解不等式．【答案】(1)答案见解析(2)或或【解析】（1）的图象如下：（2）由，结合（1）可得①或②，解①得或解②得故的解集为或或.16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函数的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函数，且，求；(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)【解析】（1）因为，所以．（2）解法一（换元法）：令，，则，所以，所以．解法二（配凑法）：，因为，所以．（