第6讲　函数的图象

第6讲函数的图象课标要求命题点五年考情命题分析预测在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的作用.作函数的图象本讲是高考的一个热点，主要考查函数图象的识别和应用，题型以选择题为主，中档难度.在2025年高考备考过程中要掌握数形结合思想，并能灵活应用.函数图象的识别2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7函数图象的应用2020北京T6学生用书P0391.利用描点法作函数的图象2.利用图象变换法作函数的图象平移变换y＝f（x）的图象y＝f（x＋a）的图象.y＝f（x）的图象y＝①f（x－a）的图象.y＝f（x）的图象y＝f（x）＋h的图象.y＝f（x）的图象y＝②f（x）－h的图象.对称变换y＝f（x）的图象y＝－f（x）的图象.y＝f（x）的图象y＝③f（－x）的图象.y＝f（x）的图象y＝f（x）的反函数的图象.y＝f（x）的图象y＝④－f（－x）的图象.翻折变换y＝f（x）的图象y＝｜f（x）｜的图象.y＝f（x）的图象y＝⑤f（｜x｜）的图象.伸缩变换y＝f（x）的图象y＝f（ax）的图象.y＝f（x）的图象y＝⑥Af（x）的图象.注意（1）平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对x本身，若x的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.（2）对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.常用结论1.函数图象自身的对称性（1）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称.特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），则函数f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称，函数f（kx）的图象关于直线x＝（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.特别地，若f（a＋x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.2.两个函数图象之间的对称关系（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.1.下列说法正确的是（D）A.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到B.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同D.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称解析y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，B错误.令f（x）＝－x，当x∈（0，＋∞）时，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，两者图象不同，C错误.易知D正确.2.函数y＝x2，x<0，xA B C D解析x＜0时，图象单调递减，x≥0时，图象单调递增，且函数图象过点（0，－1），易知C正确.3.[全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（B）A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x） C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）解析设f（x）＝lnx，易知函数f（2－x）与f（x）的图象关于直线x＝1对称，f（2－x）＝ln（2－x），故选B.4.[2024北京师范大学附属实验中学模拟]要得到函数y＝xx－1的图象，只需将函数y＝1x的图象（A.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度解析y＝xx－1＝x－1+1x－1＝1＋1x－1，故将y＝1x5.[2024江西省部分学校联考]将二次函数y＝3（x＋1）2－2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则a＋b＋c＝2.解析由题意可得ax2＋bx＋c＝3（x－2＋1）2－2＋4＝3x2－6x＋5，所以a＝3，b＝－6，c＝5，则a＋b＋c＝2.学生用书P041命题点1作函数的图象例1分别画出下列函数的图象：（1）y＝2x＋1－1；（2）y＝｜lg（x－1）｜；（3）y＝x2－｜x｜－2.解析（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示. 图1 图2（2）首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.（3）y＝x2－｜x｜－2＝x2－方法技巧作函数的图象的策略（1）熟练掌握几种基本初等函数的图象.（2）若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.训练1分别画出下列函数的图象：（1）y＝（12）｜x｜；（2）y＝2解析（1）先作出y＝（12）x的图象，再去掉y轴左侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧，y轴上及右侧图象不变，即得y＝（12）｜x｜的图象，如图中实线部分所示.（2）y＝2x+1x+1＝2－1x+1的图象可由y＝－1命题点2函数图象的识别角度1知式选图或知图选式例2（1）[2022全国卷甲]函数y＝（3x－3－x）·cosx在区间[－π2，π2]的图象大致为（A A B C D解析解法一（特值法）取x＝1，则y＝（3－13）cos1＝83cos1＞0；取x＝－1，则y＝（13－3）cos（－1）＝－83cos1解法二令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cosx＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）cosx是奇函数，且当x∈（0，π2）时，3x－3－x＞0cosx＞0，故f（x）＞0，故选A.（2）[2022全国卷乙]如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是（A）A.y＝－x3+3xx2+1C.y＝2xcosxx2+1解析对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝15sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当x＞0时，y＝2xcosxx2+1＝2cosxx＋1x，因为x＋1x≥2，当x＝1时取等号，所以y≤方法技巧识别函数图象的主要方法有：（1）利用函数的定义与性质，如定义域、奇偶性、单调性等判断；（2）利用函数的零点、极值点等判断；（3）利用特殊函数值判断.角度2借助动点探究函数图象例3如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（B）A BC D解析由题易知f（0）＝2，f（π4）＝1＋5，f（π2）＝22＜f（π4），可排除选项C，D；当点P在边BC上时，f（x）＝BP＋AP＝tanx＋4+tan2x（0≤x≤π4方法技巧借助动点探究函数图象的两种方法（1）定量计算法：根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象.（2）定性分析法：采用“以静观动”，即判断动点处于不同位置时图象的变化特征，从而作出选择.训练2（1）[2024重庆七校联考]函数f（x）＝ex－1ex+1·cos（π2解析因为f（x）＝ex－1ex+1·cos（π2＋x）＝1－exex+1sin（－x）＝－ex（1－e－x）ex（e－x+1）·sinx＝1－exex+1·sinx＝f（x），所以f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，D；当0＜x＜π时，1－exe（2）如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右平行移动（与线段AB有公共点）时，l把四边形ABCD分成两部分.设AE＝x，l左侧的面积为y，则y关于x的图象大致是（C）解析当l从左至右移动时，一开始l左侧面积的增加速度越来越快，过了D点后l左侧面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后l左侧面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.命题点3函数图象的应用角度1研究函数性质例4已知函数f（x）＝x｜x｜－2x，则下列结论正确的是（C）A.f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）B.f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）C.f（x）是奇函数，递减区间是（－1，1）D.f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）解析由题意得f（x）＝x2－2x，x≥0，－f（x）为奇函数，且在（－1，1）上单调递减.故选C.角度2解不等式（或方程）例5（1）[北京高考]已知函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集是（D）A.（－1，1） B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，＋∞）解析函数f（x）＝2x－x－1，则不等式f（x）＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象，如图所示，结合图象易得2x＞x＋1的解集为（－∞，0）∪（1，＋∞）.故选D.（2）设f（x）＝｜lg（x－1）｜，若1＜a＜b且f（a）＝f（b），则ab的取值范围是（4，＋∞）.解析画出函数f（x）＝｜lg（x－1）｜的图象，如图所示.由1＜a＜b且f（a）＝f（b）可得－lg（a－1）＝lg（b－1），解得ab＝a＋b＞2ab（由于a＜b，故取不到等号），所以ab＞4.角度3求参数范围例6[2024福建三明第一中学模拟]已知函数f（x）＝sinπx，0≤x≤1，log2024x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝A.（2，2025） B.（2，2025]C.（2，2024） D.（2，2024]解析函数f（x）＝sinπ不妨令a＜b＜c，由f（a）＝f（b）＝f（c）及正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，1＜c＜2024，所以2＜a＋b＋c＜2025.故选A.方法技巧函数图象的应用，实质是数形结合思想的应用.（1）研究函数的性质可借助函数图象的对称性、走向趋势、最高点、最低点等进行分析；（2）不等式问题可转化为图象的上下位置关系问题；（3）函数零点或方程根的问题可转化为函数图象的交点问题.训练3（1）把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得图象对应的函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（B）A.1 B.2 C.3 D.4解析把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，得到函数g（x）＝ln｜x＋2－a｜的图象，则函数g（x）在（a－2，＋∞）上单调递增，又因为所得函数在（0，＋∞）上单调递增，所以a－2≤0，即a≤2，所以a的最大值为2.（2）已知函数f（x）＝（12）x，x≥1，log4（A.（－∞，0] B.（－1，0]C.（－1，0]∪[1，＋∞） D.[1，＋∞）解析作出函数y＝f（x）与y＝12x的图象，如图结合图象知不等式f（x）≤12x的解集为（－1，0]∪[1，＋∞），故选（3）已知函数f（x）＝2x－x，x≤0，log2x－x，x>0，若方程f解析方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根，即方程f（x）＋x＝－x＋a有两个不同的根，等价于函数y＝f（x）＋x与函数y＝－x＋a的图象有两个不同的交点.因为f（x）＝2所以y＝f（x）＋x＝2x作出函数y＝f（x）＋x与y＝－x＋a的大致图象，如图所示.数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根.1.[命题点2角度1/全国卷Ⅰ]函数f（x）＝sinx＋xcosx＋x2在[－π A B C D解析易知函数f（x）的定义域为R.因为f（－x）＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－sin因为f（1）＝sin1+1cos1+1，且sin1＞cos1，所以f（1）＞1，排除B，C.故选2.[命题点2角度1]从某个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（C）A.f（x）＝sin6xB.f（x）＝cos6C.f（x）＝cos6D.f（x）＝sin6解析因为函数图象关于y轴对称，所以此函数为偶函数.四个选项中的函数的定义域均为（－∞，0）∪（0，＋∞）.对于A，f（－x）＝sin（－6x）2f（x），f（x）是偶函数，当x＞0时，令f（x）＝0，则sin6x＝0，得x＝kπ6（k∈N*），则当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π6，当0＜x＜π6时，sin6x＞0，2－x－2x＜0，f（x）＜0对于B，f（－x）＝cos（－6x）2－x－2x＝cos6x－（2x对于C，f（－x）＝cos（－6x）｜2－x－2x｜＝cos6xf（x）＝0，则cos6x＝0，得x＝π12＋kπ6（k∈N），所以当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π12，当0＜x＜π12时，cos6x＞0，｜2x－2－x｜＞0，f（x对于D，f（－x）＝sin（－6x）｜2－x－2x｜＝－sin6x｜23.[命题点2角度2/2024北京市育英学校模拟]点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，A，P两点间的距离y关于点P所走的路程x的函数图象如图所示，那么点P所走的图形是（C） A B C D解析观察题图，可以发现两个显著特点：①点P所走的路程为图形周长的一半时，A，P两点间的距离y最大；②y关于x的函数图象是曲线.设点M是点P所走的路程为图形周长的一半时所对应的点，如图所示，在图1和图4中，易知｜AM｜＜｜AP｜max，均不符合特点①，所以排除选项A，D.在图2中，当点P在线段AB上运动时，y＝x，其图象是一条线段，不符合特点②，因此排除选项B.故选C.4.[命题点3角度3/2024山东省德州市模拟]已知函数f（x）＝2x－1+1，x≤2，｜log2（x－2)|,x>2，若关于x的方程[f（x）]2－（aA.∅ B.[－1，0）C.（－2，0） D.（－2，－1）解析作出函数f（x）的大致图象如图，由函数图象可知，要使关于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6个不同的实数根，设f（x）＝t，则关于t的方程t2－（a＋3）t－a＝0在（1，3]有两个不同的实数根，因此Δ＝[－（a+3）]5.[命题点3/多选]已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2｜x－1｜A.函数f（x）在（－6，－5）上单调递增B.函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点C.若关于x的方程[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8D.记函数f（x）在[2k－1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{ak}的前7项和为127解析若2＜x≤4，则0＜x－2≤2，f（x）＝12f（x－2）＝12（2｜x－3｜－1），若4＜x≤6，则2＜x－2≤4，f（x）＝12f（x－2）＝14（2｜x－5｜作出f（x）的部分图象如图所示.对于A，由图可知，f（x）在区间（5，6）上单调递增，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）在区间（－6，－5）上单调递增，故A正确.对于B，由图可知，f（x）在（0，＋∞）上的图象与直线y＝x有1个交点，结合f（x）为定义在R上的奇函数可知，f（x）在（－∞，0）上的图象与直线y＝x有1个交点，且f（0）＝0，所以f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，故B错误.对于C，由[f（x）]2－（a＋1）f（x）＋a＝0（a∈R），得[f（x）－1][f（x）－a]＝0，因为原方程恰有4个不相等的实数根，且方程f（x）－1＝0有唯一实数根x1＝2，所以方程f（x）－a＝0应有3个不同的实数根（从小到大依次记为x2，x3，x4），结合图象及f（x）为奇函数可知，a＝12或a＝－12.当a＝12时，x2＋x3＝2，x4＝4，此时4个实数根的和为8；当a＝－12时，x2＝－4，x3＋x4＝－2，此时4个实数根的和为－4对于D，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即a1＝1，函数f（x）在[3，4]上的最大值为f（4）＝12，即a2＝12，…….由函数解析式及性质可知，数列{ak}是首项为1，公比为12的等比数列，则其前7项和为S7＝1－（12）7学生用书·练习帮P2701.[2023武汉市模拟]函数f（x）＝sinxex＋e解析因为f（－x）＝sin（－x）e－x＋ex＝－sinxe－x＋ex＝－f（x），所以f（x）是奇函数，排除D；（速解：牢记y＝ax＋a－x（a＞0且a≠1）为偶函数，y＝ax－a－x为奇函数.因为y＝sinx为奇函数，因为f（π）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上必有零点，排除C；因为当x∈（0，π）时，f（x）＞0，所以排除B.故选A.2.已知函数f（x）的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（C）图1 图2A.1－f（x） B.－f（2－x）C.f（－x）－1 D.1－f（－x）解析由题图知，将f（x）的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2，故题图2表示的函数为y＝f（－x）－1.3.已知函数f（x）＝ex－1－1，x≤1，log2 A B C D解析解法一令g（x）＝f（1－x）.由题意，得g（0）＝f（1－0）＝f（1）＝e0－1＝0，易知f（x）在R上单调递增，所以y＝f（1－x）在R上单调递减，故选B.解法二先作f（x）＝ex－1－1，x≤1，log2x4.[2023天津高考]函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（D）A.f（x）＝5（ex－e－x）C.f（x）＝5（ex+e－x）解析由题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数.因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f（x）＝5sinxx2+1是奇函数，故排除B；因为x2＋2＞0，ex＋e－x＞05.[2024辽宁模拟]已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（A）A.（－2，－1）∪（1，2） B.（－2，－1）C.（－1，0）∪（1，2） D.（－1，0）解析∵xf（x）＜0，∴x和f（x）异号.由f（x）为奇函数，可得f（x）在R上的图象如图所示.由图可得，当x∈（－2，－1）∪（0，1）∪（2，＋∞）时，f（x）＞0，当x∈（－∞，－2）∪（－1，0）∪（1，2）时，f（x）＜0，∴不等式xf（x）＜0的解集为（－2，－1）∪（1，2）.6.[2024陕西调研]若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（D）A.（－1e，＋∞） B.（－e，＋∞C.（－∞，1e） D.（－∞，e解析由题意知，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点.当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝lnx的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象（如图）可知此时只需要g（0）＝lna＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝lnx的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上y＝e－x与g（x）的图象恒有交点，满足条件.综上，a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.故选D.7.[2024江西联考]已知定义域为R的函数f（x）满足f（2＋x）＝－f（－x），且曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则函数g（x）＝f（x）＋1x－A.2 B.－2 C.4 D.－4解析由f（2＋x）＝－f（－x），得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，函数y＝－1x－1的图象是由y＝－1x的图象向右平移一个单位长度得到的，故y＝－1x又曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则这两个交点关于（1，0）对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点即曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1交点的横坐标，故函数g（x）＝f8.[多选/2024山东日照模拟改编]下列结论正确的是（ABD）A.函数y＝sinx与y＝logπx的图象只有一个交点B.函数y＝sinx与y＝（12）xC.函数y＝sinx与y＝x的图象有三个交点D.函数y＝sinx与y＝tanx，x∈（－π2，π解析在同一坐标系内作出函数y＝sinx，y＝logπx，y＝（12）x及y＝x由图象可知，A，B正确，C错误.对于D，sinx＝tanx⇒sinx＝sinxcosx⇒sinx（1－1cosx）＝0，∵x∈（－π2，π2），∴x＝0，因此函数y＝sinx与y＝tanx，x∈（－9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋f（－a），则实数a的取值范围是（－∞，2）.解析因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可转化为f（a）＜2，作出f（x）的图象，如图所示，由图易知a＜2.10.设函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x＋2）＝f（x）.当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，则函数f（x）与y＝｜lgx｜的图象的交点个数为10.解析因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的偶函数，图象关于y轴对称.因为当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，所以当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2.根据f（x）是周期为2的偶函数画出f（x）的图象如图所示，同时画出y＝｜lgx｜的图象，根据图象可知，两个函数的图象有10个交点.11.[2023吉林长春模拟]函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝f（－lnx）的单调递减区间是（D）A.（0，12） B.（12，C.（0，1e] D.[1e，解析因为t＝－lnx在x∈（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＝f（－lnx）的单调递减区间为y＝f（t）的单调递增区间，由图象可知y＝f（t）的单调递增区间为[0，12]－lnx∈[0，12]，解得x∈[1e，1]12.[2024辽宁省沈阳市新民市高级中学模拟]岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（C）A.y＝｜x｜4－x2 B.yC.y＝－x2+2｜x｜解析由图象可知，函数为偶函数，排除B，D.对于A，∵y＝｜x｜4－x2＝x2（4－x2）≤（x2+4－x22）2＝2（当且仅当x2＝4－x2，即x＝±2时取等号），∴y＝｜x｜4－x2在（－2，2）上的最大值为2，与图象不符，A错误.对于C，∵y＝－x2+2｜x｜＝－(|x｜－1）2+1，∴当x＝±1时，ymax＝1.又y＝－x2+2｜x｜的图象过点（－2，0），（2，0），（0，0），由－x2＋2｜x｜≥0得｜x｜（｜x｜－2）≤0，解得－2≤x≤2，即函数定义域为[－2，2]，又－（－x）2+2|－x｜＝13.[2024河南模拟]已知函数①f（x）＝e｜x｜sinx；②g（x）＝x－ln｜x｜；③t（x）＝x2sinx；④h（x）＝exx2.则下列（1）（2）（3）（4）4个函数图象所对应的函数解析式的序号依次为（A.④②①③ B.②④①③C.②④③① D.④②③①解析由题图可知，图象（1）对应函数的定义域为{x｜x≠0}，值域为{y｜y＞0}，结合函数解析式可知，图象（1）必对应函数④，排除B，C.对于函数①，当x＞0时，f（x）＝exsinx，易得f'（x）＝ex（sinx＋cosx）＝2exsin（x＋π4），当x∈（0，3π4）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（3π4，π）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x∈（0，π）时，f（x）max＝f（3π4）＝22e3π4＞5，所以函数①对应图象（3），排除D14.[多选]已知函数f（x）＝｜3x－1|,x<1，－4x2+16x－13A.若g（x）有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2）B.若g（x）有4个不同的零点，则a的取值范围是（0，1）C.若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x3＋x4＝4D.若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x3x4的取值范围是（134，7解析令g（x）＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，所以g（x）的零点个数为函数y＝f（x）与y＝a图象的交点个数，作出函数y＝f（x）与y＝a的大致图象，如图所示.由图可知，若g（x）有3个不同的零点，则a的取值范围是[1，2）∪{0}，所以A选项不正确.若g（x）有4个不同的零点，则a的取值范围是（0，1），所以B选项正确.若g（x）有4个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），此时（x3，0），（x4，0）关于直线x＝2对称，所以x3＋x4＝4，所以C选项正确.（两零点满足“对称性”，即两零点之和为其“对称轴”与x轴的交点横坐标的2倍）由C选项可知x3＝4－x4，所以x3x4＝（4－x4）x4＝－x42＋4x由于g（x）有4个不同的零点，a的取值范围是（0，1），故0＜－4x42＋16x4－13＜1，所以134＜－x42＋4所以D选项正确.故选BCD.15.已知函数f（x）＝1－x2，x≤0，lnx，x>0，若直线y＝kx与函数f（x）的图象交于A，B两点，且满足｜OA解析由题意知，函数y＝f（x）的图象上有关于原点O对称的点，因此存在x0，使得f（x0