第七章 突破1 球的切、接问题

第七章立体几何与空间向量突破1球的切、接问题目

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A.12πB.24πC.36πD.144π

C训练2例1训练1例2训练3例3(2)[全国卷Ⅰ]已知三棱锥

P

－

ABC

的四个顶点在球

O

的球面上，

PA

＝

PB

＝

PC

，△

ABC

是边长为2的正三角形，

E

，

F

分别是

PA

，

AB

的中点，∠

CEF

＝90°，则球

O

的体积为(

D

)D训练2例1训练1例2训练3例3[解析]

(补形法)因为点

E

，

F

分别为

PA

，

AB

的中点，所以

EF

∥

PB

，因为∠

CEF

＝90°，所以

EF

⊥

CE

，所以

PB

⊥

CE

.

取

AC

的中点

D

，连接

BD

，

PD

，易证

AC

⊥平面

BDP

，所以

PB

⊥

AC

，又

AC

∩

CE

＝

C

，

AC

，

CE

⊂平面

PAC

，所以

PB

⊥平面

PAC

，所以

PB

⊥

PA

，

PB

⊥

PC

，因为

PA

＝

PB

＝

PC

，△

ABC

为正三角形，所以

PA

⊥

PC

，即

PA

，

PB

，

PC

两两垂直.将三棱锥

P

－

ABC

放在正方体中，如图所示.

训练2例1训练1例2训练3例3(3)[2023全国卷乙]已知点

S

，

A

，

B

，

C

均在半径为2的球面上，△

ABC

是边长为3

的等边三角形，

SA

⊥平面

ABC

，则

SA

＝

⁠.

2

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧1.解决外接球问题的关键是利用球心到多面体的顶点的距离均等于球的半经.2.柱体的外接球球心为上、下底面外心(外接圆圆心)连线的中点.训练2例1训练1例2训练3例3模

型墙角型：AD⊥AB，

AC⊥AD，AC⊥AB对棱相等型：AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AC＝BD＝c图

示

分

析可补形为长方体或正方体可补形为长方体或正方体，每条棱均为其面对角线球

心球心位于体对角线中点球心位于体对角线中点半

径3.棱锥中几种常见的外接球模型训练2例1训练1例2训练3例3模

型侧棱与底面垂直型：PA⊥平面

ABC侧面与底面垂直型：平面PAD⊥平面ABCD图

示

分

析过底面外心O1作垂直于底面的直

线l，则有l∥PA作PE⊥AD于E，过底面外心O1作垂直于底

面的直线l，则有l∥PE球

心球心O在直线l上，过点O作OH⊥PE于点

H，利用Rt△POH和Rt△AOO1列方程组半

径训练2例1训练1例2训练3例3训练1

(1)[2023湖南省郴州市适应性模拟]已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2

的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为(

C

)C训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3(2)已知四棱锥

P

－

ABCD

的底面

ABCD

是矩形，其中

AD

＝1，

AB

＝2，平面

PAD

⊥

平面

ABCD

，△

PAD

为等边三角形，则四棱锥

P

－

ABCD

的外接球体积为(

D

)D训练2例1训练1例2训练3例3[解析]设

AD

的中点为

F

，连接

PF

，

AC

，

BD

，设

AC

∩

BD

＝

E

，连接

EF

，设△

PAD

外接圆的圆心为

O

1，半径为

r

，所求外接球球心为

O

，半径为

R

，连接

OO

1，

OE

，

OP

，如图.

因为△

PAD

为等边三角形，

F

是

AD

的中点，所以

PF

⊥

AD

，又平面

PAD

⊥平面

ABCD

，平面

PAD

∩平面

ABCD

＝

AD

，

PF

⊂平面

PAD

，所以

PF

⊥平面

ABCD

.

训练2例1训练1例2训练3例3因为底面

ABCD

是矩形，所以

E

是底面

ABCD

外接圆的圆心，故

OE

⊥平面

ABCD

，

所以

PF

∥

OE

.

同理

OO

1∥

EF

，又易得

PF

⊥

EF

，所以四边形

OO

1

FE

是矩形，

训练2例1训练1例2训练3例3命题点2

内切球问题例2

(1)[全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球

的体积为

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

所以△

SAB

为等边三角形，可知点

P

是△

SAB

的中心.

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3几何体求内切球半径R的方法正方体(棱长为a)正四面体(棱长为a)

三棱锥方法技巧求解常见几何体的内切球半径的方法训练2例1训练1例2训练3例3训练2

(1)[2023河南省部分名校联合检测]已知三棱锥

P

－

ABC

的所有顶点均在半径

为2的球

O

的球面上，底面△

ABC

是边长为3的等边三角形.若三棱锥

P

－

ABC

的体

积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为

r

，则

r

＝(

B

)A.1B训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

B.4C.2B训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3因为平面

EBC

⊥平面

AEB

，平面

EBC

∩平面

AEB

＝

BE

，

AO

⊂平面

AEB

，所以

AO

⊥平面

EBC

，又

BC

⊂平面

EBC

，所以

AO

⊥

BC

.

因为

EA

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

EA

⊥

BC

，又

EA

∩

AO

＝

A

，

EA

，

AO

⊂平面

AEB

，所以

BC

⊥平面

AEB

，而

AB

⊂平面

AEB

，所以

AB

⊥

BC

.

训练2例1训练1例2训练3例3

命题点3

球与多面体的棱相切的问题例3

(1)[2023全国卷甲]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝4，

O

为

AC

1的中

点，若该正方体的棱与球

O

的球面有公共点，则球

O

的半径的取值范围是

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3(2)[2023广东省高州市二模]已知球

O

与正四面体

A

－

BCD

的各棱相切，且与平面α

相切，若

AB

＝1，则正四面体

A

－

BCD

表面上的点到平面α距离的最大值

为

⁠.[解析]将正四面体

A

－

BCD

补形成正方体，如图所示.因为球

O

与正四面体

A

－

BCD

的各棱相切，所以球

O

即正方体的内切球，易知球心

O

为正方体体对角线的中点，如图所示.

训练2例1训练1例2训练3例3记正四面体

A

－

BCD

表面上的点到球心

O

的距离为

d

，球

O

的半径为

r

，则正四面

体

A

－

BCD

表面上的点到平面α距离的最大值为

d

＋

r

的最大值.

训练2例1训练1例2训练3例3方法技巧破解此类球与多面体的棱相切问题的关键一是会转化，即能把所求的问题进行转化，例如，以正四面体的相对棱的中点的连

线为直径的球，常转化为与几何体的棱相切的问题，从而把空间问题平面化；二是会求球的半径，能在转化后的平面问题中，寻找相关的量，求出球的半径

或直径.训练2例1训练1例2训练3例3训练3

(1)[多选/2024福州市一检]已知正四棱柱

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的底面边长为

2，球

O

与正四棱柱的上、下底面及侧棱都相切.

P

为平面

CDD

1内一点，且直线

BP

与球

O

相切，则(

BCD

)A.球O的表面积为4πB.直线BD1与BP所成的角等于45°D.侧面ABB1A1与球面的交线长为2πBCD训练2例1训练1例2训练3例3

图1

训练2例1训练1例2训练3例3

图2训练2例1训练1例2训练3例3(2)[2023山西省朔州市大地学校高中部第四次月考]正四面体的内切球、棱切球(与各

条棱均相切的球)及外接球的半径之比为

⁠.[解析]设正四面体

S

－

ABC

的棱长为1，外接球和内切球的半径分别为

R

，

r

，如

图所示，设

D

为

AB

的中点，连接

SD

，

CD

，作

SE

⊥

CD

于点

E

，由正四面体的性

质可知线段

SE

为正四面体

S

－

ABC

的高.

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

训练2例1训练1例2训练3例3

1.[2023辽宁省模拟]“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧

面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积的比值为(

B

)A.2

B1234567891011121314

D.6π

C1234567891011121314

B1234567891011121314

12345678910111213144.[2023高三名校联考(一)]在四面体

ABCD

中，

BA

，

BC

，

BD

两两垂直，

BA

＝1，

BC

＝

BD

＝2，则四面体

ABCD

内切球的半径为(

C

)C1234567891011121314

12345678910111213145.[2024四川成都高三模拟]在三棱锥

P

－

ABC

中，

PA

⊥底面

ABC

，∠

BAC

＝

120°，

PA

＝

AB

＝

AC

＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积

为(

C

)B.18πC.20πC1234567891011121314

1234567891011121314

C1234567891011121314

1234567891011121314

A.12πB.4πA1234567891011121314[解析]设

E

是

AC

的中点，连接

EB

，

ES

，由于

SA

＝

SC

，

AB

＝

BC

，

1234567891011121314

1234567891011121314

A.20πB.16πC.12πD.8πA1234567891011121314

1234567891011121314

1234567891011121314

BCD1234567891011121314[解析]如图所示，设点

O

1为正方形

ABCD

的中心，连接

PO

1，则

PO

1⊥平面

ABCD

.

1234567891011121314

1234567891011121314

123456789101112131410.[多选/2024惠州市一调]已知棱长为1的正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1，以正方体中

心

O

为球心的球与正方体的各条棱都相切，点

P

为球面上的动点，则下列说法正确