第四章 第5讲 三角函数的图象与性质

第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质

课标要求命题点五年考情命题分析预测三角函数的定义域本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域(最值)、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.三角函数的值域(最值)2021全国卷乙T4

课标要求命题点五年考情命题分析预测三角函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域(最值)、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.

(π，0)

(2π，0)

(π，－1)

(2π，1)

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象

定义域RR⑤

⁠值域⑥

⁠

⁠

⑦

⁠R

[－1，1]

[－1，1]

周期性周期是2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期

是⑧

⁠.周期是2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期

是⑨

⁠.周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小

正周期是⑩

⁠.对称性对称轴方程是

⑪

⁠

(k∈Z)，对称中

心是⑫

⁠

(k∈Z).对称轴方程是

⑬

⁠

(k∈Z)，对称中心是⑭

⁠

(k∈Z).无对称轴，对称中心是⑮

(k∈Z).2π

2π

π

(kπ，0)

x＝kπ

奇偶性⑯

⁠⑰

⁠⑱

⁠单调性在⑲

⁠

⁠(k∈Z)上单调递增，在⑳⁠

(k∈Z)上单调递减.在㉑

⁠

(k∈Z)上单调递增，在㉒

⁠

(k∈Z)上单调递减.在㉓

⁠

(k∈Z)上单调递增.奇函数

偶函数

奇函数

[2kπ－π，2kπ]

[2kπ，2kπ＋π]

注意

y

＝tanx

在其定义域内不单调.

1.设

A

是△

ABC

最小的内角，则sin

A

＋cos

A

的取值范围是(

D

)

D123456

C.πD.2π

A123456

A.2C.1

A123456

C123456

A123456

123456

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3方法技巧求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

B.3π和2D.6π和2

C例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

C例1训练1例2训练2例3例4例5训练3方法技巧三角函数值域的不同求法1.把所给的三角函数式变换成

y

＝

A

sin(ω

x

＋φ)＋

b

的形式求值域.2.把sin

x

或cos

x

看作一个整体，转换成二次函数求值域.3.利用sin

x

±cos

x

和sin

x

cos

x

的关系转换成二次函数求值域.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

A.πA例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3(2)函数

y

＝sin

x

－cos

x

＋sin

x

cos

x

的值域为

⁠.

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3命题点3

三角函数的性质及应用角度1

三角函数的周期性例3

(1)[2023天津高考]已知函数

f

(

x

)图象的一条对称轴为直线

x

＝2，

f

(

x

)的一个周

期为4，则

f

(

x

)的解析式可能为(

B

)B例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

C.πD.2π

C例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3角度2

三角函数的单调性例4

(1)[2022北京高考]已知函数

f

(

x

)＝cos2

x

－sin2

x

，则(

C

)C例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3(2)[全国卷Ⅱ]若

f

(

x

)＝cos

x

－sin

x

在[－

a

，

a

]上是减函数，则

a

的最大值是

(

A

)D.π

A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3方法技巧三角函数单调性问题的常见类型及求解策略常见类型求解策略已知三角函

数解析式求

单调区间(1)将函数化简为“一角一函数”的形式，如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞

0，ω＞0)；(2)利用整体思想，视“ωx＋φ”为一个整体，根据y＝sinx的单调区

间列不等式求解.对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解.注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的单调区间时要先看A和ω的符号，

尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3常见类型求解策略已知三角函数的

单调性求参数(1)求出原函数的相应单调区间，由已知区间是求出的单调区间

的子集，列不等式(组)求解.(2)由所给区间求出“ωx＋φ”的范围，由该范围是某相应正、

余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解.例1训练1例2训练2例3例4例5训练3角度3

三角函数的奇偶性与对称性

C例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

A.1D.3A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3方法技巧

说明选择题可以通过验证

f

(

x

0)的值进行判断，即

f

(

x

0)＝±

A

⇔

x

＝

x

0是函数

f

(

x

)图象的对称轴方程；

f

(

x

0)＝0⇔点(

x

0，0)是函数

f

(

x

)图象的对称中心.2.三角函数中奇函数一般可化为

y

＝

A

sinω

x

或

y

＝

A

tanω

x

的形式，而偶函数一般

可化为

y

＝

A

cosω

x

＋

b

的形式.

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

D例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

A例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

例1训练1例2训练2例3例4例5训练3

1.[命题点2/2023福建模拟]若对任意

x

∈R都有

f

(sin

x

)＝－cos2

x

＋cos2

x

＋2sin

x

－3，则

f

(

x

)的值域为

⁠.[解析]易知

f

(sin

x

)＝2sin2

x

－1＋1－sin2

x

＋2sin

x

－3＝sin2

x

＋2sin

x

－3，所

以

f

(

x

)＝

x

2＋2

x

－3(－1≤

x

≤1)，曲线

y

＝

x

2＋2

x

－3的对称轴为直线

x

＝－1，所

以函数

f

(

x

)在区间[－1，1]上单调递增，所以

f

(－1)≤

f

(

x

)≤

f

(1)，即－4≤

f(

x

)≤0，所以

f

(

x

)的值域为[－4，0].[－4，0]

12342.[命题点2/2023潍坊市高三统考]已知函数

f

(

x

)＝3sin

x

＋4cos

x

，且

f

(

x

)≤

f

(θ)对

任意

x

∈R恒成立，若角θ的终边经过点

P

(4，

m

)，则

m

＝

⁠.

3

12343.[命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考]如图所示，一个质点在半径为2的圆

O

上以点

P

为起始点，沿逆时针方向运动，每3s转一圈.该质点到

x

轴的距离关于时

间

t

的函数记为

f

(

t

).下列说法正确的是(

AC

)D.f(t)的最小正周期为3AC1234

1234

A.ω＝2B.f(x)的值域是[－2，2]AC1234

1234

1234

C123456789101112131415161718192.[2023天津新华中学统练]下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(

D

)B.y＝tan2xC.y＝2sin(π－x)D.y＝tan(x＋π)

D12345678910111213141516171819

A.f(x)＝｜cos2x｜B.f(x)＝｜sin2x｜C.f(x)＝cos｜x｜D.f(x)＝sin｜x｜

A12345678910111213141516171819

A.0

B12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

D12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

C12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

D.－1

A12345678910111213141516171819

C.函数f(x)的图象关于点(π，0)中心对称ABD12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

B.πC.2πD.4π

C12345678910111213141516171819

B1234567891011121314151617181915.[2023福建龙岩模拟]已知函数

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

，则

f

(

x

)的最小值为

(

C

)B.－2C.－1D.0C12345678910111213141516171819[解析]

解法一

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

，分别作出

y

＝2｜sin

x

｜(图1)与

y

＝

cos

x

(图2)的部分图象，如图所示.图1

图2从图中可以看出，当

x

＝π时，两个函数同时取得最小值，此时

f

(π)＝2｜sinπ｜＋

cosπ＝－1最小.12345678910111213141516171819解法二因为

f

(－

x

)＝2｜sin(－

x

)｜＋cos(－

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

＝

f

(

x

)，所

以

f

(

x

)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

为偶函数，又

f

(

x

＋2π)＝2｜sin(

x

＋2π)｜＋cos(

x

＋2π)＝2｜sin

x

｜＋cos

x

＝

f

(

x

)，

当

x

∈[0，

x

0)时，

f

'(

x

)＞0，

f